KONSEP DASAR PROBABILITAS (SSTS 2305 / 3 sks) Dra. Noeryanti, M.Si

Pengantar: Materi yang akan dibahas dalam pokok bahasan disini merupakan dasar dari materi teori probabilitas secara keseluruhan, yang meliputi beberapa pengkajian tentang percobaan, hasil suatu percobaan, ruang sampel dan kejadian. Dalam banyak persoalan yang berkaitan dengan munculnya suatu kejadian tertentu, dapat diselesaikan dengan menghitung jumlah titik dalam ruang sampel tanpa perlu membuat daftar unsurnya. Patokan dasar mencacah ini disebut aturan perkalian.

Kompetensi: Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori Probabilitas secara benar. Mampu dan terampil dalam melakukan hitungan-hitungan yang berkaitan dengan hasil percobaan, ruang sampel, kejadian, permutasi, kombinasi, dan menghitung titik sampel Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.

Percobaan, Ruang Sampel & Kejadian Menghitung Titik Sampel Daftar Isi Materi: Percobaan, Ruang Sampel & Kejadian Menghitung Titik Sampel

1.1. Percobaan, Ruang Sampel dan Kejadian Data : Semua informasi yang dicatat dan dikumpulkan dalam bentuk aslinya, baik dalam bentuk hitungan maupun pengukuran. Percobaan (Eksperimen): Suatu proses pengumpulan data yang menunjukan adanya variasi di dalam hasil nya. (proses ini diulang-ulang dlm kondisi yg sama, dan menghasilkan data) Ruang Sampel (S): Kumpulan semua hasil eksperimen. Dan tiap-tiap unsur dlm ruang sampel S disebut Titik Sampel Kejadian (event): Himpunan bagian dari ruang sampel S. Ruang Sampel Diskrit : Ruang sampel dimana banyaknya elemen berhingga atau dpt dihitung sesuai dg bilangan cacah. Ruang Sampel Kontinu : Ruang sampel yang memuat semua bilangan dalam suatu interval

Contoh (1.1): Percobaan: Pelemparan sepasang dadu (merah dan putih) Hasil : Pasangan ( i , j ); i = titik yg tampak dari dadu merah j = titik yg tampak dari dadu putih Ruang Sampel ( S): kumpulan pasangan ( i , j ) dengan i = 1, 2, … 6 dan j = 1, 2, …., 6 Misalnya kita tertarik pada kejadian jumlah titik dadu yang tampak adalah 7, dan kejadian adanya titik kedua dadu sama, maka

Contoh(1.2): Kita misalkan: A = kejadian jumlah ttk yg tampak adalah 7 B = kejadian bahwa titik kedua dadu sama Contoh(1.2): Percobaan: Dalam dua minggu 4 pasien diberi obat. Sembuh dan tidaknya pengobatan pasien dicatat. Hasil : Semua pasangan yg mungkin dari ke 4-pasien. Misalnya, K = kesuksesan dalam pengobatan dan G = kegagalan dalam pengobatan Ruang Sampel(S): kumpulan semua pasangan dari hasil eksperimen

Misalnya: Kejadian A = semua pasien akan sembuh Kejadian B = ada 50% lebih pasien yg sembuh Jika menyatakan banyaknya komponen yang muncul dalam kejadian tersebut maka:

Contoh(1.3): Percobaan: terdiri atas lantunan uang logam, bila muncul sisi muka akan dilakukan lantunan untuk kedua kalinya. Tetapi jika lantunan pertama diperoleh sisi belakang, lantunan kedua akan digulirkan sebuah dadu. Guna mencatat semua unsur dalam ruang sampel S yang memberikan informasi terbanyak, sebaiknya mencacat secara bersistem menggunakan diagram pohon seperti gambar 1.1 Hasil : Semua pasangan (i,j), yang muncul pada lantunan pertama dan lantunan kedua. Ruang Sampel(S): dari gambar (1.1) diperoleh

Hasil pertama M B Titik Sampel MM MB B1 B2 B3 B4 B5 B6 Hasil kedua M B 1 2 3 4 5 6 Gambar (1.1). Diagram pohon untuk contoh (1.3)

Definisi (1.1): Contoh(1.4): Komplemen suatu kejadian A terhadap ruang sampel S, adalah himpunan yang semua unsur S yang tidak termasuk dalam A. Dinyatakan dengan Contoh(1.4): Dalam contoh (1.3). Misalnya ,A = kejadian munculnya titik sampel yang sama = {MM} Maka Jika B = {hasil pertama sisi belakang} = {B1, B2, B3, B4, B5, B6}, maka

Misalkan A = { a, b, c } dan B = { b, c, d, e } Definisi (1.2): Gabungan dua kejadian A dan B dinyatakan “A  B”, adalah kejadian yang memuat semua unsur yang termasuk dalam A, atau B, atau sekaligus kedua- keduanya. Contoh(1.5): Misalkan A = { a, b, c } dan B = { b, c, d, e } A  B = { a, b, c, d, e } dan B  A = { a, b, c, d, e } disini A  B = B  A Definisi (1.2): Irisan dua kejadian A dan B dinyatakan “A  B”, , adalah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A, dan B.

Misalkan A dan B seperti pada contoh (1.5) A  B = {b, c} dan B  A = {b, c} disini A  B = B  A Definisi (1.3): Dua kejadian A dan B saling meniadakan atau terpisah bila “A  B=  ”, yaitu bila A dan B tidak memiliki unsur persekutuan. Contoh(1.7): Misalkan A = {a, e, i, o, u} dan B = {r, s, t} A  B =  yaitu A dan B tidak mempunyai unsur persekutuan, jadi tidak mungkin muncul serentak.

1.2. Menghitung Titik Sampel Dalam banyak persoalan yang berkaitan dengan munculnya suatu kejadian tertentu, dapat diselesaikan dengan menghitung jumlah titik dalam ruang sampel tanpa perlu membuat daftar unsurnya. Patokan dasar mencacah ini disebut aturan perkalian. Teorema (1.1): Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam -cara, dan setiap cara pada operasi ke-2 dapat dilakukan dalam -cara, maka kedua operasi tersebut secara bersama-sama dapat dilakukan dalam -cara. Aturan perkalian ini dapat diperluas sehingga mencangkup banyak (=k) operasi.

Contoh(1.8): Suatu perusahaan perumahan menawarkan untuk calon pembeli menyajikan beberapa pilihan rumah gaya luar berbentuk tradisional, spanyol, kolonial dan modern, bertempat di daerah pusat kota, pantai,dan bukit. Ada berapa banyak pilihan seseorang pembeli dapat memesan rumah? Jawab: = 4; =3 Jadi banyaknya pilihan untuk memesan rumah = ( )( ) = (4)(3) = 12 macam Dapat pula dinyatakan seperti diagram pohon pada Gambar (1.2)

Gambar (1.2). Diagram pohon untuk contoh (1.8) Bukit Pantai Pusat Kota Modern Spanyol Kolonial Tradisional Gambar (1.2). Diagram pohon untuk contoh (1.8)

Contoh(1.9): Seorang langganan ingin memasang telepon dan ia dapat memilih dari 10 warna dekorasi, 3 pilihan panjang kawat sambungan dan 2 jenis telepon yang diputar atau yang pakai tombol. Ada berapa banyak pilihan jika seseorang akan memasang telepon tersebut di atas? Jawab: = 10; =3; = 2 Jadi banyaknya pilihan jika seseorang akan memasang telepon adalah ( )( )( ) = (10)(3)(2) = 60 macam pilihan

Definisi (1.4): Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan obyek yang diambil sebagian atau seluruhnya Banyaknya permutasi dari n-elemen setiap kali dipilih k- elemen dinyatakan dengan simbol atau atau P (n, k) ; Didefinisikan: o! = 1 Contoh(1.10): untuk n=4 dan k=3 , diperoleh

