Metode Penarikan Contoh II Referensi Materi 1 Materi 2 Materi 3 Materi 4 Materi 5

METODE PENARIKAN CONTOH II Buku : * Sampling Techniques. Cochran W.G. * Sampling Theory and Method. Murthy M.N. * Theory and Analysis of Sample Survey Design. Singh D et.al.

Materi Kuliah * Penduga Beda dan Penduga Regresi (2) * Sampling klaster /Cluster sampling (5) * Sampling bertahap /Mulitistage sampling (4) * Selfweighting design (2) Double sampling (1) * Pelajari kembali MPC I (pengertian masing-masing metode sampling)

Sistem Ujian Untuk UTS dan UAS - Soal sama untuk seluruh tingkat II - Buka rumus tanpa pembuktian - Membuat satu lembar rumus untuk seluruh mahasiswa (koordinasi antar kelas) Untuk tugas/ Quis - Soal boleh tidak sama antar kelas - Untuk quis, rumus disediakan pada soal

Penilaian Penentuan Nilai Final : Tugas/ quis 20 % UTS 30 % UAS 50 % MPC mata kuliah pokok

Materi -1 Penduga Beda dan Penduga Regresi A. Pendahuluan Estimasi regresi dirancang untuk meningkatkan presisi dengan menggunakan variabel pendukung (auxillary variable) yg mempunyai korelasi dg karakteristik dari variabel yg akan diteliti. Apabila variabel y dan x mempunyai hubungan linier, maka disarankan untuk dilakukan dengan dasar regresi linier.

Estimator Regresi Seseorang ingin menyempurnakan perkiraan produksi buah mangga di suatu areal lahan. Petani memperkirakan hasil produksi buah dg cara eye estimate (berdasarkan pengalaman) merupakan perkiraan kasar. Perkiraan banyaknya produksi dapat ditingkatkan presisinya melalui estimator regresi, dg cara mengambil sampel pohon dan menimbangnya maka diperoleh perkiraan yg lebih baik. Dalam estimator regresi penarikan sampel dg SRS dan didahului dg difference estimator yg merupakan persamaan linier yg sederhana.

Informasi yg dikumpulkan: a Informasi yg dikumpulkan: a. Nilai karakteristik didasarkan eye estimate pd seluruh kebun buah dan nilai sampel per pohon terpilih. b. Nilai karakteristik didasarkan penelitian pd pohon terpilih (melalui penimbangan)

B. Penduga Beda/ Difference Estimator) (1) Misalkan y dan x merupakan karakteristik-karakteristik yang berhubungan. Kita ingin memperkirakan . Jika dari suatu sampel acak sederhana, kita memperoleh penduga-penduga unbiased dan untuk dan , maka kita dapat memperbaiki penduga dengan memperke-nalkan suatu difference function. Asumsi: y berubah jika x berubah dan x maupun y memiliki varians yang sama.

Difference Estimator (2) Asumsi di atas tidak berlaku jika hubungan tersebut adalah dari jenis y = k + cx, dimana k dan c adalah konstanta-konstanta. Secara umum difference estimator didefinisikan sebagai:

Difference Estimator (3) Teorema 1: Dalam SRS-WOR, diference estimator adalah unbiased dan varians samplingnya adalah dimana  adalah koefisien korelasi antara x dan y dan  = c Sx/Sy .

Difference Estimator (4) Bila Maka minimum variance menjadi :

Difference Estimator (5) Teorema 2: Dalam SRS-WOR, variance diference estimator adalah

Difference Estimator (6) Corollary: Untuk kasus c=R(=Y/X), varians dari diffrence estimator dengan penduga rasio aproksimasi order pertama akan tepat sama. Diffrence estimator akan lebih baik dari penduga mean per unit jika c < 2Sy/Sx Dalam SRS-WOR, penduga tak bias dari V( ):

