Oleh : Imam tahyudin, S.Si., MM STATISTIKA DASAR Oleh : Imam tahyudin, S.Si., MM pendahuluan

1.1 Pengertian Statistika Statistika adalah Suatu ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan, penyajian dan analisis data serta cara pengambilan kesimpulan secara umum berdasarkan hasil penelitian yang tidak menyeluruh. Dalam arti sempit Statistik adalah data ringkasan berbentuk angka (kuantitatif). pendahuluan

Bidang produksi Bidang Akuntansi Bidang pemasaran Sebagai suatu bidang studi, statistik memiliki dua bagian utama, yaitu : Statistika Deskriptif adalah ilmu statistika yang mempelajari tentang pengumpulan, pengolahan, dan penyajian data. Statistika Inferensi (Statistika Induktif) adalah ilmu statistika yang mempelajari tentang cara pengambilan kesimpulan secara menyeluruh (populasi) berdasarkan data sebagian (sampel) dari populasi tersebut. Kegunaan Statistika dalam bidang ekonomi yaitu Bidang produksi Bidang Akuntansi Bidang pemasaran pendahuluan

Pengetahuan tentang statistik membantu untuk : Menjelaskan hubungan antar variabel. Membuat keputusan lebih baik. Mengatasi perubahan-perubahan. Membuat rencana dan ramalan. Dan masih banyak manfaat yang lain. pendahuluan

Tahap-tahap dalam statistik adalah : Mengidentifikasikan persoalan. Pengumpulan fakta-fakta yang ada. Mengumpulkan data asli yang baru. Klasifikasi data. Penyajian data. Analisa data. 1.2 Populasi, Sampel dan Data. Populasi adalah seluruh elemen yang akan diteliti. Sampel adalah elemen yang merupakan bagian dari populasi. Data adalah fakta-fakta yang dapat dipercaya kebenarannya pendahuluan

Jenis-jenis pengambilan sampel yaitu : Random sederhana (simple random sampling). Adalah pengambilan sampel secara acak sehingga setiap anggota populasi mempunya kesempatan yang sama untuk menjadi sampel, misalnya dengan cara undian. Random berstrata (Stratified Random Sampling) Adalah pengambilan sampel yang populasinya dibagi-bagi menjadi beberapa bagian/stratum. Anggota-anggota dari stratum dipilih secara random, kemudian dijumlahkan, jumlah ini membentuk anggota sampel pendahuluan

Sistematis (Systematic Sampling). Adalah pengambilan sampel berdasarkan urutan tertentudari populasi yang telah disusun secara teratur dan diberi nomer urut. Luas/Sampel Kelompok (Cluster sampling). Adalah pengambilan sampel tidak langsung memilih anggota populasi untuk dijadikan sampel tetapi memilih kelompok terlebih dahulu. Yang termasuk sebagai sampel adalah anggota yang berada dalam kelompok terpilih tersebut. Jika kelompok-kelompok tersebut merupakan pembagiandaerah-daerah geografis, maka cluster sampling ini disebut juga area sampling. pendahuluan

Pembagian data dapat dibedakan menurut : Sifatnya Data kualitatif ialah data yang disajikan bukan dalam bentuk angka, misalnya agama, jenis kelamin, daerah, suku bangsa, pangkat pegawai, jabatan pegawai dan sebagainya. Data kuantitatif ialah data yang disajikan dalam bentuk angka. Data ini terbagi menjadi : Data kontinu adalah data yang satuannya bisa dalam pecahan. Data diskret adalah data yang satuannya selalu bulat dalam bilangan asli, tidak berbentuk pecahan, pendahuluan

Waktunya. Data silang (Cross Section) ialah data yang dikumpulkan pada suatu waktu tertentu yang bisa menggambarkan keadaan/kegiatan pada waktu tersebut, misalnya jumlah warga DKI Jakarta menurut asal dan agama pada tahun 1999. Data Berkala (Time Series) ialah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu, misalnya data angka kematian dan kelahiran dari tahun ke tahun di Indonesia yang cenderung membesar dan mengecil pendahuluan

. 3. Cara memperolehnya. Data primer ialah data yang didapatkan langsung dari responden misalnya data pegawai negeri sipil di BAKN, data registrasi mahasiswa di suatu universitas dan sebagainya. Data Sekunder ialah data yang diambil dari data primer yang telah diolah, untuk tujuan lain, misalnya data perkawinan antara umur 10 s/d 20 tahun di Indonesia yang diambil dari departemen Agama untuk tujuan analisa pola perkawinan setiap suku bangsa di Indonesia. pendahuluan

Syarat Data yang baik adalah Benar/Obyektif. Sumbernya. Data Internal ialah data yang menggambarkan dari keadaan di dalam suatu organisasi, misalnya dari suatu universitas ialah data dosen, jumlah mahasiswa, data kelulusan dan sebagainya. Data Eksternal ialah data yang dibutuhkan dari luar untuk kebutuhan suatu organisasi tersebut. Syarat Data yang baik adalah Benar/Obyektif. Mewakili/Wajar (representative). Dipercaya, artinya kesalahan bakunya kecil. Tepat waktu (up to date). Relevan (data yang dikumpulkan ada hubungannya dengan permasalahannya). pendahuluan

Simbol Sigma n Rumus :  X i dibaca sigma Xi, i dari 1 s/d n i = 1 Aturan Penjumlahan : n n n n a.  ( X i + Yi + Zi ) =  Xi +  Yi +  Zi i = 1 i=1 i=1 i=1 n n b.  kXi = k  Xi , k = bilangan konstan i = 1 i=1 pendahuluan

d.  (Xi – k)2 =  (X i2 – 2kXi + k2). i = 1 i =1 n n n c.  k = k + k + … + k = nk i = 1 n n d.  (Xi – k)2 =  (X i2 – 2kXi + k2). i = 1 i =1 n n n e.  (Yi – a – bXi ) =  Yi – na – b  Xi i = 1 i =1 i =1 pendahuluan

2.1 Pengertian Distribusi Frekuensi. Distribusi frekuensi adalah yang merupakan penyusunan data ke dalam kelas-kelas tertentu dimana setiap individu/item hanya termasuk kedalam salah satu kelas tertentu saja. (Pengelompokkan data berdasarkan kemiripan ciri). Tujuannya : untuk mengatur data mentah (belum dikelompokkan) ke dalam bentuk yang rapi tanpa mengurangi inti informasi yang ada. Distribusi Frekuensi Numerikal adalah Pengelompokkan data berdasarkan angka-angka tertentu, biasanya disajikan dengan grafik histogram. Distribusi Frekuensi Katagorikal adalah Pengelompokkan data berdasarkan kategori-kategori tertentu, biasanya disajikan dengan grafik batang, lingkaran dan gambar. pendahuluan

2.2 Istilah-istilah Dalam Distribusi Frekuensi. Class (Kelas) adalah penggolongan data yang dibatasi dengan nilai terendah dan nilai tertinggi yang masing-masing dinamakan batas kelas. Batas Kelas (Class Limit) adalah nilai batas dari pada tiap kelas dalam sebuah distribusi, terbagi menjadi States class limit dan Class Bounderies (Tepi kelas). pendahuluan

Stated Class Limit adalah batas-batas kelas yang tertulis dalam distribusi frekuensi, terdiri dari Lower Class Limit (Batas bawah kelas) dan Upper Class Limit (Batas atas kelas. Class Bounderies (Tepi kelas) adalah batas kelas yang sebenarnya, terdiri dari Lower class boundary (batas bawah kelas yang sebenarnya) dan upper class boundary (batas atas kelas yang sebenarnya). pendahuluan

Class Interval/Panjang Kelas/Lebar kelas merupakan lebar dari sebuah kelas dan dihitung dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya. Mid point / Class Mark / Titik tengah merupakan rata-rata hitung dari kedua batas kelasnya atau tepi kelasnya. pendahuluan

2.3 Tahap-tahap penyusunan distribusi frekuensi : Mamba array data atau data terurut (bila diperlukan) Menentukan range (jangkauan) : selisih antara nilai yang terbesar dengan nilai yang terkecil. R = Xmax – Xmin. Menentukan banyaknya kelas dengan mempergunakan rumus Sturges. K = 1 + 3,3 log N dimana K = banyaknya kelas dan N = jumlah data yang diobservasi. Menentukan interval kelas : I = R/K pendahuluan

