Oleh: Edi Satriyanto edi@eepis-its.edu Peluang Oleh: Edi Satriyanto edi@eepis-its.edu

Peluang=Kemungkinan=Probabilitas Ketidakpastian Kejadian yang tidak pasti:Dikehidupan banyak yang tidak pasti. Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi Karena adanya dugaan, estimasi. Karena berhubungan dengan data sample bukan populasi. Peluang berhubungan dengan Sample dan Kejadian.

Ruang Sample Ruang Sampel S dari suatu percobaan adalah himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dari percobaan statistika itu. Contoh: Ruang sample mata uang logam: S={M,B} M=Muka B=Belakang Ruang sample Predikat Kelulusan:S={P,SM,M} P=Pujian SM=Sangat Memuaskan M=Memuaskan Ruang sample Listrik PLN: S={P,N} P=Padam N=Nyala

Ruang sample yang besar atau yang anggotanya berhingga banyaknya lebih mudah ditulis dengan suatu pernyataan atau aturan. Sebagai contoh, bila hasil yang mungkin dari suatu percobaan adalah kota di dunia yang berpenduduk melebihi satu juta, maka ruang sampelnya dapat dituliskan sebagai : Pernyataan di atas dibaca “S kumpulan semua x, bila x menyatakan kota yang penduduknya melebihi satu juta”. Sebagai contoh lain, bila S menyatakan kumpulan semua titik (x,y) di dalam suatu lingkaran atau pada gaaris lingkaran yang berjari-jari 2 cm, dengan pusat titik asal, maka dapat ditulis : Apakah ruang sample dinyatakan dengan cara aturan atau daftar anggotanya, akan bergantung pada masalah yang ditangani. Cara aturan mempunyai keuntungan praktis, terutama sekali bila daftarnya panjang sehingga lelah menuliskannya.

Contoh:1 Percobaan melempar sebuah dadu. Bila yang diselidiki ialah nomer yang muncul di muka sebelah atas, maka ruang sampelnya S1 = {1,2,3,4,5,6} Bila yang ingin diselidiki dalam percobaan itu apakah nomer genap atau ganjil yang muncul, maka ruang sampelnya S2 = {ganjil,genap} Contoh ini menunjukkan bahwa hasil suatu percobaan dapat dinyatakan dengan lebih dari satu ruang sample. Umumnya lebih baik kita memberikan ruang sample yang memberikan informasi terbanyak mengenai hasil suatu percobaan.

Contoh 2: Percobaan menyeleksi sebuah kartu Contoh 2: Percobaan menyeleksi sebuah kartu. Kita akan menyeleksi satu kartu dari tumpukan kartu yang jumlahnya standard 52 buah. Diasumsikan bahwa kartu telah diberi nomer dari noemr 1 sampai dengan 52. Maka ruang sample yang cocok untuk percobaan ini adalah S = {1,2,3,4,5, … ,52} selama kartu yang terambil/terseleksi dalam percobaan harus tepat satu dari jenis kartu yagn ada pada ruang sample tersebut. Contoh 3: Andaikan percobaan yang kita lakukan adalah melempar dua buah dadu dalam waktu bersamaan, dadu pertama merah dan dadu kedua hijau. Sebuah ruang sample yang cocok untuk percobaan itu adalah kumpulan dari semua pasangan yang mungkin (x1,x2) yang dapat terjadi, dimana x1 menunjukkan angka pada dadu merah dan x2 menunjukkan angka pada dadu hijau. Jadi ruang sample yang dapat digunakan S = DxD dimana D = {1,2,3,4,5,6} Atau S = {(x1,x2) : x1 = 1,2,3,4,5,6; x2 = 1,2,3,4,5,6}

Contoh 4. Andri, Endro dan Rudi bermain koin Contoh 4. Andri, Endro dan Rudi bermain koin. Percobaan yang mereka lakukan adalah satu kali pelemparan tiga koin secara bersamaan.Suatu ruang sample yang sesuai untuk percobaan ini adalah himpunan dari semua pasangan yang mungkin (x1,x2,x3), dimana posisi pertama dalam pasangan itu x1 adalah permukaan pada koin Andri, posisi kedua x2 permukaan pada koin Endro dan x3 permukaan pada koin Rudi. Ruang sample S yang dapat ditulis : S = CxCxC Dimana C = {M,B} Atau S = {(x1,x2,x3) : x1=M atau B, x2=M atau B, x3=M atau B} Contoh 5. Tiga butir barang dipilih secara acak dari sepuluh hasil produksi pabrik. Tiap butir barang diperiksa dan digolongkan menurut keadaan cacat atau tidak cacat. Ruang sample yang paling banyak memberi iformasi adalah S = {CCC, CCT, CTC, TCC, CTT, TCT, TTC, TTT} T menyatakan tidak cacat dan C cacat. Ruang sample lain, walaupun memberikan sedikit informasi, dapat berbentuk : S2 = {0,1,2,3} Anggota himpunan S2 masing-masing menyatakan : tidak ada cacat, satu cacat, dua cacat atau ketiganya cacat dari pilihan acak tiga barang.

