Analisa Data Statistik Agoes Soehianie, Ph.D

Chap-1

Chap 2: Probabilitas Eksperimen/Percobaan statistik Ruang Sample (S) Proses stokastik yang akan menghasilkan data statistik. Bilamana diulang berkali-kali hasilnya akan berfluktuasi tidak bisa secara tepat diduga sebelumnya. Ruang Sample (S) Himpunan seluruh outcome (keluaran) yang mungkin dari eksperimen statistik Tiap outcome disebut : elemen/anggota/titik sampel dari ruang sampel (S) Contoh: Percobaan : lempar 1 koin  S = {G,A} titik sampel: G:gambar, A: angka Percobaan : lempar dadu  S = {1,2,3,4,5,6}. Titik sampel: 1,2,3,4,5,6 Percobaan: lempar 1 dadu, hanya memperhatikan outcome-nya genap atau ganjil,  S = {genap, ganjil}, Titik sampel : mata dadu genap, mata dadu ganjil

Anggota Ruang Sampel: Diagram Pohon Bilamana anggota ruang sampel berhingga, diagram pohon (tree-diagram) bisa membantu membuat list titik-titik sampel-nya. Contoh Percobaan melempar 1 koin dan 1dadu dengan aturan, lempar koin terlebih dahulu, bilamana yg keluar gambar (G) maka koin dilempar lagi, bilamana yg keluar angka (A) maka dilempar sebuah dadu. Buatlah ruang sampelnya Jawab Susun diagram pohon 123456 Ruang sampelnya: A S= {A1,A2,A3,A4,A5,A6,GA,GG} A G G

Soal: Ruang Sampel Dari produksi sebuah pabrik lampu, diambil secara random/acak 3 buah lampu untuk diperiksa. Hasil pemeriksaan dikategorikan menjadi 2 kemungkinan saja yaitu: R: rusak, B: baik (tidak rusak). Susunlah ruang sampel dari proses ini. Berapakah jumlah titik sampelnya?

Events/Peristiwa/Kejadian Adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Jadi berisi kumpulan dari titik-titik sampel. Biasanya sebuah kejadian adalah kumpulan titik-titik sampel yg memenuhi kriteria tambahan tertentu. Contoh S : {t| t≥0} menyatakan ruang sampel umur komponen elektronik yg dihasilkan sebuah pabrik A : {t| 0≤ t ≤5} adalah kejadian yg menyatakan himpunan semua komponen elektronik yg rusak sebelum 5 tahun. Berbagai sifat dan operasi pada Himpunan berlaku

Operasi Pada Himpunan Komplemen A Contoh: S : {1,2,3,4,5,6} Jika A adalah kejadian, maka A’ (komplemen A) adalah kejadian yg menjadi himpunan bagian S (ruang sampel) yang anggotanya bukan menjadi anggota A. Diagram Venn Contoh: S : {1,2,3,4,5,6} A : {1,2,3} A’ : {4,5,6} S A A’

Operasi Pada Himpunan Irisan / Interseksi Contoh: Jika A dan B adalah kejadian, maka irisan A dan B = A∩B adalah kejadian yg anggota-anggotanya menjadi anggota A sekaligus B. Diagram Venn Contoh: C: Mahasiswa ITB M: Pria C∩M: Mahasiswa ITB dan seorang Pria Jika A∩B=Φ maka dikatakan kejadian A dan B mutually exclusive atau disjoint S A A∩B B

Operasi Pada Himpunan Gabungan/ Union Contoh: Jika A dan B adalah kejadian, maka gabungan A dan B = AυB adalah kejadian yg anggota-anggotanya menjadi anggota A atau B. Jadi seluruh anggota A dan seluruh anggota B menjadi anggota gabungan AυB Diagram Venn Contoh: A: {a,b,c} B: {c,d,e} AυB: {a,b,c,d,e} S A B AυB

Menghitung Titik Sampel Banyak kasus dimana kita harus menghitung banyaknya titik sampel sebuah ruang sampel tanpa harus membuat daftar isi ruang sampelnya terlebih dahulu (karena terlalu banyak!) Aturan Perkalian Jika sebuah operasi bisa dilakukan dengan n1 cara dan untuk setiap operasi tersebut ada operasi kedua yg bisa dilakukan sebanyak n2 cara, maka jika kedua operasi tsb dilakukan secara bersama-sama banyaknya cara/kombinasi yg mungkin adalah: n1 X n2 Contoh Berapa banyak titik sampel di ruang sampel bilamana dua buah dadu dilempar bersamaan. Jawab: Dadu pertama ada 6 kemungkinan outcome, dadu kedua juga 6 kemungkinan, sehingga kombinasi dua buah dadu ada: 6x6 =36 outcome yg berbeda.