Menentukan batas-batas kelas: Tbk = bbk – 0,5(skala terkecil) Tak = bak + 0,5(skala terkecil) Panjang interval kelas = Tak – tbk Keterangan: Tbk = tepi bawah kelas bbk = batas bawah kelas Tak = tepi atas kelas bak = batas atas kelas pendahuluan

Menentukan titik tengahnya = ½ ( Batas atas kelas + batas bawah kelas) Memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dengan memakai sistem Tally atau Turus. Menyajikan distribusi frekuensi : isi kolom frekuensi sesuai dengan kolom Tally / Turus. pendahuluan

Contoh : Diketahui data mentah (belum dikelompokkan) nilai ujian statistik 50 mahasiswa sebagai berikut : Ditanyakan : Buatlah distribusi frekuensi untuk data di atas ! 55 48 22 49 78 59 27 41 68 54 34 80 42 73 51 76 45 32 53 66 64 47 58 75 60 35 57 38 30 44 72 67 86 25 37 69 71 52 63 pendahuluan

2.4 Jenis Distribusi Frekuensi : Distribusi Frekuensi Kumulatif Adalah suatu daftar yang memuat frekuensi-frekuensi kumulatif, jika ingin mengetahui banyaknya observasi yang ada di atas atau di bawah suatu nilai tertentu. Distribusi Frekuensi Relatif Adalah perbandingan daripada frekuensi masing-masing kelas dan jumlah frekuensi seluruhnya dan dinyatakan dalam persen. pendahuluan

Distribusi Frekuensi kumulatif relatif Distribusi Frekuensi kumulatif kurang dari (dari atas) Adalah suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih kecil dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Distribusi Frekuensi kumulatif lebih dari (dari bawah) : Adalah suatu total frekuensi dari semua nilai-nilai yang lebih besar dari tepi bawah kelas pada masing-masing interval kelasnya. Distribusi Frekuensi kumulatif relatif Adalah suatu total frekuensi dengan menggunakan persentasi. pendahuluan

Pembuatan Distribusi Frekuensi dan Histogram dengan Excel Misalkan terhadap 20 observasi pada kolom A( baris 1 sampai 20), ingin dibuat distribusi frekuensi dengan kelas yang terdiri dari 5 kelas: 10-14, 15-19, 20-24, 25-29, dan 30-34 Langkah-langkahnya sbb: Masukkan data misalnya pada sel A1 sampai A20. Masukkan bin (batas atas) pada sel D4 sampai D9. Pilih menu Tools pada menu utama Pilih Data Analysis Pilih Histogram pada Analysis Tools Ketika kotak dialog muncul, sorot A1 sampai A20 dalam kotak Input Range, sorot D4 sampai D9 dalam kotak Bin Range , ketik D12 dalam kotak output range, pilih Chart Output dan Cumulative dan klik OK pendahuluan

pendahuluan

pendahuluan

2.5 Data belum dikelompokkan. Rata-rata hitung adalah nilai yang mewakili sekelompok data. x =  = 1/N  xi = 1/N { x1 + x2 + … + xn } Rata-rata Ukur/Geometri dari sejumlah N nilai data adalah akar pangkat N dari hasil kali masing-masing nilai dari kelompok tersebut. G = N X1. X2 . … XN atau log G = ( log Xi) / N pendahuluan

Rata-rata Harmonis dari seperangkat data X1, X2, …, XN adalah kebalikan rata-rata hitung dari kebalikan nilai-nilai data. RH = N  (1 / Xi ) Rata-rata tertimbang, jika nilai data Xi mempunyai timbangan Wi, adalah x =  Xi . Wi  Wi pendahuluan

Jika N ganjil : N = 2k + 1 maka Med = X k+1 Jika N genap : N = 2k maka Median adalah suatu ukuran pemusatan yang menempati posisi tengah jika data diurutkan menurut besarnya. Posisi tengah dari seperangkat data sebanyak N yang telah terurut terletak pada posisi yang ke (N + 1)/2. Jika N ganjil : N = 2k + 1 maka Med = X k+1 Jika N genap : N = 2k maka Med = ½ (X k + X k+1 ) Modus adalah nilai yang paling sering muncul dari serangkaian data atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi. pendahuluan

Kuartil : Qi = nilai yang ke i(n+1) / 4 , i = 1, 2, 3 Kuartil adalah Fraktil yang membagi seperangkat data menjadi empat bagian yang sama. Kuartil : Qi = nilai yang ke i(n+1) / 4 , i = 1, 2, 3 8. Desil adalah Fraktil yang membagi seperangkat data menjadi sepuluh bagian yang sama. Desil : Di = nilai yang ke i(n+1) / 10 , i = 1, 2, …, 9 9. Persentil adalah Fraktil yang membagi seperangkat data menjadi seratus bagian yang sama. Persentil : Pi = nilai yang ke i(n+1) / 100 , i = 1, 2, …, 99 pendahuluan

Menentukan Ukuran Statistik Deskriptif Menggunakan Excel Langkah-langkahnya: Ketik data pada kolom A seperti contoh di atas Pilih menu Tools pada menu utama Pilih Data Analysis Pilih Deskriptive Statistics pada daftar Analysis Tools lalu klik OK Ketika Box Dialog muncul: Ketik A1…A12 pada kotak Input Range Ketik C1 pada kotak Output Range dan pilih Summary Statistics dan klik OK pendahuluan

Aplikasi dengan Excel pendahuluan

pendahuluan

2.6 Data yang sudah dikelompokan 1. Rata-rata hitung : x =  f i mi = (f1m1 + f2m2 + … + fkmk)  fi f1 + f2 + … + fk f = frekuensi m = titik tengah pendahuluan

Med = Median data kelompok. Lm = Tepi bawah kelas median. Med  Lm + (N/2 - f) . c fm Keterangan : Med = Median data kelompok. Lm = Tepi bawah kelas median. N = Jumlah frekuensi. f = Frekuensi kumulatif di atas kelas median. fm = Frekuensi kelas median. c = Interval kelas median. pendahuluan

Mod = Modus data kelompok. Lmo = Tepi bawah kelas modus. Mod = Lmo + d1 . c d1 + d2 Keterangan : Mod = Modus data kelompok. Lmo = Tepi bawah kelas modus. d1 = Selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus. d2 = Selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus. c = Interval kelas modus. pendahuluan

4. Kuartil : Qi  LQ + ( iN/4 - f ) . c fq 4. Fraktil adalah nilai-nilai data yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi beberapa bagian yang sama. 4. Kuartil : Qi  LQ + ( iN/4 - f ) . c fq 5. Desil : Di  LD + ( iN/10 - f ) . c fD 6. Persentil : Pi  LP + ( iN/100 - f) . c fP pendahuluan

L = Tepi bawah kelas kuartil, desil, persentil N = Jumlah frekuensi. Keterangan : Qi = Kuartil ke-i. Di = Desil ke-i. Pi = Persentil ke-i. L = Tepi bawah kelas kuartil, desil, persentil N = Jumlah frekuensi. f = Frekuensi kumulatif “dari atas” pada kelas sebelum kelas Qi/ Di / Pi f = Frekuensi kelas kuartil, desil, persentil c = Interval kelas kuartil, desil, persentil pendahuluan

Contoh : Diketahui Tabel Frekuensi Modal Perusahaan. Batas Kelas Modal (Jutaan Rp) Frekuensi (f) 30 – 39 2 40 – 49 3 50 – 59 11 60 – 69 20 70 – 79 32 80 – 89 25 90 – 99 7 Jumlah 100 pendahuluan

2.7 Ukuran Variasi (Dispersi) Merupakan ukuran penyebaran suatu keompok data terhadap pusat data 2.8 Penyimpangan a. Jangkauan (Range) Range = Nilai maksimal – Nilai minimal b. Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) Merupakan jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi banyaknya data - Data tidak berkelompok pendahuluan

SR = Simpangan Rata-rata X = Nilai data = Nilai rata–rata hitung - Data dikelompokkan Keterangan : SR = Simpangan Rata-rata X = Nilai data = Nilai rata–rata hitung f = Frekuensi kelas (data berkelompok) n = Banyaknya data pendahuluan

- Data tidak berkelompok c. Variansi (Variance) Merupakan rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung. Variansi untuk sampel dilambangkan dengan S2 Variansi untuk populasi dilambangkan dengan 2 - Data tidak berkelompok pendahuluan

= Nilai rata–rata hitung f = Frekuensi kelas (data berkelompok) Keterangan : S2 = Variansi X = Nilai data = Nilai rata–rata hitung f = Frekuensi kelas (data berkelompok) n = Banyaknya data pendahuluan