Banyaknya permutasi dari n-obyek yang berbeda adalah n! Teorema (1.2): Banyaknya permutasi dari n-obyek yang berbeda adalah n! (dibaca n-faktorial) Contoh(1.11): Ada berapa permutasi yang dapat dibentuk dari himpunan yang mempunyai 3 anggota yang berlainan. Jawab: Misalnya himpunan tersebut adalah H = {a, b, c} Permutasi yang dapat dibuat adalah abc, acb, bac, bca, cab, cba. Ada 6 susunan yang berlainan. atau Permutasi yang dapat dibuat adalah = (3)(2)(1) = 6 (susunan yang berlainan)

Banyaknya permutasi n-obyek berlainan yang disusun melingkar Teorema (1.3): Banyaknya permutasi n-obyek berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)! Contoh(1.12): Berapa banyaknya permutasi dari 5 orang yang duduk di meja bundar. Jawab: Misalnya nama orang tersebut adalah A, B, C, D, E Banyaknya permutasi yang dapat dibentuk melingkar ini adalah 4! = 24 susunan

Teorema (1.4): Contoh(1.12): Jawab: Banyaknya permutasi dari n-obyek yang berlainan jika diantaranya berjenis pertama, berjenis ke-2, …. ,berjenis ke-k adalah Contoh(1.12): Berapa banyaknya permutasi dari 5 orang yang duduk di meja bundar. Jawab: Misalnya nama orang tersebut adalah A, B, C, D, E Banyaknya permutasi yang dapat dibentuk melingkar ini adalah 4! = 24 susunan

Dalam hal ini n=5 dan k=3, permutasi yang dapat dibentuk Contoh(1.13): Berapa banyaknya jadwal yang dapat disusun dalam penyelenggaran pelatihan kerja, untuk 3 penceramah dalam 3 pertemuan bila ke-3nya bersedia memberikan pelatihan setiap hari selama 5-hari kerja? Jawab: Dalam hal ini n=5 dan k=3, permutasi yang dapat dibentuk adalah Jadi banyaknya jadwal yang dapat disusun dalam penyelenggaran pelatihan kerja tersebut adalah 60 macam susunan

Definisi(1.5): Teorema (1.5): Suatu himpunan bagian yang terdiri dari k elemen yang diperoleh dari suatu himpunan dengan n elemen disebut suatu Kombinasi dari n elemen setiap kali diambil k elemen. Diberi simbol sebagai: Dengan rumus: Teorema (1.5): Banyaknya kombinasi dari n-obyek yang berlainan bila diambil sebanyak r-sekaligus adalah

Teorema (1.6): Banyaknya cara menyekat suatu himpunan dari n-obyek dalam r-sel, masing-masing berisi unsur dalam sel-pertama, dalam sel ke-2, … , dalam sel ke-r adalah Catatan: Dari satu kombinasi dapat disusun k! permutasi, ini berarti bahwa jumlah permutasi yang diperoleh dari semua kombinasi, sama dengan k! kali jumlah kombinasinya. Jadi atau

Contoh(1.14): Berapa banyaknya cara untuk menampung 7 orang dalam 3 kamar hotel, jika tersedia 1 kamar mempunyai 3 tempat tidur sedangkan 2 kamar lainnya mempunyai 2 tempat tidur? Jawab: Jumlah seluruh sekat adalah cara Contoh (1.15) : Berapa kombinasi dari 4 huruf ABCD, jika diambil 3 huruf ? Jawab : Untuk n=4 dan k=3 diperoleh

Keterangan: Kombinasi Permutasi ABC ACB BAC BCA CAB CBA ABD ADB BAD Tabel 1.1. tabel Kombinasi Permutasi ABC ACB BAC BCA CAB CBA ABD ADB BAD BDA DAB DBA ACD ADC CAD CDA DAC DCA BCD BDC CBD CDB DBC DCB Keterangan: AB, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA adalah kombinasi-kombinasi yang sama (lihat baris pertama)