Menghitung Titik Sampel Soal Sebuah developer menawarkan 3 pilihan tipe rumah: Mediteranian, Klasik dan Joglo. Untuk masing-masing tipe tersebut susunan lantainya bisa : 1 lantai, 2 lantai dan 3 lantai. Ada berapa kombinasi berbeda yg bisa ditawarkan oleh developer tsb? Soal: Generalisasi aturan Perkalian Seorang anak memiliki 3 macam sepatu {kets, sandalm pesta} serta 4 macam topi {merah,biru,putih,hitam}, 2 macam celana {jeans, biasa} dan 5 macam baju {sekolah, pesta, main, kaus, batik}. Jikalau tiap kali anak tsb menggunakan sepatu,topi,celana dan baju sekaligus, berapa kombinasi berbeda yg bisa dimilikinya?

Permutasi Susunan sebagian atau seluruh anggota sebuah himpunan dengan memperhatikan urutannya. Contoh Diberikan himpunan 3 huruf {a,b,c}. Carilah seluruh permutasi yg mungkin yg melibatkan ketiga huruf tsb! Jawab: abc,acb,bac,bca,cab,cba = 6 susunan yg berbeda Alternatif : Untuk huruf pertama kita punya 3 pilihan {a atau b atau c}: 3 cara Untuk huruf kedua kita tinggal punya 2 pilihan : 2 cara Untuk huruf ketiga hanya tersisa 1 pilihan (sebab tersedia Cuma 3 huruf) : 1 cara. Jadi total permutasi 3 huruf tsb adalah : 3X2X1 = 3! = 6 cara.

Permutasi : n! dan n!/(n-r)! Secara umum, jika kita memiliki n obyek, dan akan disusun permutasi (kombinasi) dari seluruh n obyek tsb dengan memperhatikan urutannya, maka banyaknya permutasi yg mungkin adalah: nx(n-1)x(n-2)x…x3x2x1=n! Jika dari n obyek hanya diambil r (≤n), maka banyak permutasi yg mungkin adalah: Permutasi seluruh obyek dibagi dg permutasi obyek yg tidak terpilih/sisanya (n-r)! = permutasi (n-r) obyek r obyek ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● | ● ● ● ● ● ● n! = permutasi seluruh obyek

Permutasi : n! dan n!/(n-r)! Contoh: Setiap tahun disediakan tiga buah tropi untuk siswa sebuah kelas, yaitu tropi Emas, Perak dan Perunggu. Jika tiap siswa hanya punya kesempatan mendapat salah satu dari hadiah tsb, untuk kelas yg terdiri dari 25 siswa ada berapa pasang kombinasi siswa pemenang yg mungkin? Jawab Ini adalah problem permutasi dari 25 elemen diambil 3 saja, jadi banyak kombinasi yg berbeda siswa pemenang adalah: Tentu sangat tidak praktis jika kita harus membuat daftar 13800 seluruh kemungkinan tsb

Permutasi : n! dan n!/(n-r)! Soal Sebuah kelas berisi 50 orang hendak memilih pengurus kelas yg teridiri dari seorang ketua kelas dan seorang bendahara. Berapa banyak pilihan pengurus kelas berbeda yang mungkin jika: Tanpa ada kendala apapun juga Si A hanya mau terpilih jadi ketua saja Si B dan si C hanya mau jika terpilih bersama-sama