Peluang suatu Kejadian Definisi 1:Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sample. Setiap himpunan bagian adalah sebuah kejadian. Ruang sample yang digunakan pada contoh 1 adalah S = {1,2,3,4,5,6} Kemudian tiap-tiap himpunan A={1}, B={1,3,5}, C={2,4,6}, D={4,5,6}, E={1,3,4,6}, adalah sebuah kejadian. Semua itu kejadian-kejadian yang berbeda karena tidak ada dua himpunan bagian yang sama.

Definisi 2: Suatu kejadian yang hanya mengandung satu unsure ruang sample disebut kejadian sederhana. Sedangkan gabungan dari beberapa kejadian sederhana dapat dinyatakan sebagai kejadian majemuk. Contoh: Kejadian menarik sebuah kartu heart dari sekotak akrtu bridge merupakan himpunan bagian A={heart}dari ruang sample S = {heart, spade, club, diamond}. Jadi A merupakan kejadian sederhana. Tetapi kejadian B menarik sebuah kartu merah merupakan kejadian majemuk, karena B = {heart diamond}={heart, diamond}. Perhatikan bahwa gabungan kejadian sederhana menghasilkan kejadian majemuk yang masih merupakan himpunan bagian ruang sample. Begitu juga perhatikan bahwa bila ke-52 kartu dalam suatu kotak kartu menjadi unsure ruang sample dan bukan ke 4 warna kartu, maka kejadian A dalam contoh 2 merupakan kejadian majemuk.

Hubungan Kejadian dan Ruang sampel Gambar diatas: Dapat dipakai untuk menggambarkan keadaan seseorang menarik sebuah kartu dari kelompok 52 kartu dan mengamati terjadinya ejadian berikut A : kartu yang ditarik berwarna merah B : kartu yang ditarik jack, queen atau king diamond C : kartu yang ditarik as. Dari keadaan itu dapat dilihat bahwa persekutuan kejadian A dan C hanyalah as merah (as heart dan as diamond).

Operasional pada Kejadian Definisi 1: Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan adalah kejadian baru yang unsurnya termasuk dalam A dan dalam B. Unsur dalam himpunan ialah unsur yang yang termasuk ke dalam dua himpunan A dan B. Unsur tersebut dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut : dimana lambang berarti anggota atau “termasuk di dalam”. Dalam diagram Venn pada gambar sebelumnya daerah yang diarsir menyatakan kejadian .

Contoh: Contoh 1: Ada himpunan A = {1,3,5,7,9,11,13,15} dan himpunan B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Maka hasil dari adalah C = {1,3,5,7,9} Contoh 2: R adalah kejadian bahwa seseorang yang dipilih secara acak selagi makan di warung dekat kampus adalah seorang mahasiswa, dan S menyatakan kejadian bahwa seseorang yang terpilih tinggal di asrama. Maka kejadian R∩S menyatakan himpunan semua mahasiswa yang makan di warung tersebut dan tinggal di asrama. Contoh 3: Misal P = {a, i, u, e, o} dan Q = {l, m, n}, maka himpunan , yaitu himpunan P dan himpunan Q tidak mempunyai unsur persekutuan.

Operasional pada Kejadian Definisi 2: Dua kejadian A dan B saling terpisah bila A∩B=Ø Dua kejadian A dan B yang saling terpisah dapat dilihat pada gambar 1.2.3. Dengan menghitami masing-masing kejadian A dan B terlihat bahwa dua kejadian tersebut tidak ada persekutuan, sehingga kejadian A∩B adalah himpunan kosong/hampa (Ø)

Contoh: Percobaan pelemparan sebuah dadu. Kejadian A menyatakan bahwa nomer genap yang muncul di sebelah atas dadu dan kejadian B menyatakan nomer ganjil yang muncul di sebelah atas dadu. Sehingga A = {1,3,5} dan B = {2,4,6}. Dari anggota A dan B itu terlihat bahwa tidak mungkin dua kejadian tersebut A dan B muncul bersamaan dalam satu kali pelemparan. Jadi dapat dikatakan juga bahwa A∩B=Ø, dan karena itu kejadian A dan B saling terpisah. , dan karena itu kejadian A dan B saling terpisah.

Operasional pada Kejadian

Operasional pada Kejadian

Peluang Suatu Kejadian

Peluang Suatu Kejadian

Beberapa Aturan Peluang

Peluang Bersyarat Peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(B|A). Lambang P(B|A) biasanya dibaca ‘peluang B terjadi bila diketahui A terjadi’ atau ‘peluang B, bila A diketahui’.

Peluang Bersyarat

Aturan Perkalian

Aturan Bayes

Contoh:

Soal-soal: