Logaritma & Deret (point 1) Julian Adam Ridjal, SP., MP. PS Agribisnis Universitas Jember

Pangkat, Akar & Logaritma Pangkat adalah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan. Bentuk umum a.a.a.a.a…. = an Contoh : 7 X 7 X 7 X 7 = 74

Pangkat, Akar & Logaritma Akar dari suatu bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangka akarnya Bentuk umum: xa = m  x =

Pangkat, akar & Logaritma Logaritma dari suatu bilangan adalah pangkat yang harus dikenakan pada bilangan pokok Logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.

Contoh Logaritma Hitunglah x untuk 3x+1 = 27 log 27 = 1,4314 dan log 3 = 0,4771 Carilah x jika ( 0,32 + x)15 = 789 log 789 = 2,8971 dan log (0,32 + x)15 = 15 log (0,32 + x) Selesaikan x untk log (3x + 298) = 3 3 merupakan log 103

Dan penerapannya dalam dunia ekonomi Deret Deret Hitung - Suku ke-n dari DH - Jumlah n suku Deret Ukur - Suku ke-n dari DU Dan penerapannya dalam dunia ekonomi

Definisi Deret : Rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Suku : Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk deret. Macam-macam deret : - Deret Hitung - Deret Ukur - Deret Harmoni

Deret Hitung Deret hitung : deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda, yang tak lain adalah selisih antara nilai dua suku yang berurutan. Contoh : 5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda 5) 90, 80, 70, 60, 50, 40 (pembeda -10)

Suku ke-n dari Deret Hitung 5, 10, 15, 20, 25, 30 S1, S2, S3, S4, S5, S6 S1 = 5 = a S2 = 10 = a + b = a + (2 - 1)b S3 = 15 = a + 2b = a + (3 - 1)b S4 = 20 = a + 3b = a + (4 - 1)b S5 = 25 = a + 4b = a + (5 - 1)b S6 = 30 = a + 5b = a + (6 - 1)b Sn = a + (n - 1)b a = suku pertama / s1 b = pembeda n = indeks suku

Jumlah n Suku Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tidak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya.

Berdasarkan rumus suku ke-n  Sn = a + (n - 1)b, maka dapat diuraikan J4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b J5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = 5a + 10b J6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 6a + 15b

Masing-masing Ji dapat ditulis Sn

Deret Ukur Deret ukur : deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda. Contoh : 5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda 2) 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda 0,5)

Suku ke-n dari Deret Ukur

Jumlah n Suku

Model Perkembangan Usaha Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, misalnya : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja dll. Memiliki pola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat diterapkan dalam menganalisis perkembangan vaiabel tersebut.

Model Bunga Majemuk Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang : Bunga dibayar 1x setahun

m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun Bila bunga dibayar lebih sekali dalam setahun, misal m kali, maka : m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari 1, yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari suatu jumlah sekarang.

Dengan manipulasi matematis, bisa diketahui nilai sekarang (present value) : Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn dinamakan “faktor diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.

Model Pertumbuhan Penduduk Pt = P1 R t-1 Dimana R = 1 + r P1 = jumlah pada tahun pertama (basis) Pt = jumlah pada tahun ke-t r = persentase pertumbuhan per-tahun t = indeks waktu (tahun)

Contoh Deret dalam Ekonomi Pertanian Sn = a + ( n – 1) b Sebuah perusahaan “Mangga Jaya” yang mengolah buah mangga menjadi minuman jus dapat menghasilkan 3000 jus mangga pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktifitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 jus setiap bulan. Apabila perkembangan produksinya konstan, berapa jus mangga yang dihasilkan perusahaan pada bulan kelima ? Berapa total jus “Mangga Jaya” yang dihasilkan perusahaan sampai dengan bulan kelima ?

Perusahaan “Sari Tiwul” memperoleh penerimaan dari hasil penjualan tepungnya sebesar Rp. 720 juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ketujuh. Jika perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaannya per tahun ? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun ke berapa penerimaannya sebesar Rp. 460 juta ?

Model Bunga Majemuk Fn = P (1+ i )n Jarwo berniat membuka usaha warung pecel. Dia meminjam uang di BRI sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2 % per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan Jarwo pada saat pelunasan ? Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melinkan tiap semester, berapa jumlah yang harus Jarwo kembalikan ?

Selain digunakan untuk perputaran modal usaha warung pecelnya, Jarwo juga menyisihkan keuntungannya untuk tabungan. Tabungannya akan menjadi sebesar Rp.532.400,- tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10 per tahun, berapa tabungan Jarwo tersebut pada saat sekarang ini ?

Model Pertumbuhan Penduduk Malthus menyatakan bahwa penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Pt = Pt Rt-1 Semisal penduduk di Kecamatan Wuluhan Kabupaten Jember pada tahun 1991 sejumlah 1 juta jiwa, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk di Kecamatan Wuluhan tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5 %, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian ?

Deret Ukur Bila ada suatu deret ukur yang suku pertamanya a=1 dan pengalinya p=2, maka tentukan besarnya suku ke 5 dan jumlah 5 sukunya?

Bunga Majemuk Berapakah jumlah uang yang harus dikembalikan oleh seorang yang meminjam uang sebesar Rp. 2500,- pad tanggal 5 Juni 1992 dan dikembalikan pada tanggal 5 Februari 1993 dengan bunga sebesar 14 persen ?

Bunga Majemuk Setahun lagi Asbun akan menerima uang sebesar Rp. 10.000,-. Berapakah besar nilai sekarang dari uang tersebut jika tingkat bunga adalah 13 persen setahun ?

Bunga Majemuk Semisal ada uang sebanyak Rp. 1000,- dibungakan selama 6 tahun dengan bunga majemuk sebesar 5 % per tahun dan diambil setahun sekali, maka berapakah jumlah uang tersebut setelah 6 tahun ?