Simpangan Baku (Standard Deviation) Merupakan akar pangkat dua dari variasi Simpangan baku (S) =  S2 Jangkauan kuartil Disebut juga simpangan kuartil atau rentang semi antar kuartil atau deviasi kuartil Persamaannya : Dengan Q1 = kuartil pertama Q3 = kuartil ketiga pendahuluan

P10 = persentil kesepuluh P90 = persentil kesembilanpuluh Jangkauan Persentil Dengan P10 = persentil kesepuluh P90 = persentil kesembilanpuluh pendahuluan

Menentukan Ukuran Statistik Deskriptif Menggunakan Excel Langkah-langkahnya: Ketik data pada kolom A seperti contoh di atas Pilih menu Tools pada menu utama Pilih Data Analysis Pilih Deskriptive Statistics pada daftar Analysis Tools lalu klik OK Ketika Box Dialog muncul: Ketik A2…A21 pada kotak Input Range Ketik C1 pada kotak Output Range dan pilih Summary Statistics dan klik OK pendahuluan

Hasil perhitungan pendahuluan

Pertemuan Ke-1 BAB I PROBABILITAS 1.1 Arti dan Pentingnya Probabilitas Probabilitas merupakan suatu nilai untuk mengukur besarnya tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang acak. Kejadian Acak atau random event ialah suatu kejadian yang tak dapat ditentukan dengan pasti sebelumnya. Probabilitas merupakan suatu frekuensi relatif dari suatu sukses yang diperoleh jika suatu percobaan dilakukan berulang-ulang sampai tak terbatas didalam situasi dan kondisi yang sama. pendahuluan

Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang terjadi dalam n cara, maka probabilitas kejadian A adalah : P (A) = n(A)/n(S) = m/n Perumusan ini harus memenuhi ketentuan : Probabilitas A harus merupakan bilangan non-negatif atau bukan bernilai negatif, yaitu : P (A)  0 . Nilai probabilitas suatu peristiwa berkisar antara : 0  P (A)  1 Jumlah probabilitas A ditambah A (bukan A) harus sama dengan 1. Atau : P (A) + P (A) = 1  P (A) = 1 – P (A) pendahuluan

a. probabilitas timbulnya sisi yang bercat biru Contoh : Sebuah dadu yang seimbang memiliki enam sisi. Lima dari keenam sisi tersebut dicat biru sedangkan satu sisi selebihnya dicat hijau.bila dadu tersebut dilempar sebanyak satu kali, berapa : a. probabilitas timbulnya sisi yang bercat biru b. probabilitas timbulnya sisi yang bercat hijau Jawab : a. P (Biru) = 5/6 b. P (Hijau) = 1/6 pendahuluan

1.2 Peristiwa (event) dan Notasi Himpunan Ruang sampel adalah kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan. Keseluruhan dari titik sampel dinamakan Ruang sampel dan dilambangkan dengan S. Contoh : S = { 1,2,3,4,5,6} ruang vektor Kejadian yang dapat terjadi di dalam suatu eksperimen (percobaan) dan biasanya dilakukan berulang kali dinamakan Titik Sampel. A = { 2 } titik sampel dimana A S Peristiwa/kejadian (event) Kumpulan (himpunan) dari hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik. pendahuluan

Peristiwa A atau B dinotasikan dengan A  B Peristiwa A dan B dinotasikan dengan A  B Peristiwa A dan B merupakan peristiwa yang saling lepas, A  B =0 1.3 Probabilitas Suatu Peristiwa Peristiwa yang saling lepas (Mutually Exclusive) Bila A dan B dua kejadian sembarang pada S dan berlaku A  B =Ø, maka A dan B dikatakan dua kejadian saling lepas atau saling terpisah. Secara matematis dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau terpisah (disjoint) jika dan hanya jika mereka tidak memiliki unsur yang sama dan A  B = 0 ( himpunan kosong ). pendahuluan

Gambar peristiwa saling lepas Kejadian A,B dan C tidak mungkin terjadi secara bersamaan pendahuluan

Bila A dan B saling lepas dan merupakan peristiwa dalam sebuah ruang sampel yang terbatas , maka : P (A  B) = P (A) + P (B) Dimana : A  B = 0 dan P (A  B) = 0. Contoh : Bila sebuah dadu dilempar sekali , berapakah probabilitas timbulnya mata dadu 1 atau 3 ? Jawab : Jika A = peristiwa timbulnya mata dadu 1 B = peristiwa timbulnya mata dadu 3 P(A) = 1/6 dan P(B) = 1/6 A dan B merupakan dua peristiwa yang saling lepas. P (A  B) = P (A) + P (B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 Dua peristiwa dikatakan tidak saling lepas bila kedua peristiwa tersebut tidak usah terpisah. pendahuluan

P (A  B) = P (A) + P (B) – P (A  B) Kejadian Majemuk Bila A dan B peristiwa sembarang pada ruang sampel S, maka gabungan kejadian A dan B ditulis A  B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada kedua-duanya. Kejadian A  B disebut kejadian majemuk, dan A  B yaitu kumpulan titik sampel yang ada pada A dan B disebut kejadian majemuk. P (A  B) = P (A) + P (B) – P (A  B) pendahuluan

Gambar peristiwa tidak saling lepas pendahuluan

Peristiwa yang saling bebas (independen) Dua peristiwa dikatakan independen jika dan hanya jika terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak mempengaruhi peristiwa kedua. Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. Jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas, maka berlaku rumus : P (A  B ) = P (A) . P (B) pendahuluan

Contoh Soal Kita ambil satu kartu secara acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila A = kejadian terpilihnya kartu as dan B = kejadian terpilihnya kartu wajik, Hitung peluang ! jawab: P(A) = 4 /52; P(B) = 13/52; maka 2. Jika diketahui dua kejadian A dan B saling bebas dengan P(A)= 0,3 dan P(B)= 0,4 maka berlaku: pendahuluan

jawab: banyaknya bola dlam kotak n = 3+4+3 = 10 3. Sebuah kotak berisi 3 bola merah, 4 bola putih dan 3 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak dengan syarat: a. Setelah diambil bola dikembalikan lagi, tentukanlah probabilitas terpilihnya: bola merah, bola putih, bola biru, tidak merah, merah atau putih. jawab: banyaknya bola dlam kotak n = 3+4+3 = 10 - P(bola merah) = 3/10 - P(bola putih) = 4/10 - P(bola biru) = 3/10 - P(tidak merah)= 1- P(bola merah)=1-3/10 = 6/10 = 3/5 - P(merah atau putih) = 3/10 + 4/10 = 7/10 b. Setelah diambil bola tidak dikembalikan, tentukan probabilitas terpilih: merah, putih, biru, merah atau putih, merah dan biru. pendahuluan

P( merah atau putih) = 3/10 + 4/9 = 67/90 jawab: P(merah) = 3/10 P(putih) = 4/9 P(biru) = 3/8 P( merah atau putih) = 3/10 + 4/9 = 67/90 P(merah dan biru) = 3/10 . 3/8 = 9/80 Latihan soal: Pada pelemparan dua buah dadu, tentukanlah: a. ruang sampel S b. Bila A menyatakan kejadian munculnya dua dadu dengan muka sama, hitung P(A)! c. Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu kurang dari 5, hitunglah P(B)! pendahuluan

Latihan soal: 2. Peluang seorang mahasiswa lulus kalkulus adalah 2/3 dan peluang ia lulus bahasa Inggris adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah itu? 3. Pada pelemparan dua buah mata dadu, tentukanlah probabilitas munculnya muka dua dadu dengan jumlah 5 atau 11! 4. Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama! 5. Pada pelemparan dua dadu, apakah kejadian munculnya muka X ≤ 3 dadu I dan kejadian munculnya muka Y ≥ 3 dadu II saling bebas ? pendahuluan

Pertemuan ke-2 1.4 Pengertian Probabilitas bersyarat Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah terjadi atau akan terjadi disebut Probabilitas bersyarat (conditional probability) Rumus Probabilitas bersyarat Probabilitas bersyarat P (B  A) = P (A) . P (B/A) ) Atau P(A  B) = P (B) . P (A/B) Bila A dan B merupakan peristiwa yang independen dan memiliki probabilitas lebih besar dari nol , maka : P (A/B) = P (A) dan P (B/A) = P (B). pendahuluan

