Proses Stokastik Semester Ganjil 2013

Penerapan Teori Antrian Telekomunikasi Traffic control Menentukan urutan operasional komputer Memprediksi performance dari komputer Pelayanan kesehatan atau pelayanan umum lainnya Airport traffic, airline ticket sales

Contoh Pada supermarket atau bank Beberapa counter atau checkout system  sistem antrian di mana pelanggan menunggu kasir yang kosong berikutnya

Ilustrasi penerapan Teori Antrian

Hukum Little (Little’s Law) System Arrivals Departures Little’s Law: Rata-rata jumlah pekerjaan di dalam sistem (L)= rata-rata laju kedatangan (λ) x rata-rata waktu respons layanan (W) Dapat diterapkan untuk sembarang sistem dalam kondisi kesetimbangan (equilibrium)

Proving Little’s Law J = daerah yg diarsir = 9 Sama di semua kasus! 1 2 3 4 5 6 7 8 # of Jobs in the System 1 2 3 Arrivals 1 2 3 Job # Departures 1 2 3 4 5 6 7 8 Time 1 2 3 Time in System Job # 1 2 3 Time J = daerah yg diarsir = 9 Sama di semua kasus!

Definisi-definisi J: “Luas” pada slide sebelumnya N: Jumlah pekerjaan T: Total waktu l: Rata-rata laju kedatangan N/T W: Rata-rata waktu pekerjaan di dalam sistem = J/N L: Rata-rata jumlah pekerjaan di dalam sistem = J/T

Proof: By Definition = 1 2 3 Time in System (W) Job # (N) 1 2 3 1 2 3 (L) = 1 2 3 4 5 6 7 8 Time (T)

Model Queuing System Model antrian (Queuing models) digunakan untuk: Server System Queuing System Queue Server Model antrian (Queuing models) digunakan untuk: Menggambarkan perilaku sistem antrian Mengevaluasi kinerja sistem

Karakteristik dari sistem antrian Proses kedatangan (Arrival Process) Sebaran yang menentukan bagaimana pekerjaan datang ke sistem Proses pelayanan Sebaran yang menentukan waktu memproses pekerjaan Jumlah server/meja layan Jumlah server/meja layan yang tersedia untuk memproses pekerjaan

Notasi Kendall 1/2/3(/4/5/6) Enam Paremeter Tiga pertama yang paling sering digunakan Sebaran kedatangan (Arrival Distribution) Sebaran pelayanan (Service Distribution) Jumlah server Total kapasitas (diasumsikan tak terbatas jika tidak didefinisikan) Ukuran populasi (diasumsikan tak terbatas jika tidak didefinisikan) Disiplin antrian (FCFS-First Come First Served/FIFO-First in First Out)

Sebaran-sebaran M: berasal dari istilah "Markovian", yang berarti sebaran eksponensial untuk waktu antar kedatangan atau waktu layanan. D: deterministik (konstan) Ek: Erlang dengan parameter k Hk: Hyperexponential dengan parameter k G: General (umum/apapun)

Contoh Notasi Kendall M/M/1: M/M/m G/G/3/20/1500/SPF Kedatangan sebagai proses Poisson dan waktu layanan menyebar eksponensial, 1 server, kapasitas tak terbatas, populasi tak terbatas dan FCFS (FIFO) Antrian paling sederhana yang realistis M/M/m Kedatangan sebagai proses Poisson dan waktu layanan menyebar eksponensial, m server, kapasitas tak terbatas, populasi tak terbatas dan FCFS (FIFO) G/G/3/20/1500/SPF Jumlah kedatangan dan waktu layanan mempunyai sebaran umum, 3 server, kapasitas antrian sejumlah 17 slot (20 – 3), 1500 total pekerjaan (populasi) dan Shortest Packet First (pekerjaan yang tersedikit yang didahulukan)

Proses Poisson Untuk proses Poisson dengan rata – rata kedatangan λ, peluang bahwa akan ada n kedatangan pada selang waktu ∆t

Proses Poisson dan Sebaran eksponensial Waktu antar kedatangan (interarrival time) t di dalam proses Poisson mengikuti sebaran eksponensial dengan parameter λ

Antrian M/M/1 Diberikan l: Laju kedatangan pekerjaan m: Laju selesainya layanan dari server Ingin ditentukan L: rata-rata jumlah pekerjaan di dalam sistem Lq : rata-rata jumlah pekerjaan yang menunggu di antrian W: rata-rata waktu tunggu di dalam sistem Wq : rata-rata waktu tunggu di antrian

Antrian M/M/1 l m Wq W L Lq

Menyelesaikan sistem antrian 4 variabel yang ingin dicari solusinya: L, Lq W, Wq Hubungan yang berlaku: L=lW Lq=lWq (steady-state argument) W = Wq + (1/m) Penentuan L adalah langkah awal. Yang tergantung dari tipe sistem antrian. Peluang equilibrium bahwa sistem mempunyai n pekerjaan di dalam antrian Nilai harapan

Analisis dari antrian M/M/1 Tujuan: Mendapatkan bentuk langsung dari peluang jumlah pekerjaan pada sistem (πi) sebagai fungsi dari l dan m

Syarat/kondisi Equilibrium Adalah proses kelahiran dan kematian dengan parameter kelahiran dan parameter kematian yang sama di setiap state yang mungkin πi , i=1, 2, … peluang equilibrium dari proses kelahiran dan kematian

Berdasarkan hubungan net flow balance: m Berdasarkan hubungan net flow balance: Dst secara rekursif

Dengan batasan sedemikian sehingga fungsi peluang terdefinisi dengan baik π0 ditentukan dari syarat di atas

Penyebut akan menjadi berhingga (deret geometri) jika λ <µ, or ρ<1 Sedemikian:

Perhatikan: Adalah fungsi dari sebaran geometrik dengan peluang sukses: Sehingga rata-rata jumlah pekerjaan di dalam sistem L: adalah nilai harapan dari sebaran geometrik.

Solusi bagi L Hasil tsb diterapkan untuk L: Intensitas traffic: ukuran performance sistem L akan berhingga jika λ <µ, or ρ<1, sebaliknya sistem akan “exploded”.

Solusi bagi W, Wq dan Lq

Analis model antrian M/M/∞ Jumlah server yang tak hingga Semua pelanggan dalam sistem akan segera dilayani seketika l: Laju kedatangan pekerjaan m: Laju pelayanan setiap server Jika terdapat k kedatangan ke dalam server maka laju pelayanan akan menjadi km.

Analis model antrian M/M/∞ Tujuan: Bentuk langsung dari peluang jumlah pekerjaan di dalam sistem (πi) sebagai fungsi dari l dan m

Syarat Equilibrium Menggunakan hubungan net flow balance: n+1 n n-1 l nm (n+1)m (n-1)m (n+2)m Adalah proses kelahiran dan kematian πi , i=1, 2, … adalah peluang ekuilbrium Menggunakan hubungan net flow balance:

Dst secara rekursif:

Dengan batasan: π0 sesuai syarat di atas menjadi:

Penyebut adalah deret Taylor: Sedemikian

Solusi bagi L Penerapan hasil tsb untuk L: Intensitas Traffic: L akan berhingga jika λ <µ, or ρ<1, sebaliknya sistem akan “exploded.”

Solusi bagi W, Wq and Lq