Permutasi Melingkar Jikalau obyek yg dipermutasi tersusun secara melingkar maka banyak permutasinya akan berbeda, sebab sekarang “kepala” dan “ekor” tidak jelas lagi. Contoh : susunan linear ABC berbeda dg CAB, akan tetapi jika disusun melingkar maka keduanya adalah susunan yang sama, sebab dengan merotasi saja kita peroleh susunan yg satu dari yg lainnya. Jika ada n obyek yg dipermutasi melingkar, maka obyek pertama bisa menduduki n kemungkinan, tetapi semua posisi ini akan sama saja sebab susunannya melingkar. Maka banyak permutasi n obyek yg disusun melingkar adalah : n!/n = (n-1)! A B C C A B

Permutasi Melingkar Contoh Jawab: Soal: Tiga orang A, B dan C akan duduk melingkar. Ada berapa banyak permutasi susunan duduk yg berbeda? Jawab: Karena susunannya melingkar dan diasumsikan yg terpenting adalah posisi relatif satu orang thd yg lain, bukan tempat duduknya maka banyak cara duduk yg berbeda adalah (3-1)! = 2! = 2 Soal: 4 orang bersepakat bermain bridge dg duduk berhadap-hadapan. Ada berapa susunan duduk yg berbeda yg mungkin? A B C A C B

Permutasi Melingkar Jawab Karena susunannya melingkar dan diasumsikan yg terpenting adalah posisi relatif satu orang thd yg lain, bukan tempat duduknya maka banyak cara duduk yg berbeda adalah (4-1)! = 3! = 6 A B D C A C B D A B C D A C D B A D B C A D C B

Permutasi dg Obyek Kembar Permutasi oleh n obyek yg diambil n buah, akan tetapi n1 dari obyek tsb adalah identik, sebanyak n2 juga identik, n3 juga identik dst, adalah: Sebab permutasi dikalangan obyek identik tidak menghasilkan konfigurasi baru pada permutasi n buah obyek tersebut! Contoh Dalam sebuah acara di ITB tersedia 10 buah kursi yg telah diberi nomor dari 1 sd 10. Ada 10 mahasiswa yg diundang masing-masing 1 mahasiswa tingkat 1, 2 tingkat 2, 4 tingkat 3 dan 3 mahasiswa tingkat 4. Ada berapa cara duduk berbeda berdasarkan tingkat-nya bukan identitas si mahasiswa?. Jawab Jikalau yg disusun menurut identitas mahasiswanya maka 10 orang mahasiswa bisa duduk dg 10! = 3 268 800 cara berbeda. Tetapi karena mahasiswa tingkat yg sama dianggap sama, maka ini permutasi dengan

Permutasi dg Obyek Kembar Jawab (lanjutan) Yang mengandung obyek yg identik. Maka banyaknya cara duduk berdasarkan tingkat yg berbeda adalah:

Mempartisi Himpunan Dalam Sel-Sel Misal kita punya himpunan yg terdiri dari n anggota, kemudian ingin dipartisi /dibelah menjadi beberapa sel atau kelompok. Pertanyaan ada berapa cara untuk membaginya menjadi kombinasi yg berbeda? Syaratnya: tidak boleh ada elemen yg menjadi anggota kelompok di lebih dari 1 sel Jumlah total anggota seluruh sel = total anggota himpunan semula Urutan anggota dalam 1 kelompok tidak penting

Mempartisi Himpunan Dalam Sel-Sel Contoh Misal S = {a,i,u,e,o} Ingin dipartisi menjadi 2 kelompok dengan ketentuan 1 kelompok berisi 4 dan sisanya 1 anggota. Maka seluruh kombinasi yg mungkin adalah: {a e i o | u} {a e i u | o} {a e o u | i} {a i o u | e} {i e o u | a} Ada 5 kombinasi berbeda yg mungkin (urutan dalam 1 sel diabaikan!) Secara umum jika anggota himpunannya n buah dan jumlah anggota tiap sel n1 lalu n2 lalu n3 dst, dengan n1+n2+n3+…. = n, maka banyak cara mempartisi yg berbeda adalah: Jadi dalam contoh ini banyak caranya :

Mempartisi Himpunan Dalam Sel-Sel Soal 7 Orang turis hendak menginap di sebuah hotel. Kamar yg tersedia adalah 1 kamar triple (dihuni 3 orang) dan 2 kamar double (masing2 dihuni 2 orang). Ada berapa banyak cara berbeda menempatkan mereka tsb dalam kamar-kamar yg disediakan tsb?

Kombinasi Banyaknya cara untuk memilih r obyek dari n obyek tanpa memperhatikan urutan dari obyek-obyek yg terpilih disebut kombinasi. Contoh: dalam kombinasi (a,b,c) dan (c,b,a) adalah sama. Berarti ini sebenarnya adalah mempartisi himpunan dengan n anggota menjadi 2 sel, salah satu sel berisi r buah obyek (sisanya berarti (n-r) obyek. Maka banyaknya kombinasi yg berbeda jika dari n obyek dipilih r buah saja adalah: Di ruas kanan dituliskan notasi singkat untuk kombinasi

Kombinasi Contoh Jawab Berapa kombinasi huruf yang mungkin jikalau dari 5 huruf a,b,c,d,e tiap kali hanya diambil 3 huruf. Tiap kali hanya diperhatikan jenis huruf yg terpilih, tidak urutan hurufnya. Jawab Ini adalah problem kombinasi dengan n=5 dan r=3, jadi banyak kombinasinya adalah Karena jumlahnya sedikit kita dapat me-list-nya: abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde

Probabilitas Sebuah Kejadian Asumsi : jumlah titik sampel berhingga Probabilitas atau kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa/kejadian/event dinyatakan oleh sebuah bilangan real x dengan 0≤x ≤1. Untuk setiap titik sampel diberikan nilai probabilitasnya Jumlah total probabilitas untuk seluruh titik sampel=1 Definisi: Probabilitas terjadinya sebuah peristiwa A = jumlah probabilitas seluruh titik sampel yg menjadi anggota himpunan A Notasi : 0 ≤ P(A) ≤ 1 Jika ada banyak kejadian A1, A2 dst mutually exclusive maka P(A1 U A2 U A3 ….) = P(A1)+ P(A2)+ P(A3)+

Probabilitas Sebuah Kejadian Contoh Sebuah koin dilempar 2 kali. Berapa probabilitas paling tidak muncul 1 gambar (1G)? Jawab Ruang sample untuk pelemparan koin dua kali adalah: S = {GG,GA,AG,AA} mengandung 4 titiki sampel. Asumsikan bahwa koin ideal, sehingga probabilitas munculnya angka (A) dan gambar (G) sama, sehingga probabilitas munculnya setiap titik sampel di S juga sama, misal = w. Maka P(GG)+P(GA)+P(AG)+P(AA)=1  4w = 1  w=1/4 Event A adalah munculnya paling tidak 1 gambar, dari ruang sampel S terlihat bahwa A = {GG,GA,AG}, n(A)=3 Maka P(A) = P(GG)+P(GA)+P(AG) = 3/4w

Probabilitas Sebuah Kejadian Contoh Sebuah dadu direkayasa sehingga mata dadu genap 2 kali lebih mungkin muncul dibandingkan mata dadu ganjil. Jika A didefinisikan sebagai kejadian munculnya mata dadu lebih kecil dari 4, carilah probabilitas P(A). Jawab Ruang sample untuk pelemparan dadu 1 kali adalah: S = {1,2,3,4,5,6} Probabilitas munculnya mata dadu genap 2x mata dadu ganjil, jika probabilitas mata dadu ganjil= w, maka probabilitas munculnya mata dadu genap = 2w. P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 3(w)+3(2w) = 9w = 1 Sehingga w=1/9 A = {1,2,3}  P(A) = P(1)+P(2)+P(3)= w + 2w + w = 4w = 4/9

Probabilitas Sebuah Kejadian Teorema Jika outcome sebuah eksperimen ada N macam yg berbeda dengan kemungkinan muncul masing-masing outcome adalah sama, dan jika n dari eksperimen tsb adalah kejadian A, maka P(A) = n/N Contoh Dalam sebuah klas statistik muridnya berasal dari berbagai bidang, 25 dari manufaktur, 10 dari mekanik, 10 dari elektro dan 8 dari teknik sipil. Jika seseorang dipilih secara acak untuk menjawab pertanyaan, berapakah probabilitasnya yg terpilih adalah (a) siswa dari mekanik, (b) siswa dari teknik sipil atau teknik elektro Jawab a) total siswa T = 25+10+10+8 = 53, jumlah siswa mekanik = 10, maka probabilitas terpilih dari mekanik P(M)= 10/53 b) probabilitas siswanya dr teknik elektro (E) atau sipil (S) adalah P(E υ S) = P(E) + P(S) = 10/53 + 8/53 = 18/53