Penduga Regresi 1)  mendaptkan estimator dg presisi yang lebih baik dg menggunakan variabel lain yang mempunyai korelasi dg variabel yg diduga  walaupun mempunyai hubungan linear, persamaan garisnya tidak melalui titik (0,0) Bandingkan : penduga ratio  melalui (0,0) dengan penduga regresi  tidak melalui (0,0) penduga perubahan untuk penambahan satu unit. Nilai dan diperoleh dari setiap unit dalam sampel ; nilai dan diketahui. Penduga total populasi :

2) Penduga regresi : utk (penduga beda) Sifat penduga regresi : - konsisten - bias Salah satu bentuk bias (penduga beda) (penduga ratio) (penduga beda)

Bukti Misal : Penarikan sampel dilakukan dg SRS bias

3) Penduga regresi dg nilai ditentukan, misal = (asumsi SRS) Teorema 1.1  unbiased, dg varian Bukti dg menggunakan rumus SRS

unbiased estimator dari varian Minimum tercapai pada saat nilai ( buktikan 1 ) Tulis : = koefisien korelasi populasi antara dan Teorema 1.2

4) Penduga regresi dg nilai dihitung dari sampel, least squares estimate dari B, sbb. Bila merupakan least squares estimate dari B dan maka dalam pengambilan sampel SRS dg jumlah sampel n ( n besar ) untuk korelasi populasi antara dan ( = rho) Teorema 1.3

5) Estimasi dari varian Tentukan nilai maka dan dari karena merupakan penduga yang tidak bias (unbiased) dari dan teorema 1.3

untuk sampel dapat diabaikan Utk sampel besar, estimator dari Utk populasi yg tak terhingga (infinite) dan regresi linear digunakan penyebut (n-2), bukan (n-1), sehingga penduga varian menjadi :

6) Penduga regresi pada stratified sampling a. Separate regression estimate ( penduga regresi dihitung untuk setiap rerata stratum) utk Rumus di atas digunakan apabila koefisien regresi berbeda antar stratum b. Combine regression estimate ( penduga regresi dihitung secara kombinasi ), yaitu apabila koefisien regresi sama utk semua strata maka

c. Penghitungan varian utk nilai dan ditentukan. Dari butir 3) di atas, penduga yang tidak bias dari , sehingga merupakan penduga yg tidak bias dari . Karena sampling dilakukan secara independen pada setiap stratum, dari teorema 1.1 diperoleh : Dari teorema 1.2 : minimum utk the true regression coeffisient in stratum Minimum varian dapat dituliskan :

Utk combine regression estimate merupakan penduga yg tidak bias dari Karena merupakan penduga dari stratified sample utk variate dapat digunakan teorema tentang stratified random sampling utk variate tsb.yg menghasilkan nilai yg meminimumkan varian di atas nilai merupakan rerata tertimbang dari stratum regression koefisien

Bila Dari rumus varian minimum di atas, dan menggantikan dg diperoleh Hasil tsb menunjukan bhw dg pemilihan separate estimate yg optimum akan diperoleh varian yg lb kecil dibanding combined estimate kecuali sama utk semua strata. Pemilihan yg optimum membutuhkan nilai dan

Sampling Klaster (Cluster Sampling) Kuliah 3-7

Pokok Bahasan Pengertian,Alasan dan Persyaratan Klaster dengan jumlah unit yang sama/ Equal Cluster Klaster dengan jumlah unit Tidak sama Sampling klaster untuk proporsi Sampling klaster dengan probabilitas Tidak Sama/ Varying Probability Sampling klaster Stratifikasi/ Stratified Cluster Sampling

Materi 2 Sampling klaster (Cluster sampling) Pengertian, alasan, dan persyaratan Klaster = kelompok unit yg lb kecil, seperti elemen atau subunit Penarikan sampling klaster  klaster sebagai sampling unit Sampling klaster satu tahap  seluruh unit dalam klaster terpilih, dicacah Alasan : - tidak ada daftar elemen dalam populasi - lebih ekonomis, misalnya perlu biaya yg besar utk membuat daftar elemen dalam populasi dan biaya pencacahan lebih hemat - sampling unit berkelompok  lebih nyaman (mudah dan cepat) dibanding SRS - peta dari suatu wilayah yang terdiri atas blok/segmen wilayah biasanya sudah tersedia dan dapat dijadikan klaster. Persyaratan : klaster mempunyai batas yg jelas dan tidak tumpang tindih

