Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”

Oleh: Drs. Nandang, MPd. (Dosen Prodi Pend. Matematika FKIP Unwir) PRESENTASI PERKENALAN PENILAIAN MATERI PERS DIFERENSIAL Oleh: Drs. Nandang, MPd. (Dosen Prodi Pend. Matematika FKIP Unwir)

e-mail: nndg67@yahoo.com NANDANG JL.GUNUNG CIREMAI BLOK 16, NO. 10 TLP. (0234)275530 HP. 08122170975 e-mail: nndg67@yahoo.com www.nandangfkip.blogspot.com www.fkipunwir.com

KOMPONEN PENILAIAN KEHADIRAN (KHD) TUGAS (TGS) UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS) UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS) NA = [10(KHD)+20(TGS)+30(UTS)+40(UAS)]/100 85 <= NA <=100 (A) NA = NILAI AKHIR

MATERI PERS DIFERENSIAL DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL PERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIER PERS DIFERENSIAL EKSAK FAKTOR INTEGRASI PERS DIFERENSIAL LINIER PERS DIFERENSIAL HOMOGEN PERS DIFERENSIAL TIDAK HOMOGEN

Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan diferensial.

ORDE DAN DEGREE PD 1. Orde (tingkat) PD adalah tingkat tertinggi turunan yang muncul pada PD tersebut. 2. Degree (derajat) PD yang dapat ditulis sebagai polinomial dalam turunan adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang muncul pada PD tersebut.

Beberapa Contoh PD

SOLUSI INTEGRASI LANGSUNG Selesaikan PD berikut! Penyelesaian: (fungsi kuadrat) home

PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN KOEFISIEN LINIER

PD dgn Koefisien Linier Bentuk umum: (ax + by + c)dx + (px +qy + r)dy = 0 …(*) Jika c = r = 0, maka (*) menjadi: (ax + by)dx + (px + qy)dy = 0, (PDH) Jika px + qy = k(ax + by), maka (*) menjadi: (ax + by + c)dx + (k(ax + by) + r)dy =0, PDVT

Jika a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0, maka (*) dapat mengambil bentuk: ax + by + c = 0 px + qy + r = 0 adalah persamaan dua garis yang berpotongan, misal TP(x1, y1) maka lakukan substitusi: X = x – x1 atau x = X + x1, dx = dX Y = y – y1 atau y = Y + y1, dy = dY terhadap persamaan (*)

maka diperoleh: (aX + bY)dX + (pX + qY)dY=0, PDH selanjutnya lakukan substitusi Y = vX, atau dY = vdX + Xdv.

Contoh soal Selesaikan persamaan di bawah ini! home

PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK

Pers Diferensial Eksak Bentuk umum: adalah PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(x,y) =0.

Maka : Jika persamaan (*) merupakan PD Eksak, maka berlaku Jika maka persamaan (*) merupakan PD Eksak.

Soal latihan Selesaikan persamaan di bawah ini! Penyelesaian: (PDE)

home

FAKTOR INTEGRASI

FAKTOR INTEGRASI Dik: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ……(*) Jika pers (*) tidak eksak, maka dapat dijadikan PDE. Caranya yaitu kalikan pers (*) dengan suatu fungsi tertentu, misal u(x, y) yang dinamakan faktor integrasi. Sehingga persamaan (*) menjadi: uP(x, y)dx + uQ(x, y)dy = 0 ……(**). Persamaan (**) sudah menjadi PDE, selajutnya selesaikan persamaan tersebut sesuai dengan prosedur yang berlaku.

Bila diberikan suatu persamaan diferensial yang tidak eksak, maka faktor integrasi dapat dicari dengan beberapa kemungkinan berikut. Faktor integrasi hanya tergantung dari fungsi x, maka fungsi x dapat dicari dengan cara: Maka faktor integrasi dapat ditentukan dengan cara:

Faktor integrasi hanya tergantung dari fungsi y, maka fungsi y dapat dicari dengan cara: Maka faktor integrasi dapat ditentukan dengan cara: Bila faktor integrasi sudah diperoleh kalikan terhadap pers (*) untuk mengasilkan pers (**) sehingga terbentuk PDE.

