MODUS (Mo) Nilai data yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi terbanyak. Catatan : Suatu rangkaian data dapat tidak memiliki Mo, jika setiap nilai mempunyai frekuensi yang sama.

Contoh 6.3 : Modus data tidak dikelompokkan Nilai 10 8 7 9 6 7 merupakan Mo karena memiliki frekuensi terbanyak dibandingkan lainnya.

MEAN, MEDIAN, MODUS Data Dikelompokkan

MEAN (Mekel) atau Σ fiNTKi xkel f1NTK1 + f2NTK2 + f3NTK3 …+ fiNTKi diperoleh dari jumlah seluruh perkalian antara frekuensi data ke-i (fi) dengan Nilai Tengah setiap Kelas ke-i (NTKi) kemudian dibagi banyaknya data (n). xkel f1NTK1 + f2NTK2 + f3NTK3 …+ fiNTKi n = atau xkel = Σ fiNTKi n i=1

Berapa rata-rata berat badan mahasiswa ? Contoh 6.5 : Me data dikelompokkan Berapa rata-rata berat badan mahasiswa ? Berat Badan (Kg) Banyaknya mahasiswa (fi) 60 – 62 5 63 – 65 18 66 – 68 42 69 – 71 27 72 – 74 8 Jumlah (n) 100

Berat Badan (Kg) Banyaknya mahasiswa (fi) NTKi fi.NTKi 60 – 62 5 61 305 63 – 65 18 64 1152 66 – 68 42 67 2814 69 – 71 27 70 1890 72 – 74 8 73 584 Jumlah 100 6745 xkel = Σ fiNTKi n i=1 = (6745 / 100) = 67,4 ≈ 67 Jadi Mekel berat badan mahasiswa adalah 67

MEDIAN (Mdkel) Letak Md data berkelompok dapat dicari dengan : LMd = n/2 n adalah banyaknya data

Nilai Mdkel dicari dengan : n/2 - fKumBMd Mdkel = TKBMd + x IK fMd Keterangan : TKBMd = Tepi Kelas Bawah dari kelas yang mengandung Md n/2 = Letak Md f.KumBMd = fKum dibawah kelas yang mengandung Md fMd = frekuensi kelas yang mengandung Md IK = Interval Kelas

Contoh 6.6 : Md data dikelompokkan Berat Badan (Kg) (fi) fKum 60 – 62 5 63 – 65 18 23 66 – 68 42 65 69 – 71 27 92 72 – 74 8 100 Jumlah Data urutan ke-1 Mulai urutan data ke-24 Kelas Md 2 Letak Md = n/2 = (100/2) = 50 Mdkel terletak pada urutan ke-50. Data tersebut pada kelas ke 3 (66-68), urutan didasarkan frekuensi kelas. 1

Nilai Mdkel = data pada urutan ke-50 di kelas ketiga 3 Nilai Mdkel = data pada urutan ke-50 di kelas ketiga n/2 - fKumBMd Mdkel = TKBMd + x IK fMd Mdkel = 65,5 + (100/2) – 23 x 3 42 Mdkel = 65,5 + 1,9 Mdkel = 67,4 ≈ 67 (coba cek apakah di kelas ketiga)

MODUS (Mokel) Mokel = TKBMo + x IK d1 d1 + d2 Keterangan : TKBMo = Tepi Kelas Bawah dari kelas yang mengandung Mo d1 = Selisih frek kelas yang mengandung Mo dengan kelas sebelumnya d2 = Selisih frek kelas yang mengandung Mo dengan kelas sesudahnya IK = Interval Kelas

Contoh 6.7 : Mo data dikelompokkan Berat Badan (Kg) (fi) fKum 60 – 62 break Berat Badan (Kg) (fi) fKum 60 – 62 5 63 – 65 18 23 66 – 68 42 65 69 – 71 27 92 72 – 74 8 100 Jumlah d1 d2 Kelas Mo Mokel = 65,5 + 42 - 18 x 3 (42-18) + (42-27) Mokel = 67,3 ≈ 67

Ringkasan Materi Tendensi sentral merupakan nilai yang mewakili suatu gugusan data, baik yang tidak dikelompokkan maupun yang dikelompokkan dengan kelas interval tertentu. Tendendensi sentral mencakup mean, median, dan modus. Mean merupakan nilai rata-rata yang mewakili suatu gugusan data. Median merupakan nilai data yang terletak ditengah-tengah suatu gugusan data. Modus merupakan nilai yang paling sering muncul diantara suatu gugusan data. 57

Soal Latihan : 1. Carilah nilai mean, median, modus untuk gugusan data tunggal berikut ini : 61 72 52 73 64 78 66 56 68 76 71 87 48 83 94 86 96 2. Carilah nilai mean, median, modus untuk distribusi frekuensi yang anda buat untuk soal latihan pada pertemuan sebelumnya !