Unit Listing/ Daftar Unit Tabel 2.1 : Contoh Klaster, unit listing, elemen / unit analisis, serta aplikasi Klaster Unit Listing/ Daftar Unit Elemen/Unit Analisis Aplikasi (1) (2) (3) (4) 1. Blok Sensus Rumahtangga Orang Estimasi jumlah rumahtangga/ penduduk beserta karakteristiknya 2. Desa Sekolah Guru/ Murid Estimasi jumlah guru/ murid beserta karakteristiknya 3. Sekolah Kelas Murid Estimasi jumlah murid beserta karakteristiknya 4. Halaman buku Baris Kata Estimasi jumlah kata dalam buku 5. Bulan Minggu Hari Estimasi rata-rata kepadatan lalu lintas.

2) Klaster dengan jumlah unit sama (equal cluster) a) Notasi = jumlah klaster populasi = jumlah klaster sampel = jumlah elemen dalam klaster = nilai karakteristik elemen ke klaster ke = rerata elemen pada klaster ke = rerata klaster = rerata dari rerata klaster dalam populasi = rerata elemen dalam populasi = mean square antar elemen pada klaster ke

= mean square dalam (within) klaster = mean square antar rerata klaster dalam populasi = mean square antar elemen dalam populasi = intracluster correlation coefficient antar elemen dalam klaster (ada buku yang menyebut dengan roh)

Tabel 2.2 : Analisis varian utk populasi Sumber variasi dof Mean Square Antar (between) rerata klaster Dalam (within) klaster Antar elemen ( Total ) Buktikan :

Tabel 2.3 : Analisis varian utk sampel Sumber variasi dof Mean Square Antar (between) rerata klaster Dalam (within) klaster Antar elemen ( Total )

b) Penduga rerata dan varian (ragam) Populasi klaster dengan jumlah unit masing-masing ,diambil klaster secara SRSWOR, maka merupakan penduga yang tidak bias dari , dengan varian Bukti : Teorema 2.1 N klaster SRS n klaster

dengan menggunakan dan memasukkan (roh) diperoleh utk nilai N yang besar

Akibat (Corollary) 1 Akibat (Corollary) 3 Populasi klaster dengan jumlah unit masing-masing , diambil klaster secara SRSWOR, maka penduga total populasi yang tidak bias adalah : dengan varian Akibat (Corollary) 2 Populasi elemen diambil sampel sebanyak secara SRSWOR, varian utk rerata elemen menjadi : Akibat (Corollary) 3 Penduga varian dari teorema 2.1

Akibat (Corollary) 4 Populasi klaster dengan jumlah unit masing-masing ,diambil klaster secara SRSWR, maka merupakan penduga yang tidak bias dari , dengan varian dan penduganya c) Desain efek dan efisiensi klaster sampling NM elemen klaster Desain efek klaster SRS SRS nM elemen

Dari teorema 2.1 , dapat dituliskan : desain efek ( deff ) (1) Elemen dalam klaster homogin sempurna  = 0 , dan = 1  deff = M  kurang baik (kurang efisien) (2) Elemen dalam klaster heterogin sempurna  = 0, dan  deff = 0  sangat baik (sangat efisien) Upayakan variasi dalam klaster maksimum (sangat heterogin) sedangkan antar klaster minimum (sangat homogin). Dengan demikian nilai (roh) akan berada pada interval Catatan : ada buku yang menggunakan istilah efisien sebagai pengganti dari desain efek, ada juga yang menggunakan notasi terbalik utk notasi efisien. Dg menggunakan hubungan antara dan pd Akibat 1 buktikan (1) + (2)