Probabilitas Sebuah Kejadian Bagaimana menentukan probabilitas sebuah outcome? Kondisi ideal, asumsi semua outcome sama probabilitasnya Data empiris, dari hasil eksperimen atau data terdahulu berdasarkan relatif frekuensi kemunculan tiap outcome. Contoh: basgaimana menentukan probabilitas seorang pembalap F1 akan menang dalam sebuah balapan? Bagaimana menentukan bahwa bulan Agustus akan terjadi hujan? Intuisi  definisi probabilitas secara subyektif

Sifat-Sifat Probabilitas Kejadian Sifat-sifat operasi pada himpunan berlaku Aturan Penjumlahan Jika A dan B adalah 2 kejadian, maka P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Jika A dan B adalah 2 kejadian yg mutually exclusive, maka P(A U B) = P(A) + P(B) Jika A1, A2 A3 … adalah kejadian2 yg mutually exclusive, maka P(A1 U A2 U A3 U … ) = P(A1) + P(A2) + P(A3)+ ….. Jika A1, A2 A3 … adalah partisi dari ruang sampel S, maka P(A1 U A2 U A3 U … ) = P(A1) + P(A2) + P(A3)+ …..= 1 Jika A, B dan C adalah 3 kejadian, maka P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(C∩B)+ P(A∩B ∩C) Jika A dan A’ adalah kejadian yg komplementer, maka P(A)+P(A’)=1

Sifat-Sifat Probabilitas Kejadian Contoh Berapakah probabilitas untuk mendapatkan jumlah 7 atau 11 ketika melempar sepasang dadu? Jawab Misal A adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu 7 Dan B adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu 11 Banyak outcome dg mata dadu 7 adalah 6 { 16,25,34,43,52,61} Banyak outcome dg mata dadu 11 adalah 2 {56,65} Probabilitas munculnya jumlah mata dadu 7, P(A) = 6/36 Probabilitas munculnya jumlah mata dadu 11, P(B) = 2/36 Kejadian munculnya jumlah dadu 7 adalah mutually exxclusive dengan munculnya jumlah dadu 11 (tak mungkin terjadi keduanya sekaligus!!!), maka Probabilitas munculnya jumlah mata dadu 7 atau 11, P (A U B) = P(A) + P(B) = 6/36 + 2/36 = 8/36 = 2/9

Sifat-Sifat Probabilitas Kejadian Contoh Berikut ini adalah tabel probabilitas seorang mekanik akan melakukan servis sejumlah mobil pada satu hari: Jum. Mobil 3 4 5 6 7 ≥8 Probabilitas 0.12 0.19 0.28 0.24 0.10 0.07 Berapakah probabilitasnya hari berikutnya dia akan menservis paling tidak 5 buah mobil? Jawab Misal A adalah kejadian paling tidak 5 mobil diservis Maka A’ adalah kejadian jumlah mobil yg diservis kurang dari 5, maka P(A)+P(A’)=1 Dari tabel P(A’) = P(3)+P(4) = 0.12+0.19 = 0.31 Sehingga P(A) = 1- P(A’)= 1-0.31 = 0.69

Probabilitas Bersyarat P(B|A) adalah probabilitas bahwa kejadian B akan terjadi asalkan kejadian A terjadi terlebih dahulu: Logika : prob A terjadi dulu, lalu fraksi bagian dari A yg juga B. Contoh. Kategori penduduk sebuah kecamatan Bekerja Menganggur Total Pria 460 40 500 Wanita 140 260 400 Total 600 300 900 Misal kejadian L : adalah terpilihnya seorang pria sebagai sampel B : adalah terpilihanya seorang yg bekerja Jika yang terpilih bekerja, maka probabilitas yg terpilih pria adalah : P(L|B) = 460/600= 23/30 A B A∩B

Probabilitas Bersyarat Hasil ini juga bisa diperoleh dengan cara sbb: P(L|B) = n(L∩B)/n(B)= {n(L∩B)/n(S)} /{n(B)/n(S)} = P(L∩B)/P(B) Dimana S adalah ruang sampel seluruhnya. Check : P(L∩B) = 460/900=23/45 dan P(B)= 600/900=2/3 P(L|B) = {23/45}/{2/3} = 23/30