Seberapa besar penyebaran atau UKURAN VARIASI (Ukuran Dispersi – Ukuran Penyebaran – Ukuran Penyimpangan) Seberapa besar penyebaran atau penyimpangan nilai data dari nilai rata-rata hitungnya. 59

Mengapa Ukuran Variasi Penting ? Nilai mean hanya menekankan pada pusat data, tidak memberikan informasi tentang bagaimana sebaran nilai datanya. Untuk membandingkan sebaran dari dua distribusi data secara lebih rinci. 60

Nilai siswa dari dua Kelas A dan B dengan nilai mean sama. Perhatikan Ilustrasi 1 ini : Nilai siswa dari dua Kelas A dan B dengan nilai mean sama. Kelas Nilai Mean A 60 80 70 75 65 B 55 95 90 35 100 70 Jika berdasarkan nilai Mean, siswa di kedua kelas tsb mempunyai kemampuan sama. 61

Namun, perhatikan sebaran data tiap kelas pada kedua diagram ini : Kelas B Kelas A 100 100 90 90 80 80 Me = 70 Me = 70 60 60 50 50 40 40 30 30 Cenderung Homogen Cenderung Heterogen 62

maka….. Siswa kelas A mempunyai kemampuan yang hampir seimbang, berbeda dengan kelas B. Seandainya syarat lulus min. nilai 60 maka siswa kelas B hanya 50% yang dapat lulus. Jadi dari dua rangkaian data yang memiliki nilai mean sama belum tentu mempunyai karakteristik sama, Karena besarnya penyimpangan nilai data dari nilai rata-ratanya untuk setiap kelas dapat berbeda. 63

Penyimpangan nilai data terhadap nilai mean (ukuran variasi) dari dua rangkaian data dapat berbeda, yaitu : Me1 = Me2 Ukuran Variasi Berbeda Me1 ≠ Me2 Ukuran Variasi Berbeda 64

Me1 = Me2 Ukuran Variasi Sama Me1 ≠ Me2 Ukuran Variasi Sama 65

SIMPANGAN RATA-RATA (Mean Deviation) JENIS UKURAN VARIASI RANGE (Nilai Jarak) SIMPANGAN RATA-RATA (Mean Deviation) SIMPANGAN BAKU (Standard Deviation) KOEFISIEN VARIASI (Variation Coefficient ) 66

RANGE (Nilai Jarak) R = Xt - Xr Selisih nilai data terbesar (Xt) dan terkecil (Xr) dalam suatu rangkaian data. R = Xt - Xr Semakin besar nilai Range, semakin besar penyimpangan data dari rata-rata hitungnya. 67

Penyimpangan data Kelas B > A Contoh 13.1 : Menentukan Nilai Range Perhatikan data pada ilustrasi 1 maka Range setiap kelas R kelas A = 80 – 60 = 20 Penyimpangan data Kelas B > A R kelas B = 100 – 35 = 65 68

UKURAN VARIASI Data Tidak Dikelompokkan (1) SIMPANGAN RATA-RATA (SR) penyimpangan data dari rata-rata hitungnya. SR = Σ l xi – Mean l n xi = nilai data ke-I n = banyaknya data lxi-Meanl hasilnya nilai mutlak, yaitu mengabaikan tanda positif /negatif, jadi semua dianggap positif. 69

Contoh 13.2 : Menentukan Simpangan Rata-rata Data penjualan 8 Cabang Batik Keris di Palembang pada bulan Desember 2009. Cabang Nilai Penjualan (dlm jutaan) IP 70 Ramayana 80 JM 60 Matahari PIM 50 PS 40 Veteran Pasar 16 Total 470 Carilah SR – nya ! Langkah 01 : Mean = (470 : 8) = 53,75 ≈ 54 70

xi Mean l xi – Mean l 70 54 16 80 26 60 6 50 4 40 14 Jumlah 102 Langkah 02 : SR = Σ l xi – Meanl n = 102 8 = 12,75 ≈ 13 Artinya rata-rata penjualan 8 cabang tersebut naik turunnya lebih kurang Rp.13.000.000. 71

δ (2) SIMPANGAN BAKU (SD) SD = Σ (xi – Mean)2 n menunjukkan standar penyimpangan data terhadap rata-rata hitungnya. SD = Σ (xi – Mean)2 n xi = nilai data ke-I n = banyaknya data 72

Menggunakan data pada Contoh 13.2 untuk menghitung Simpangan baku Menentukan Simpangan Baku Menggunakan data pada Contoh 13.2 untuk menghitung Simpangan baku xi Mean (xi – Mean) (xi – Mean)2 70 54 16 256 80 26 676 60 6 36 50 - 4 40 - 14 196 Jumlah 1668 SD = Σ ( Xi – X )2 n SD = 1668 8 SD = 14,43 73

UKURAN VARIASI Data Dikelompokkan SIMPANGAN RATA-RATA data dikelompokkan SRkel = Σ f l NTKi – Mean l n Hasilnya absolut f = frekkelas NTK = Nilai Tengah Kelas n = banyaknya data 74

Contoh 13.4 : Menentukan Simpangan Rata-rata kelompok Kelas frekuensi 20 – 29 3 30 – 39 6 40 – 49 12 50 – 59 18 60 – 69 70 – 79 9 Σ 60 Berapa nilai SRkel nya ? 75

SRkel = Σ f l NTKi – Mean l n SRkel = 639 = 10,65 60 Kelas f NTK fNTK lNTK– Meanl f l NTK–Mean l 20 – 29 3 24,5 73,5 54 29,5 88,5 30 – 39 6 34,5 207 19,5 117 40 – 49 12 44,5 534 9,5 114 50 – 59 18 54,5 981 0,5 9 60 – 69 64,5 774 10,5 126 70 – 79 74,5 670,5 20,5 184,5 Σ 60 3240 639 SRkel = Σ f l NTKi – Mean l n SRkel = 639 = 10,65 60 76

SIMPANGAN BAKU data dikelompokkan SDkel = Σ f (NTK – Mean)2 n f = frek kelas NTK = Nilai Tengah Kelas n = banyaknya data 77

Contoh 13.5 : Mengacu pada data pada contoh 13.4, maka SD : Interval f Xi fXi Mean (NTK – Me) (NTK –Me)2 f(NTK–Me)2 20 – 29 3 24,5 73,5 54 -29,5 870,25 2610,6 30 – 39 6 34,5 207 -19,5 380,25 2281,5 40 – 49 12 44,5 534 -9,5 90,25 1083 50 – 59 18 54,5 981 0,5 0,25 4,5 60 – 69 64,5 774 10,5 110,25 1323 70 – 79 9 74,5 670,5 20,5 420,25 3782,25 Σ 60 3240 11084,85 SDk = Σ f (NTK – Mean)2 n SDk = 11084,85 60 = 13,6 78

KOEFISIEN VARIASI (CV) Merupakan ukuran penyimpangan yang diukur secara relatif atau %. CV = ( SD : Mean ) x 100% Misalnya : Harga 5 mobil bekas Rp.4.000.000, Rp.4.500.000, Rp.5.000.000, Rp.4.750.000, dan Rp.4.250.000 sedangkan harga 5 ayam Rp.600, Rp.800, Rp.900, Rp.550, dan Rp.1.000. Mana yang lebih bervariasi berdasarkan koefisien variasinya. 79

Pemecahannya : Mean Mobil = Rp.4.500.000 Mean Ayam = Rp.770 SDMobil = Rp. 353.550 SDAyam = Rp. 172,05 CV Mobil = Rp. 353.550 X 100% Rp.4.500.000 = 7, 86% CV Ayam = Rp.172,05 X 100% Rp.770 = 22,34% Dengan demikian CV mobil < CV ayam, sehingga harga ayam lebih bervariasi 80

Ringkasan Materi Ukuran variasi merupakan nilai yang menunjukkan seberapa besar penyimpangan nilai data terhadap rata-ratanya. Ukuran variasi diperlukan karena nilai mean dan median tidak hanya menekankan pada pusat data dan untuk membandingkan sebaran antara dua distribusi data. Kemungkinan ukuran variasi dari dua rangkaian data dengan nilai mean yang sama atau berbeda adalah pertama, nilai mean sama ukuran variasi berbeda, nilai mean tidak sama ukuran variasi berbeda, nilai mean tidak sama ukuran variasi sama, dan nilai mean sama ukuran variasi sama. 81

Ukuran variasi mencakup range, simpangan rata-rata, simpangan baku Ukuran variasi mencakup range, simpangan rata-rata, simpangan baku. Ketiganya berlaku untuk data tidak dikelompokkan maupun yang dikelompokkan. Koefisien variasi diperoleh dari ukuran relatif penyimpangan dalam bentuk %. 82

Soal Latihan : Jelaskan apa yang dimaksud ukuran variasi dan mengapa diperlukan ? Jelaskan kemungkinan-kemungkinan ukuran variasi antara dua sebaran data berdasarkan nilai meannya ? Carilah nilai Range (R), Rata-rata simpangan (MDV), Simpangan baku (SD), dan Koefisien variasi (CV) untuk sebaran data tidak dikelompokkan berikut ini : Hasil nilai ujian 20 peserta mata kuliah Statistika : 86 63 44 75 74 54 84 78 58 77 71 87 48 83 94 68 96

Jumlah karyawan CV. Maju berdasarkan masa kerja : 4. Carilah nilai Range (R), Rata-rata simpangan (MDV), Simpangan baku (SD), Koefisien variasi (CV) untuk sebaran data dikelompokkan berikut ini : Jumlah karyawan CV. Maju berdasarkan masa kerja : Masa Kerja (Tahun) f 2 – 5 4 6 – 9 9 10 – 13 7 14 – 17 18 – 21 2 22 – 25 1 Jumlah 30