GRAF TIDAK BERARAH PART 2 Dosen : Ahmad Apandi, ST We designed this template so that each member of the project team has a set of slides with its own theme. Members, here’s how you add a new slide to just your set: Mark where you want to add the slide: Select an existing one in the Thumbnails pane, click the New Slide button, then choose a layout. The new slide gets the same theme as the other slides in your set. Careful! Don’t annoy your fellow presenters by accidentally changing their themes. That can happen if you choose a different theme from the Design tab, which changes all of the slides in the presentation to that look. Dosen : Ahmad Apandi, ST

Jenis Graf (berdasarkan orientasi arah) Graf tak berarah Graf berarah

Graf tak berarah Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak berarah. Pada graf tak – berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak di perhatikan. Jadi (u,v) = (v,u) adalah sisi yang sama.

Graf Berarah Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Sisi berarah disebut sebagai arch (busur). Pada graf berarah, (u,v) dan (v,u) menyatakan dua buah busur yang berbeda. Untuk simpul (u,v), simpul u dinamakan simpul asal dan simpul v disebut sebagai Simpul Terminal.

Graf tak berarah Pada Graf tak berarah terdapat graf lengkap (complete graph) Graf Lengkap (Complete Graph) dengan n titik (simbol Kn) adalah graf sederhana dengan n titik, di mana setiap 2 titik berbeda dihubungkan dengan suatu garis. Banyaknya garis dalam suatu graf lengkap dengan n titik adalah n(n-1)/2

Graf tak berarah Contoh soal : Gambarlah K2, K3, K4, K5, !

Graf tak berarah

Graf tak berarah Pada Graf tak berarah terdapat graf berlabel Graf G disebut berlabel jika ruas dan atau simpulnya dikaitkan dengan suatu besaran tertentu. Khususnya jika setiap ruas e dari G dikaitkan dengan suatu bilangan non negatif d(e), maka d(e) disebut bobot atau panjang dari ruas e. Bobot suatu garis dapat mewakili “jarak”, “biaya”, “panjang”, “kapasitas”, dll.

Representasi Graf tak berarah Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) A = [aij], 1, jika simpul i dan j bertetangga aij = { 0, jika simpul i dan j tidak bertetangga

Representasi Graf tak berarah Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)

Representasi Graf tak berarah Matriks Bersisian (incidency matrix) A = [aij], 1, jika simpul i bersisian dengan sisi j aij = { 0, jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j

Representasi Graf tak berarah Matriks Bersisian (incidency matrix)

Representasi Graf tak berarah Senarai Ketetanggaan (adjacency list)

Kasus pada graf tak berarah Masalah Lintasan Euler Masalah Pedagang Keliling (Travelling Salesman Problem)

Lintasan Euler Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian graph).

Lintasan Euler (Graf Semi Euler) Lintasan Euler pada graf Gambar tsb adalah : 1, 2, 3, 4, 1, 3

Sirkuit Euler (Graf Euler) Sirkuit Euler pada graf Gambar tsb adalah : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1

Contoh bukan graf euler maupun semi euler Tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler

Lintasan dan Sirkuit Hamilton Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali. Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

Lintasan dan Sirkuit Hamilton graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4) (b) graf yang memiliki lintasan Hamilton (1, 2, 3, 4, 1) (c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton

Perbedaan Sirkuit Euler dengan Sirkuit Hamilton Dalam Sirkuit Euler semua garis harus dilalui tepat satu kali, sedangkan semua titiknya boleh dikunjungi lebih dari sekali. Dalam Sirkuit Hamilton semua titiknya harus dikunjungi tepat satu kali dan tidak harus melalui semua garis.

Travelling Salesman Problem (TSP) TSP adalah problem untuk mengoptimasi dan menemukan perjalanan (tour) yang paling terpendek. TSP adalah problem untuk menentukan urutan dari sejumlah kota yang harus dilalui oleh salesman, setiap kota hanya boleh dilalui satu kali dalam perjalanannya, dan perjalanan tersebut harus berakhir pada kota keberangkatannya dimana salesman tersebut memulai perjalananya, dengan jarak antara setiap kota satu dengan kota lainnya sudah diketahui. Salesman tersebut harus meminimalkan pengeluaran biaya, dan jarak yang harus ditempuh untuk perjalanannya tersebut.

Algoritma Exhaustive pada TSP Algoritma exhaustive, yaitu dengan mencari semua kombinasi yang mungkin terjadi, kemudian memilih kombinasi perjalanan dengan jarak terdekat, algoritma ini mempunyai kompleksitas n!/2n.

Algoritma Exhaustive Search pada TSP Enumerasikan (list) semua sirkuit Hamilton dari graf lengkap dengan n buah simpul. Hitung (evaluasi) bobot setiap sirkuit Hamilton yang ditemukan pada langkah 1. Pilih sirkuit Hamilton yang mempunyai bobot paling terkecil.

Implementasi TSP pada Kota (3 Kota) TSP dengan 3 kota (1, 2, 3) hanya mempunyai satu kemungkinan seperti gambar dibawah ini :

Implementasi TSP pada Kota (4 Kota) Graf tsb memiliki 4!/2(4) = 3 sirkuit Hamilton Misalkan simpul a adalah kota tempat dimulainya perjalanan (starting city). Enumerasikan semua sirkuit hamilton sebagai berikut : I1 = (a, b, c, d, a) atau (a, d, c, b, a) ==> panjang = 10 + 12 + 8 + 15 = 45 I2 = (a, c, d, b, a) atau (a, b, d, c, a) ==> panjang = 12 + 5 + 9 + 15 = 41 I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) ==> panjang = 10 + 5 + 9 + 8 = 32 Jadi, sirkuit Hamilton terpendek adalah I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) dengan panjang sirkuit = 10 + 5 + 9 + 8 = 32.

Implementasi TSP pada Kota (5 Kota) Graf tsb memiliki 5!/2(5) = 12 sirkuit Hamilton Misalkan simpul a adalah kota tempat dimulainya perjalanan (starting city). Enumerasikan semua sirkuit hamilton sebagai berikut : I1 = (1, 2, 3, 4, 5,1) atau (1, 5, 4, 3, 2,1) I2 = (1,2,5,4,3,1) atau (1,3,4,5,2,1) I3 = (1,2,3,5,4,1) atau (1,4,5,3,2,1 ) : I12 =………………………………………

Kesimpulan TSP Travelling salesman problem adalah suatu permasalahan dalam menentukan sirkuit terpendek dari suatu simpul ke seluruh simpul lain tepat satu kali dan kembali ke simpul asal. Algoritma exhaustive, yaitu dengan mencari semua kombinasi yang mungkin terjadi, kemudian memilih kombinasi perjalanan dengan jarak terdekat, algoritma ini mempunyai kompleksitas n!/2n.

Latihan Gambarkan graf lengkap (complete graph) dengan 6 titik Apakah gambar dibawah ini merupakan graf euler atau graf semi euler, tuliskan lintasannya !

Latihan 3. Apakah gambar dibawah ini merupakan graf euler atau graf semi euler, tuliskan lintasannya !

Latihan 4. Buat matriks ketetanggan (adjacency matrix) dari graf berikut !

Latihan 5. Buat list ketetanggan (adjacency list) dari graf berikut !

Latihan 6. Cari jarak terpendek dari graf berikut menggunakan algoritma exhaustive pada TSP