Probabilitas Bersyarat Contoh. Probabilitas penerbangan reguler berangkat tepat waktu adalah P(D)=0.83. Sedang probabilitasnya tiba tepat waktu P(A) = 0.82. Probabilitas sebuah pesawat berangkat dan tiba tepat waktu { P(A∩D)} adalah 0.78. Carilah probabilitas sebuah pesawat: Akan tiba tepat waktu asalkan berangkat tepat waktu Berangkat tepat waktu bila ternyata dia tiba tepat waktu. Jawab: P(A|D) = P(A∩D)/P(D) = 0.78/0.83= 0.94 P(D|A) = P(A∩D)/P(A) = 0.78/0.82 =0.95

Probabilitas Bersyarat Soal. Dari pengalaman produksi sebuah pabrik tekstil diketahui bahwa 10% dari tekstil produknya memiliki kesalahan dalam panjangnya, sedangkan 5% memiliki cacat coraknya dan hanya 0.8% yg salah panjang dan sekaligus cacat coraknya. Jika sebuah produk tekstilnya dipilih secara acak, dan ternyata salah panjangnya, berapakah probabilitasnya bahwa coraknya juga salah?

Kejadian Saling Bebas (Independent) Dalam contoh probabilitas bersyarat probabilitas terjadinya sesuatu, bergantung pada peristiwa lain yg mendahuluinya. Misalnya probabilitas pesawat mendarat tepat waktu, dipengaruhi oleh apakah pesawat tinggal landas tepat waktu. Akan tetapi terdapat jenis kejadian dimana probabilitasnya tidak dipengaruhi terjadi atau tidaknya peristiwa yg lain, atau: P(A|B) = P(A) atau ini berarti juga P(B|A) = P(B) Kejadian yg semacam ini disebut kejadian yg saling bebas. Aturan Perkalian Jika kejadian A dan B dapat terjadi dalam sebuah eksperimen, maka P(A∩B) = P(A)P(B|A) asalkan P(A)>0, atau ini juga berarti = P(B)P(A|B)

Kejadian Saling Bebas (Independent) Contoh. Sebuah kotak berisi 20 kelereng terdiri dua macam kelereng: merah 5 buah dan sisanya biru. Jika diambil 2 buah kelereng secara berturutan, tanpa dikembalikan, berapakah probabilitasnya bahwa keduanya yg terambil adalah kelereng merah? Jawab: Definisikan A: kejadian terambilnya kelereng merah pada pengambilan pertama B: kejadian terambilnya kelereng merah pada pengambilan kedua P(A∩B) : kejadian terambilnya kelereng merah pada pengambilan pertama, terus pada pengambilan kedua terambil merah lagi. P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (5/20)(4/19)=1/19

Kejadian Saling Bebas (Independent) Dua kejadian A dan B disebut saling bebas jika dan hanya jika P(A∩B) = P(A)P(B) Jadi probabilitas terjadinya A dan B yg saling bebas adalah hasil kali dari probabilitas terjadinya masing-masing. Contoh. Sebuah kota kecil punya 1 mobil pemadam kebakaran dan 1 ambulan. Probabilitas bahwa mobil pemadam kebakaran ada ketika dibutuhkan adalah 0.98, dan probabilitas ambulan tersedia ketika dibutuhkan adalah 0.92. Berapa probabilitasnya maka jika dipanggil secara serempak ambulan dan pemadam kebakaran tersedia. Jawab: A : kejadian mobil pemadam kebakaran ada B : kejadiam mobil ambulan ada P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.98*0.92 = 0.9016

Kejadian Saling Bebas (Independent) Soal. Sebuah tas berisi bola putih 5 buah dan bola hitam 3 buah. Sedangkan tas kedua berisi 2 bola putih dan 6 bola hitam. Satu bola diambil diambil dari tas pertama, dan tanpa dilihat hasilnya bola tersebut dimasukkan kedalam tas kedua. Setelah itu secara acak diambil 1 bola dari tas kedua, berapakah probabilitasnya yang terambil bola putih?