S = {1,2,3,4,5,6}, P(genap) = 2/9, P(ganjil) = 1/9 B = {1,4} Contoh soal : Misalkan sebuah dadu dilemparkan; B = kejadian munculnya bilangan kuadrat murni, dan diketahui bahwa peluang munculnya bilangan ganjil = 1/9 dan peluang munculnya bilangan genap = 2/9. Bila diketahui A = {4,5,6} telah terjadi, tentukanlah P(B?A)! Jawab: S = {1,2,3,4,5,6}, P(genap) = 2/9, P(ganjil) = 1/9 B = {1,4} A = {4,5,6} P(A) = 2/9 + 1/9 + 2/9 = 5/9 AB ={4} P(AB) = 2/9 P(B/A) = P(AB) = 2/9 = 2/5 P(A) 5/9 pendahuluan

Latihan soal: 2. Bila dalam suatu keluarga yang mempunyai 4(empat) orang anak, diketahui paling sedikit mempunyai seorang anak laki-laki, tentukanlah nilai kemungkinan keluarga tersebut mempunyai : a. Dua anak laki-laki b. Empat anak laki-laki pendahuluan

3. Misalkan diberikan populasi sarjana di suatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut : Bekerja Menganggur Jumlah Laki-laki 460 40 500 Wanita 140 260 400 600 300 900 Misalkan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang di suatu kota tersebut. Bila ternyata yang terpilih adalah dalam status telah bekerja, berapakah probabilitasnya bbahwa dia : laki-laki b. wanita pendahuluan

MINGGU KE- 4 BAB II PERMUTASI DAN KOMBINASI 2.1 Pengertian Permutasi 1. Permutasi dari n obyek seluruhnya : nPn = n! = n.(n - 1).(n - 2) … 2.1 = n.(n - 1)! 2. Permutasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda nPr = n ! ( n – r ) ! pendahuluan

Permutasi keliling ( circular permutation ) Sejumlah n obyek yang berbeda dapat disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran dalam ( n – 1 ) ! cara 4. Permutasi dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan. n n ! n1 , n2 , …, nk = n1! n2 !…nk ! Kalau urutan diperhatikan atau dibedakan , persoalan disebut permutasi. pendahuluan

1 . Hitung jumlah permutasi 3 jilid buku A , B , C ! Contoh soal 1 . Hitung jumlah permutasi 3 jilid buku A , B , C ! Jawab : 3P3 = 3 ! = 3 . 2 . 1 = 6 2. Dalam berapa cara 2 huruf yang berbeda dari kata “Laut“ dapat diatur atau dipilih dalam suatu urutan tertentu ? Jawab : nPr = 4P2 = 4 ! = 4 ! = 4.3.2.1 = 12 cara (4-2) ! 2 ! 2.1 3 . Dalam berapa cara kata Tamara dapat dipermutasikan ? Jawab : n ! = 6 ! =120 cara n1 ! n2 ! n3 ! n4 ! 1 ! 3 ! 1 ! 1 ! 4. Lima orang anak sedang melakukan siskusi dengan membentuk lingkaran, ada berapa cara mereka bisa mengatur duduknya? Jawab: (n-1)! = (5-1)! = 4.3.2.1 = 24 cara. pendahuluan

Memakai kurang dari 5 huruf. Latihan soal : 1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf dalam kata: PEMILU, ALUMNI, STATISTIKA, PROBABILITAS 2. Ada berapa banyak susunan huruf dapat dibentuk dari huruf dalam kata PELUANG bila: semua huruf dipakai; memakai 6 huruf saja; Memakai 5 huruf saja; Memakai kurang dari 5 huruf. pendahuluan

Kombinasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda : n n ! r = r ! . ( n – r ) ! Kalau urutan tak diperhatikan atau tak dibedakan , persoalan disebut kombinasi. pendahuluan

Ia dapat memilih 1 dari 3 bunga = 3C1= = 3 2!1! Latihan soal Suatu perguruan tinggi di Jakarta memberikan kesempatan kepada 3 orang staf dosen untuk melanjutkan studinya setingkat lebih tinggi. Sedangkan yang memenuhi persyaratan ada 9 orang dosen. Ada berapa carakah pimpinan perguruan tinggi tersebut memilih 3 dari 9 orang tersebut ? Jawab: 9! 9C3 = = 84 cara 6!3! 2. Seorang anak perempuan mempunyai 3 bunga yang jenisnya berlainan. Berapa banyak cara berbeda yang dapat dibuat ? Jawab: 3! Ia dapat memilih 1 dari 3 bunga = 3C1= = 3 2!1! pendahuluan

Ia dapat memilih 2 dari 3 bunga = 3C2 = 3 Maka banyaknya cara membentuk susunan bunga adalah: 3C1 + 3C2 + 3C3 = 3 + 3 + 1 = 7 3. Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana ekonomi dan 7 sarjana hukum. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjana hukum. Berapa banyak cara untuk membuat tim itu, jika: a. Tiap orang dapat dipilih dengan bebas; b. Seorang sarjana hukum harus ikut dalam tim itu; c. dua orang sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu? pendahuluan

Terbentuk tanpa persyaratan lain Terdiri dari 3 pria dan 2 wanita 4. Suatu panitia akan dibentuk dengan jumlah anggota 5 orang. Berapa carakah pembentukan panitia tersebut dapat dilakukan jika calon anggota terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita, dan panitia harus Terbentuk tanpa persyaratan lain Terdiri dari 3 pria dan 2 wanita Terdiri dari 2 pria dan 3 wanita pendahuluan

2.3 Aplikasi Excel Permutasi Langkah-langkah dengan Excel Insert fungsi fx dan pilih category statisticals Pilih fungsi permutate Isilah kotak number dengan banyaknya objek dan kotak number_chosen dengan jumlah objek yang diambil dan klik OK Maka hasilnya akan tampak pada result seperti pada gambar 2a pendahuluan

Langkah-langkah dengan Excel kombinasi Langkah-langkah dengan Excel Insert fungsi fx dan pilih category math&trig Pilih fungsi combin Isilah kotak number dengan banyaknya objek dan kotak number_chosen dengan jumlah objek yang diambil dan klik OK Maka hasilnya akan tampak pada result seperti pada gambar 2b pendahuluan

Gambar 2a (menghitung permutasi) pendahuluan

Gambar 2a (menghitung kombinasi) pendahuluan

Pertemuan ke- 4 BAB III POPULASI, SAMPEL & DISTRIBUSI TEORITIS VARIABEL DISKRIT DAN FUNGSI PROBABILITAS 3.1 Variabel Random atau Variabel Acak Variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya hasil suatu percobaan dinamakan variabel random. Contoh : Bila 2 mata uang dilempar 1 x , maka ruang sampelnya : S = { AA,AG, GA , GG } Variabel Acak yang terdapat dalam fungsi probabilitas : a. Variabel diskrit Variabel diskrit hanya dapat dinyatakan dengan nilai – nilai yang terbatas jumlahnya , dan dinyatakan dengan bilangan bulat. b. Variabel kontinu Variabel kontinu dinyatakan dengan harga yang terdapat dalam suatu interval. pendahuluan

Jika kita mempunyai variabel acak x maka fungsi sebenarnya adalah Fungsi Distribusi Jika kita mempunyai variabel acak x maka fungsi sebenarnya adalah  f( x ) ; x diskrit (dinyatakan dengan sigma ) F ( x ) = P ( X  x )=  f ( x ) dx ; x kontinu (dinyatakan dengan integral) 3.2 Nilai Harapan (Mean/Rata–rata) dan Varians Distribusi Diskrit Nilai harapan suatu variabel acak x ditulis E (x) didefinisikan E (x) =  x. f (x) Var (x) = x2 = E [ x – E (x) ] 2 = E (x2) – { E (x) } 2 Jika k suatu bilangan , maka E ( k ) = k Contoh : E (3) = 3 dan seterusnya. pendahuluan

b. Rata–rata (Nilai harapan) Jawab: Latihan Soal 1 .Dua buah dadu dilempar . Jika x = jumlah mata dadu yang timbul , berapakah: a. P (3 < x  6) b. Rata–rata (Nilai harapan) Jawab: a. P (3 < x  6) = P (x = 4) + P (x = 5) + P (x = 6) = f (4) + f (5) + f (6) = 3/36 + 4/36 + 5/36 = 12/36 = 1/3 b. E (x) =  x . f(x) = 2.1/36 + 3.2/36 + 4.3/36 + 5.4/36 + 6.5/36 + 7.6/36 + 8 .5/36 + 9 . 4/36 + 10.3/36 + 11.2/36 + 12.1/36 = 252/36 = 7 2 . Jika Nilai E (x) = 1/3 dan E (x2) = 1/3 . Tentukan Nilai Variansnya. Jawab : Var (x) = E (x2) – { E (x) }2 = 1/3 – (1/3)2 = 1/3 – 1/9 = 2/9 pendahuluan

pendahuluan

pendahuluan

3 . Jika E (x) = 2 , berapa nilai dari : a. E [ 3 (x + 2)] b. E [x – 3 (x + 2)] Jawab : a. E [ 3 (x + 2) ] = E [ 3x + 6 ] = E (3x) + E (6) = 3. E (x) + 6 = 3 . 2 + 6 = 6 + 6 = 12 b. E [ x – 3 (x + 2) ] = E (x) – E [ 3 (x + 2) ] = 2 – 12 = -10 4. Jika x mata dadu seimbang , berapa nilai harapan (rata – rata) nya ? Jawab : E (x) =  x . f (x) = 1 .1/6 + 2 .1/6 + 3 .1/6 + 4 .1/6 + 5 .1/6 + 6 . 1/6 = 21/6 = 3,5 pendahuluan

Fungsi probabilitas dengan variabel diskrit terdiri dari : 1. Distribusi Binomial 2. Distribusi Poisson 3.3 Distribusi Binomial Rumus Distribusi Binomial : b (x / n , p) = P (X = x)= n C x px . qn-x ; x = 0,1,…n q = 1 – p Dimana : - b ( x / n , p )  0 -  b ( x/n , p ) = ( q + p )n = 1 Rata – rata ( Mean ) = x = n . p Varians ( x ) = x2 = n . p . q Distribusi yang dipakai sebagai pendekatan bagi distribusi binomial adalah Distribusi Poisson dan Distribusi Normal. pendahuluan

Suatu eksperimen Binomial akan memenuhi 4 syarat sebagai berikut : Jumlah percobaan harus tetap Setiap percobaan harus menghasilkan dua alternatif yaitu sukses atau tidak sukses merupakan percobaan Binomial. Semua percobaan mempunyai nilai probabilitas yang sama untuk sukses. Percobaan – percobaan tersebut harus bebas satu sama lain. pendahuluan

Jawab : a. n = 6 ; p = ½ ; q = 1 – p = 1 – ½ = ½ Latihan Soal 1. Bila sekeping uang logam yang seimbang dilempar sebanyak 6 kali, berapa: a. probabilitas memperoleh 5 sisi gambar b. probabilitas memperoleh paling sedikit 5 sisi gambar Jawab : a. n = 6 ; p = ½ ; q = 1 – p = 1 – ½ = ½ b ( x / n , p ) = b ( 5/6 , ½ ) = ( ½ )5 . ( ½ )6-5 = 6! (½)5 . (½)1 = 3/32 5!.1! b. n = 6 ; x = 6 ; p = 1/2 b ( x/n , p ) = b ( 6/6 , ½ ) = ( ½ )6 . ( ½ )6-6 = 6 ! ( ½ )6 . ( ½ )0 = 1/64 6!0! Probabilitas memperoleh  5 sisi gambar adalah : b ( 5/6 , ½ ) + b ( 6/6 , ½ ) = 3/32 + 1/64 = 6/64 + 1/64 = 7/64 pendahuluan

2. Jika x berdistribusi Binomial dengan n = 4 dan p = 1/6 , berapa : a. Rata – rata dari x b. Varians (x) Jawab : a. n = 4 ; p = 1/6 ; q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6 E ( x ) = n.p = 4.1/6 = 2/3 b. Var ( x ) = x2 = n.p.q = 4.1/6.5/6 = 20/36 = 5/9 3. Ada 4000 paku pada sayap . Probabilitas kerusakan sebuah paku khusus pada permukaan sayap pesawat terbang adalah 0,001. Berapa E ( x ) nya ? Jawab : E (x) = n . p = 4000 . (0,001) = 4 pendahuluan

pendahuluan

Ciri-ciri Distribusi Poisson Digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya kejadian menurut satuan waktu atau ruang.Distribusi Poisson digunakan sebagai pendekatan dari distribusi binomial. Rumus Distribusi Poisson f ( x ) = x . e- = p ( x/n , p ) x! Dimana : x = 0 , 1, 2 … n dan e = 2,71828… Rata – rata = x = n . p Varians (x) = x2 = n . p Dalam distribusi Poisson Rata – rata dengan Variansnya adalah sama pendahuluan

pendahuluan

Latihan soal ! 1. Bila 5 keping uang logam dilempar sebanyak 64 kali , berapa probabilitas timbulnya 5 sisi angka sebanyak 0,1, 2 , 3 ,4 , 5 kali ? Jawab: probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak satu kali adalah : p = 1.( ½ )5 = 1/32 Bila p = 1/32 , n = 64 ; probabilitas memperoleh 5 sisi angka dari pelemparan 5 keping uang logam sebanyak 64 kalimenjadi : f( x ) = 64 1 / 32 x 31 / 32 64-x x pendahuluan

Rumus ini sulit dikerjakan dengan Distribusi Binomial, maka diambil =n.p = 64 . 1/32 = 2 diperoleh : f ( x ) = x . e- = 2x . e-2 ; x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 x ! x ! e-2 = 0 ,1353 x 0 1 2 3 4 5 f ( x ) 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036 pendahuluan

2. Jika x berdistribusi Poisson dengan n = 7 dan p = 1/4 berapa : a. Rata – rata x b. Varians (x) jawab : a. E (x) = n . p = 7.1/4 = 7/4 b. Var (x) = n . p = 7 . 1/4 = 7/4 3. Mata uang dilempar 6 kali . Jika x = banyaknya gambar, berapa E (x) ? Jawab : n = 6 ; p = ½ E (x) = n.p = 6.1/2 = 3 pendahuluan

Dari tabel diatas tentukan: a. mean X; b. standar deviasi X; Latihan soal: X 8 12 16 20 24 P(X) ¼ 1/12 1/6 1/8 3/8 Dari tabel diatas tentukan: a. mean X; b. standar deviasi X; c. E(2X – 3 )2 2. Misalkan X adalah suatu variabel acak dengan E{(X-1)2} =10 dan E{(X-2)2} = 6 , tentukan mean X dan simpangan baku X. pendahuluan

a. 5 muka b. paling sedikit 5 muka 3. Bila sekeping uang logam dilemparkan 6 kali, hitunglah probabilitas memperoleh: a. 5 muka b. paling sedikit 5 muka 4. Bila 20 dadu dilemparkan sekaligus, tentukanlah: a. rata-rata dari banyaknya muncul muka 3; b. simpangan baku dari banyaknya muncul muka 3! 5. Bila variabel acak X berdistribusi binomial dengan n = 100, p = 0,005, hitunglah P(X=15)! 6. Bila 5 uang logam dilemparkan sebanyak 128 kali, hitunglah probabilitas munculnya 5 muka sebanyak 0,1,2,3,4 dan 5 dari seluruh pelemparan! pendahuluan

3.5 Aplikasi Excel menghitung distribusi Binomial Langkah-langkahnya sbb: Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function. Pilih menu statistical pada function category Pilih menu Binomdist pada function name, dan OK. Maka akan keluar kotak dialog seperti berikut: BINOMDIST Number_s : ………… (masukkan nilai X) Trials : ……….. (masukkan nilai n) Probability : ………… (masukkan nilai p) Cumulative: ………… (tulis kata False) Nilai P(x) ada pada baris Formula result atau tanda (=) pendahuluan

Diketahui n=15; dimana X = 13 dengan p= 0,9 nilai P ( x = 13 ) = …? Contoh : PT MJF mengirim buah melon ke Hero. Buah yang dikirim 90% diterima dan sisanya ditolak. Setiap hari 15 buah dikirim ke Hero. Berapa peluang hanya 13 buah diterima? Jawab: Diketahui n=15; dimana X = 13 dengan p= 0,9 nilai P ( x = 13 ) = …? pendahuluan

Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function Distribusi Poisson Langkah-langkahnya Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function Pilih menu statistical pada function category Pilih menu POISSON pada function name, tekan OK maka akan keluar kotak dialog seperti berikut: POISSON X : ………… (masukkan nilai x) Mean : ……….. (masukkan nilai m) Cumulative : ………… (tulis FALSE / 0 ) pendahuluan

Nilai m = 12 dan nilai X = 5, maka akan didapat nilai P( X = 5 ) = …? Contoh: Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan tersebut akan membagikan dividen? Jawab: Nilai m = 12 dan nilai X = 5, maka akan didapat nilai P( X = 5 ) = …? pendahuluan

Untuk menghitung dist. Binomial dengan SPSS langkah-langkahnya sbb: Definisikan variabel x, lalu ketik nilai variabelnya Kilk menu transform dan pilih compute Ketik ekspresi perhitungan seperti pada layar dibawah ini, tekan OK maka tampil hasil perhitungan pada data editor seperti pada gambar 2 pendahuluan

Gambar 2 P( X=13 ) 0,2669 pendahuluan

Untuk menghitung dist. Poisson langkah-langkahnya sbb: Definisikan variabel x, lalu ketik data misal 1 sampai 5 Kilk menu transform dan pilih compute Ketik ekspresi perhitungan seperti pada layar dibawah ini, tekan OK maka tampil hasil perhitungan pada data editor seperti pada gambar 2 pendahuluan

Gambar 2 P(X=5) = 0,127 pendahuluan

MINGGU ke – 7 Distribusi Normal Distribusi T Distribusi Chi – Kuadrat 4.1 Nilai Harapan (Mean atau Rata–rata) dan Varians Distribusi Kontinu Fungsi Probabilitas dengan variabel kontinu terdiri dari : Distribusi Normal Distribusi T Distribusi Chi – Kuadrat Distribusi F Nilai harapan suatu variabel acak x ditulis E (x) variabel kontinu didefinisikan : E (x) =  x . f (x) dx Varians dari distribusi yang kontinu dirumuskan : Var (x) = E (x2) – { E (x) }2 Dimana : E (x2) =  x2 . f (x) dx pendahuluan

a. P ( 0<x<1/2 ) = f ( x ) dx =  2xdx = 1/4 0 0 3/4 1 . Jika diketahui : f (x) = 2x ; 0 < x < 1 = 0 ; selainnya Berapakah : 1/2 1/2 a. P ( 0<x<1/2 ) = f ( x ) dx =  2xdx = 1/4 0 0 3/4 b. P ( ½ < x < ¾ ) =  f ( x ) dx = 5/16 1/2 1 c. E ( x ) =  x . 2x dx = 2/3 Var ( x ) = E ( x2 ) – { E ( x ) }2 = 1/18 pendahuluan

3. Diketahui : y = x + 2 , berapa nilai Var (y) ? 2 . Jika : f ( x ) = 0 ; x  0 = 3/8 ( x – 2 )2 ; 0 < x < 2 = 0 ; x  2 Berapa : a. E (x) b. var (x) 3. Diketahui : y = x + 2 , berapa nilai Var (y) ? jawab : Var ( y ) = E [ y – E (y) ]2 = E [ x+2 – E (x+2) ]2 = E [ x+2 – E (x) – 2 ]2 = E [ x – E (x) ]2 = Var (x) =x2 pendahuluan

1 Pengertian Distribusi Normal. Distribusi Normal disebut juga Distribusi Gauss, untuk menghormati Karl Gauss (1777 – 1855) yang berhasil mendapatkan persamaan dari studi mengenai kesalahan dalam pengukuran yang berulang-ulang terhadap benda yang sama. Distribusi normal ditentukan oleh dua parameter yaitu  dan 2. Distribusi normal merupakan distribusi teoritis dari variabel random yang kontinu, distribusi yang simetris dan mempunyai bentuk seperti genta/lonceng. pendahuluan

2 Fungsi Distribusi Normal Ciri-ciri distribusi normal : Kurvanya membentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk seperti genta. Simetris terhadap rata-rata . Kedua ujungnya (ekor) semakin mendekati sumbu x tetapi tidak pernah memotong. Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan . Luas daerah di bawah lengkungan kurva normal dari - sampai + sama dengan 1 atau 100%. pendahuluan

3 Fungsi Distribusi Normal Standar/Baku. Kurva normal standar adalah kurva normal yang sudah diubah menjadi distribusi nilai Z, dimana distribusi tersebut akan mempunyai  = 0 dan standar deviasi  = 1 Variabel normal standar Z adalah Z = Nilai variabel random – Rata-rata variabel random Standar deviasi variabel random Atau : z = (x - ) /  Kurva distribusi normal kontinu dibuat sedemikian rupa sehingga luas daerah di bawah kurva itu yang dibatasi oleh x = x1 dan x = x2 sama dengan peluang bahwa variabel acak x mengambil nilai antara x = x1 dan x = x2. Jadi kurva normal daerah P(x1<x<x2) dinyatakan oleh daerah yang diarsir. Untuk mengetahui berbagai luas di bawah kurva normal standar maka digunakan Tabel Luas Kurva Normal Standar. pendahuluan

Contoh : Hitunglah luas kurva normal berikut ini : P(-0,68  z  0) = L(0) - L(-0,68) = L(0,68) = 0,2517 P(-0,46  z  1,21) = L(1,21) + L(0,46) = 0,3869 + 0,1772 = 0,6641 3. P(z  -0,6) = 0,5 – L(0,6) = 0,5 – 0,2257 = 0,2743 4. P(-1  z  1) = L(1) + L(1) = 0,3413 + 0,3413 = 0,6826 pendahuluan

4 Cara Membaca Tabel Distribusi Normal Standar. Contoh : 0,4750 Jika Z = 1,96 maka P(0< Z < 1,96) = 0,4750 Z 0 1,96 pendahuluan

Tabel Distribusi Normal Standar Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359 0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753 0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141 0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517 0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879 0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224 0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549 0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852 0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133 0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389 1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3521 1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830 1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015 1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177 1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 pendahuluan

Tabel Distribusi Normal Standar (lanjutan) Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441 1.6 .4452 .4463 .4474 4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545 1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633 1.8 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706 1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817 2.1 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857 2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890 2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916 2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936 2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952 2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964 2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974 2.8 .4975 .4976 .4977 .4978 .4979 .4980 .4981 2.9 .4982 .4983 .4984 .4985 .4986 pendahuluan

Tabel Distribusi Normal Standar (lanjutan) Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 3.0 .4987 .4988 .4989 .4990 3.1 .4991 .4992 .4993 3.2 .4994 .4995 3.3 .4996 .4997 3.4 .4998 3.5 pendahuluan

Distribusi normal Langkah-langkahnya: 1. Klik icon fx, atau klik icon insert dan pilih fx function Pilih statistical pada function category dan pilih Normdist pada function name, tekan OK. Maka akan tampil dialog sbb: NORMDIST   X …… (isilah nilai x, misal 600) Mean …… (isilah nilai mean, misal 490) Standard_dev …… (isilah nilai , misal 144,7 Cumulative …… (ketik 0 untuk nilai tunggal) pendahuluan

Catatan: Hitungan MS Excel, probabilitas Normal adalah luas daerah dari kiri kurva (infiniti negatif) ke kanan (sampai nilai X yang dimaksud). Contoh Soal: PT GS mengklaim rata berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen. Penyelesaian : Diketatahui rata-rata = 350 , standar deviasi = 50, dan ditanyakan P ( X < 250 ) pendahuluan

-2,0 pendahuluan

MINGGU KE - 8 BAB V PENDUGAAN PARAMETER 5.1 Pengertian Pendugaan Parameter. Pendugaan merupakan suatu bagian dari statistik inferensia yaitu suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan informasi dari sampel random sederhana yang diambil dari populasi. Pendugaan Titik Parameter Populasi : Penduga adalah suatu statistik sampel yang digunakan untuk menduga suatu parameter yang tidak diketahui. Pendugaan adalah seluruh proses menggunakan statistik untuk menduga parameter. Pendugaan tunggal atau titik (point estimate) ialah pendugaan yang terdiri dari satu nilai saja. pendahuluan

Beberapa penduga dan parameter : Parameter :  P    Contoh : Rata-rata konsumsi gula tiap keluarga per bulannya 12 kg artinya X = 12 sebagai penduga (estimator) dari . Persentase pelanggan supermarket yang tidak puas sebesar 20 % artinya p sebagai penduga dari parameter P. Beberapa penduga dan parameter : Parameter :  P    Penduga : x p s r b pendahuluan

Pendugaan Interval Pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya. Jika kita menginginkan suatu pengukuran yang obyektif tentang derajat kepercayaan kita terhadap ketelitian pendugaan, maka kita sebaiknya menggunakan pendugaan interval (interval estimation). Pendugaan ini akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal sebagai penduga parameter. Pendugaan interval (selang) merupakan pendugaan berupa interval yang dibatasi oleh dua nilai yang disebut dengan nilai batas bawah dan nilai batas atas. Pendugaan interval itu akan merupakan interval kepercayaan atau interval keyakinan (confidence interval) yang dibatasi oleh batas keyakinan atas (upper confidence limit) dan batas keyakinan bawah (lower confidence limit). Untuk membuat pendugaan interval harus ditentukan terlebih dahulu koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan yang diberi simbol 1 - . pendahuluan

Koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan : Misalnya : 1 - = 0,90  = 0,10 = 10 %. /2 = 0,05 jadi Z/2 = Z 0,05 = (ZP = 0,5 - /2) = Z 0,5 – 0,05 = Z0,45 = 1,645 (lihat Tabel Normal). Misalnya : 1-  = 0,98 dan n = 25  = 0,02 /2 = 0,01 jadi t/2 ; v = t/2 ; n – 1 = t 0,01 ; 25 –1 = t 0,01 ; 24 = 2,492 ( lihat tabel Distribusi t). pendahuluan

5.2 Pendugaan interval Rata-rata  Pendugaan parameter dengan sampel besar (n > 30). Jika  dan  diketahui, populasi tak terbatas atau populasi terbatas dan penarikan sampel dilakukan dengan pengembalian kembali (with replacement), maka rumusnya adalah P ( ) = 1 -  pendahuluan

P ( X - Z/2 .  . N – n <  < X + Z/2 .  . N – n ) = 1 -  Jika  dan  diketahui, populasi terbatas dan penarikan sampel dilakukan tanpa pengembalian kembali (without replacement), maka rumusnya adalah P ( X - Z/2 .  . N – n <  < X + Z/2 .  . N – n ) = 1 -   n  N – 1  n  N – 1 Jika  dan  tidak diketahui, populasi tak terbatas atau populasi terbatas dan penarikan sampel dilakukan dengan pengembalian kembali (with replacement), maka rumusnya adalah P ( X - Z/2 .S <  < X + Z/2 .S ) = 1 -   n  n S2 = 1  (Xi – X)2 n – 1 S2 = 1 { (X1 – X)2 + (X2 – X)2 + … + (Xn – X)2} pendahuluan

Contoh : 1. Suatu sampel random yang terdiri dari 100 wisatawan asing telah dipilih guna diwawancarai dari populasi yang dianggap tidak terbatas dan terdiri dari semua wisatawan asing yang ada di Indonesia. Dari wawancara itu diketahui rata-rata pengeluaran per kunjungannya ialah $800, per wisatawan. Jika dianggap deviasi standart dari pengeluaran semua wisatawan di Indonesia sebesar $120, maka buatlah interval keyakinan sebesar 95% untuk menduga rata-rata pengeluaran per wisatawan per kunjungannya di Indonesia pendahuluan

b. Pendugaan parameter dengan sampel kecil (n < 30). Jika  dan  tidak diketahui, populasi terbatas dan penarikan sampel dilakukan tanpa pengembalian kembali (without replacement), maka rumusnya adalah P ( X - t/2 . S <  < X + t/2 . S ) = 1 -   n  n t/2 ; v = t/2 ; n – 1 v = n – 1 = derajat bebas pendahuluan

Diketahui data tinggi xi = 159, 161, 157, 155, 163 Contoh : Diketahui data tinggi xi = 159, 161, 157, 155, 163 Interval keyakinan sebesar 90%. Perkirakan rata-rata mahasiswa seluruhnya ! pendahuluan

5.3 Penentuan Besarnya Sampel n untuk Pendugaan Rata-rata. n = [Z/2 . ]2 E2 Contoh : Andaikan di antara plat baja yang dibuat melalui suatu proses tertentu memiliki distribusi normal dengan  = 0,50, berapa besarnya sampel yang harus kita ambil agar kita 95 % yakin bahwa rata-rata sampelnya tidak akan berselisih dari rata-rata populasinya lebih dari 0,1 ? pendahuluan

MINGGU Ke – 8 5.4 Pendugaan Interval Proporsi. Jika x = banyaknya elemen dengan karakteristik tertentu, maka p = x/n merupakan perkiraan P = proporsi sebenarnya dari elemen-elemen dengan karakteristik tertentu tersebut. P ( p - Z/2 . Sp < P < p + Z/2 . Sp ) = 1 -  Untuk populasi tidak terbatas : Sp = p (1 - p) n Untuk populasi terbatas : Sp = p (1 - p) . N – n n N - 1 Jadi : P ( p - Z/2 . p(1 – p) < P < p + Z/2 . p(1 – p) ) = 1 -  n n pendahuluan

Contoh soal : 1. Selama tahun 1998, 35 dari sampel random sebanyak 500 angkatan kerja dijumpai sedang menganggur. Buatlah interval keyakinan proporsi penganggur di daerah itu dengan menggunakan tingkat keyakinan 90% pendahuluan

5.5 Penentuan Besarnya Sampel n untuk pendugaan proporsi. n = p(1- p) . [ Z/2 ] 2 atau n = ¼ . [ Z/2 ] 2 E2 E2 Contoh : Apabila kita ingin memperkirakan proporsi mahasiswa suatu perguruan tinggi yang menggunakan sepeda motor waktu pergi kuliah, berapa besarnya sampel yang kita perlukan apabila dengan tingkat keyakinan 0,95 kesalahan yang mungkin terjadi tidak lebih dari 0,09 ? pendahuluan

5.6 Pendugaan Interval Varians (Ragam) P (n-1) s2 < 2 < (n-1) s2 = 1-  X2/2 X2 1 - /2 Contoh : 1. Suatu sampel random dengan 50 industri kecil di suatu wilayah mempunyai modal kerja rata-rata Rp. 2.400.000 dan deviasi standart Rp. 320.000. Hitung interval kepercayaan 95% untuk  yaitu deviasi standart modal kerja semua industri kecil di wilayah itu. pendahuluan

Pertemuan Ke-9 6.4 Uji Hipotesis Langkah – langkah pengujian hipotesis : 1. Nyatakan hipotesa nolnya Ho bahwa  = o. 2. Pilih hipotesis alternatif H1 yang sesuai diantara  < o,  > o atau  # o. 3. Tentukan taraf nyata  . 4. Pilih statistik uji yang sesuai dan kemudian tentukan wilayah kritiknya. 5. Hitung nilai statistik uji berdasarkan data contohnya. 6. Keputusan : Tolak Ho jika nilai statistik uji tersebut jatuh dalam wilayah kritik , dan jika nilai itu jatuh di luar wilayah kritiknya terima Ho. pendahuluan

UJI RATA-RATA SATU POPULASI pendahuluan

6.5. Pengujian hipotesis mengenai rata-rata Ho Nilai Statistik Uji H1 Wilayah Kritik  = 0 Z = x - 0  / √ n  Diketahui atau n≥30 t = x - 0 s / √ n  tidak diketahui atau n<30  < 0  > 0  ≠ 0  ≠ 0 Z < - Z Z > Z Z > Z/2 atau Z < - Z/2 t < - t t > t t > t/2 atau t < - t/2 pendahuluan

Latihan Soal ! 1. Suatu Populasi berupa seluruh pelat baja yang diproduksi oleh suatu perusahaan memiliki rata-rata panjang 80 cm dengan simpangan baku 7 cm. Sesudah berselang 3 tahun , teknisi perusahaan meragukan hipotesis mengenai rata-rata panjang pelat baja tersebut. Guna menyakinkan keabsahan hipotesis itu, diambil suatu sampel sebanyak 100 unit pelat baja dari populasi di atas, dan diperoleh hasil perhitungan bahwa rata-rata panjang pelat baja adalah 83 cm, dan standar deviasinya tetap. Apakah ada alasan untuk meragukan bahwa rata-rata panjang pelat baja yang dihasilkan perusahaan itu sama dengan 80 cm pad taraf signifikansi  = 5 % ? pendahuluan

pendahuluan

pendahuluan

pendahuluan

Contoh 3 : Uji satu arah (kanan) Ujilah pernyataan suatu perusahaan rokok X yang menyatakan bahwa kadar tar rokok produksinya kurang dari 17,5 mg. Dari sampel acak 8 batang rokok ternyata memiliki rata-rata kadar tarnya adalah 18,613 mg dengan simpangan baku = 1,422 mg . Gunakan  = 5 % untuk menguji pernyataan tersebut di atas. Bentuk ujinya: Ho : o < 17,5 H1 : o  17,5 pendahuluan

Langkah-langkah dengan SPSS : Masukkan data pada data editor Pilih menu Analyze Pilih Compare Means Pilih one sample T Test Setelah itu akan muncul kotak dialog seperti pada Gambar 3.1 Isi nama variabel ( kadartar )yang akan di uji pada Test Variable(s) Isi nilai rata-rata hipotetsis (17,5 mg) yang akan diuji pada kotak Test Value Klik OK , maka akan tampil output seperti pada Gambar 3.2 pendahuluan

Gambar 3.1 pendahuluan

Ho diterima bila nilai sgn/2  5 % Gambar 3.2 Dari tampilan output diperoleh nilai z = nilai t = 2,213 dan nilai p untuk pengujian dua arah ( nilai Sig.(2-tailed) adalah 0,062. Oleh karena pengujian satu arah maka nilai p di bagi dua menjadi 0,062/2 = 0,031 lebih kecil dari nilai  yang sebesar 0,05. Berarti Ho ditolak Keterangan : Ho diterima bila nilai sgn/2  5 % Ho ditolak bila nilai sgn/2 < 5 % pendahuluan

Contoh 2 : Uji satu arah (kiri) Ada pernyataan bahwa rata-rata gaji pegawai di suatu perusahaan A diatas Rp 750.000 Diambil sampel acak 20 pegawai dan diperoleh rata-rata gajinya Rp 1.020.000 dengan simpangan baku sebesar Rp 820.686,49 . Gunakan  = 1 %. Ujilah apakah pernyataan tersebut diterima atau ditolak? Bentuk ujinya sbb: Ho : o > 750.000 H1 : o  750.000 pendahuluan

Langkah-langkah dengan SPSS : Masukkan data pada data editor Pilih menu Analyze Pilih Compare Means Pilih one sample T Test Setelah itu akan muncul kotak dialog seperti pada peraga 2.1 Isi nama variabel ( gaji )yang akan di uji pada Test Variable(s) Isi nilai rata-rata hipotetsis (750000) yang akan diuji pada kotak Test Value Klik OK , maka akan tampil output seperti pada peraga 2.2 pendahuluan

pendahuluan

Keterangan: Ho diterima bila nilai sign/2 > 0,01 Dari tampilan output diperoleh nilai z = nilai t = 1,471 dan nilai p untuk pengujian dua arah ( nilai Sig.(2-tailed) adalah 0,158. Oleh karena pengujian satu arah maka nilai p di bagi dua menjadi 0,158/2 = 0,079 lebih besar dari nilai  yang sebesar 0,01. Berarti Ho diterima Keterangan: Ho diterima bila nilai sign/2 > 0,01 Ho diterima bila nilai sign/2  0,01 pendahuluan

UJI HIPOTESIS TENTANG RATA-RATA POPULASI Contoh 1 : kasus uji dua arah Nilai matematika di sebuah SMU tahun lalu adalah 60 dan tahun ini dipekirakan akan sama dengan tahun lalu. Setelah selesai ujian tahun ini, diambil sampel acak 10 murid dan nilai rata-ratanya adalah 68,8 dengan simpangan baku 14,91. Dengan menggunakan  = 5 % apakah Ho diterima atau ditolak ? Bentuk Uji dua arah: Ho : o = 60 H1 : o  60 pendahuluan

Langkah-langkah dengan SPSS: Masukkan data pada data editor Pilih menu Analyze Pilih Compare Means Pilih one sample T Test Setelah itu akan muncul kotak dialog seperti pada peraga 1.1 Isi nama variabel ( nilai matematika ) yang akan di uji pada Test Variable(s) Isi nilai rata-rata hipotetsis (60) yang akan diuji pada kotak Test Value Klik OK , maka akan tampil output seperti pada peraga 1.2 pendahuluan

pendahuluan

Untuk uji dua arah : Ho diterima bila nilai sign   Penjelasan : Dari tampilan output diperoleh nilai z = nilai t = 1,867 dan p ( nilai Sig.(2-tailed) adalah 0,095 lebih besar dari nilai  yang sebesar 0,05. Berarti Ho diterima Keterangan: Untuk uji dua arah : Ho diterima bila nilai sign   Ho ditolak bila nilai sign <  pendahuluan

Pertemuan Ke-10 6.6 Pengujian Hipotesis mengenai Proporsi Dalam pengujian hipotesis untuk proporsi langkah-langkah yang dilakukan sama seperti pengujian hipotesis untuk rata-rata. X – np0 Z0 =  np0(1-p0) dimana : n = banyak sampel pendahuluan

Latihan soal : 1. Seorang pejabat suatu bank berpendapat, bahwa petani peminjam kredit Bimas yang belum mengembalikan kreditnya kembali adalah sebesar 70%, dengan alternatif lebih kecil dari itu. Untuk mengujinya, kemudian diteliti sebanyak 225 orang petani peminjam kredit Bimas. Ternyata ada 150 orang yang belum mengembalikan kredit dengan  =10%, ujilah pendapat tersebut. pendahuluan

Seorang pejabat BKKBN berpendapat bahwa 40% penduduk suatu desa yang tidak setuju KB, dengan alternatif tidak sama dengan itu. Untuk mengujinya, telah diteliti sebanyak 400 orang sebagai sampel acak. Ternyata ada152 orang yang mengatakan tidak setuju KB. Mereka berpendapat bahwa setiap anak yang lahir merupakan rahmat Tuhan dan membawa rezeki sendiri-sendiri. Dengan menggunakan  =1% ujilah pendapat tersebut. pendahuluan

UJI HIPOTESIS PROPORSI POPULASI Contoh 1: Diperkirakan murid di sebuah SMU yang menyenangi mata pelajaran matematika tidak lebih dari 10%. Untuk mengujinya diambil 20 siswa secara acak, hasilnya 4 murid menyatakan menyenangi mata pelajaran matematika. Dengan tingkat signifikansi  = 5 %, ujilah pernyataan tersebut benar atau salah ? Bentuk uji hipotesanya sbb: Ho : P  10 % H1 : P > 10 % pendahuluan

Langkah-langkahnya dengan SPSS Masukkan data hasil pengamatan 20 siswa seperti pada peraga 1. Pilih menu Analyze Pilih Non Parametrics Test Pilih Binomial ( karena yang diuji dua elemen 1 = senang atau 2 = tidak senang) Isi pada Test Variabel List dengan variabel tanggap Isi pada Test proportion dengan 0.10 dan klik OK Pada tampilan output akan terlihat seperti peraga 2 pendahuluan

pendahuluan

Keterangan : untuk Uji seperti di atas ( uji arah kanan ) Dari ouput viewer SPSS di atas diperoleh nilai sign. = 0,133 lebih besar dari nilai  = 5 %, jadi kesimpulannya Ho diterima artinya siswa yang menyenangi mata pelajaran matematika tidak lebih dari 10 %. Keterangan : untuk Uji seperti di atas ( uji arah kanan ) Ho diterima bila sign > 0,05 ( 5 % ) Ho ditolak bila sign < 0,05 ( 5 % ) pendahuluan

Pertemuan ke – 12 6.7 Pengujian Hipotesis mengenai Varians Dalam pengujian hipotesis untuk varians langkah-langkah yang dilakukan sama seperti pengujian hipotesis untuk rata-rata dan proporsi. (n-1)S2 X2(n-1) = 2 mengikuti fungsi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan (n-1) pendahuluan

pendahuluan

Contoh soal : 1. Seorang pemilik perusahaan makanan ternak ingin mengetahui apakah sejenis makanan baru dapat mengurangi variasi berat ternak. Pemilik perusahaan tersebut beranggapan, setelah ternak diberi makanan tersebut selama 3 bulan, akan tercapai variasi berat, yang dinyatakan dalam varians sebesar 1600 pon, dengan alternatif lebih kecil dari itu. Untuk mengujinya, sebanyak 30 ekor ternak yang beratnya hampir sama dipilih sebagai sampel acak, kemudian diberi makanan baru tersebut selama 3 bulan. Setelah 3 bulan, dilakukan penimbangan. Ternyata diperoleh varians berat badan sebesar 1000 pon. Dengan menggunakan tingkat keyakinan 2,5% ujilah pendapat tersebut. pendahuluan

a. Buatlah interval kepercayaan 95% untuk 2 ? 2. Suatu pabrik baterai mobil menjamin bahwa baterainya akan tahan rata-rata 3 tahun dengan simpangan baku 1 tahun. Untuk meyakinkan pendapatnya diambil sampel yang terdiri atas 5 baterai dan daya tahannya adalah 1,9 ; 2,4 ; 3,0 ; 3,5 ; 4,2 tahun. a. Buatlah interval kepercayaan 95% untuk 2 ? b. Apakah simpangan baku  = 1 tersebut masih dapat diterima? pendahuluan