Contoh soal Selesaikan persamaan di bawah ini! Penyelesaian: Karena maka bukan PDE. Selanjutnya

Sehingga faktor integrasi yang dicari adalah: Kemudian kalikan faktor tersebut terhadap persamaan semula, maka diperoleh persamaan baru (PDE), yaitu:

Setelah menjadi PDE, selesaikan sesuai dengan prosedur yang benar, untuk memperoleh:

Kemungkinan lain untuk mencari faktor integrasi adalah: Jika pers (*) merupakan PDH dan maka faktor integrasi adalah

Jika pers (*) dapat ditulis dalam bentuk yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 dan f(xy) ≠ g(xy), maka faktor integrasi adalah:

Soal latihan

A B C D

Coba lagi ya!

Terima kasih, Anda berhasil home

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER (PDL)

Pers Diferensial Linier Bentuk umum: ………(i) P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x.

Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan (i) di atas adalah dengan memisalkan y = uv, dimana u dan v masing-masing fungsi dari x. Karena y = uv, maka y’ = u’v + uv’ ……….(ii) Dari pers (i) dan (ii) diperoleh: u’v +uv’ + Puv = Q atau v(u’ + Pu) + uv’ = Q, dalam hal ini ambil syarat (u’ + Pu)=0 atau uv’ = Q ……(iii)

Karena (u’ + Pu)=0, maka

Karena Berdasarkan pemisalan y = uv, maka dari persamaan (*) dan (**) diperoleh:

Soal latihan Selesaikanlah persamaan di bawah ini! home

PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

Pers Diferensial Homogen Bentuk umum PD orde 2: PDH Orde 2: ……(*) Subtitusi:

Dari (*) dan (**) diperoleh: Karena maka ……(**) Dari (*) dan (**) diperoleh:

………(#) Pers (#) dinamakan persamaan bantu.

Jika r1 dan r2 adalah akar-akar real berlainan dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:

Contoh: Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan: Penyelesaian:

Jika r1 dan r2 adalah akar-akar kembar dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:

Contoh: Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan: Penyelesaian:

Jika persamaan bantu memiliki akar-akar bilangan kompleks, a + bi dan a – bi, maka penyelesaian umum dari: adalah:

Contoh: Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan: Penyelesaian:

Soal latihan

home

PERSAMAAN DIFERENSIAL TIDAK HOMOGEN

Penyelesaian? Pers Dif Tidak Homogen Bentuk umum PD orde 2: PDTH Orde 2 dengan koefisien konstan: ……(*) Penyelesaian?

Penyelesaian PDTH dapat direduksi atas tiga tahapan Tentukan penyelesaian umum dari persamaan homogen y’’ + a1y’ + a2y = 0, ditulis yh. Tentukan suatu penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen (*), ditulis yk. Tambahkan kedua penyelesaian di atas, yh + yk = y (dinamakan penyelesaian umum dari (*)). Metode

Metode ? Metode Koefisien Tak Tentu Metode Variasi Parameter

Metode Koefisien Tak Tentu Perhatikan persamaan: Dalam hal ini fungsi k(x) yang paling mungkin adalah berupa polinom, eksponen, sinus dan kosinus. Untuk menentukan yk didasarkan pada penyelesaian coba-coba. Fungsi coba2

Penyelesaian Coba-coba k(x) ? 1 2 1 3 2 3 Coba yk ?

Catatan: Jika salah satu fungsi dari k(x) adalah suatu penyelesaian terhadap penyelesaian homogen, maka kalikan penyelesaian coba-coba dengan x (atau mungkin dengan suatu pangkat dari x yang lebih tinggi).

Metode Variasi Parameter Jika u1(x) dan u2(x) adalah penyelesaian yang saling bebas terhadap persamaan homogen, maka terdapat suatu penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen yang berbentuk:

Contoh soal Tentukan penyelesaian umum dari persamaan berikut dengan menggunakan metode variasi paramater! Penyelesaian: Untuk menentukan penyelesaian homogen, cari dulu persamaan bantu sehingga diperoleh:

Untuk menentukan penyelesaian khusus, maka tulis yk sebagai berikut: …(*) Dengan menyelesaikan sistem (*), maka diperoleh:

Sehingga:

Berdasarkan uraian di atas, maka penyelesaian umum yang harus dicari adalah:

Soal latihan

home

Terima Kasih

Untuk mengakhiri pembelajaran ini, marilah kita bersama-sama membaca “ALHAMDULILLAH”