Pengertian efisiensi / desain efek suatu metode sampling : Efisiensi metode sampling A thd B Metode sampling A lebih efisien dari B bila : Desain efek metode sampling A

d) Biaya survei Biaya survei dapat dikelompokkan menjadi 2, yaitu : - biaya utk pencacahan elemen sampel dalam klaster, termasuk biaya perjalanan dalam klaster yang proporsional dengan jumlah elemen sampel ( ) - biaya perjalanan antar klaster yang proporsional terhadap jarak antar klaster; dari penelitian sebelumnya telah diperoleh bhw nilai harapan dari sampel acak adalah proporsional dengan ( )

3). Klaster dengan jumlah unit tidak sama (unequal cluster) a). Penduga rerata dan varian (ragam) = jumlah elemen pada klaster ke – i Rerata populasi per elemen : = rerata per elemen dari klaster ke – i Rerata gabungan dari rerata klaster :

Suatu populasi terdiri atas 3 klaster : a) Jumlah unit sama : klaster 1 (3, 4, 5); klaster 2 (6, 7, 8); klaster 3 (1,2,9) b) Jumlah unit tidak sama : klaster 1 (1, 2, 3); klaster 2 (4, 6); klaster 3 ( 5 )

Populasi klaster diambil klaster secara SRSWOR, semua elemen dalam kaster terpilih dicacah, ada 3 jenis penduga : -        rerata sederhana dan tidak mempertimbangkan ukuran klaster (1) (2) memperhitungkan karakteristik seluruh unit dalam sampel (3) diperlukan ukuran klaster populasi

Teorema 2.2 merupakan penduga yang bias dari , dengan varian dan Bukti : Bias : Sampling variannya :

g) Tambahan pembuktian nilai harapan dan varian Teorema 2.2. Bias :

Penduga yang tidak bias dari : Akibat (Corollary) Penduga yang tidak bias dari : Teorema 2.3 merupakan penduga yang bias dari , tetapi konsisten, dengan varian : Bukti : merupakan penduga rasio  bias dan konsisten, dengan varian :

Penduga yang tidak bias dari Akibat (Corollary) Penduga yang tidak bias dari Teorema 2.4 merupakan penduga yang tidak bias dari , dengan varian : Bukti :

h) Beberapa rumus yang perlu dipelajari kembali Teorema 2.4 h) Beberapa rumus yang perlu dipelajari kembali Konsep-konsep dasar nilai harapan, rerata, varian covarian. Baca Singh D halaman 3-6, 24 -27, Cochran halaman 22 – 27, 29 – 30 atau catatan mata kuliah probabilitas dan MPC I.

Penduga yang tidak bias dari Varian di atas tergantung kepada nilai yang cenderung akan lebih besar dibandingkan dengan , kecuali dan bervariasi sedemikian rupa sehingga hasil kalinya mendekati konstan Akibat (Corollary) Penduga yang tidak bias dari

Efisiensi metode sampling klaster dengan jumlah unit tidak sama : b) Efisiensi sampling klaster dengan jumlah unit tidak sama Populasi elemen diambil sampel sebanyak secara SRSWOR, varian utk rerata elemen menjadi : Efisiensi metode sampling klaster dengan jumlah unit tidak sama : metode sampling klaster dengan jumlah unit tidak sama akan lebih efisien.

c) Penduga total populasi yaitu: bila Mi diketahui untuk N klaster Penduga total dilakukan dengan mengalikan dengan banyaknya unit dalam populasi yaitu: atau bila Mi diketahui untuk N klaster sehingga estimasi totalnya menjadi dapat diperoleh dari atau yang telah dibahas sebelumnya

i) Contoh penarikan sampling klaster satu tahap   Sampling unit terdiri lebih dari satu elemen (merupakan kelompok elemen). Dalam praktek sampling unit berupa klaster sering digunakan seperti halnya desa dan blok sensus. Contoh di bawah ini akan langsung mengkaji estimasi dan varian dari data sampel. Penekanan lebih pada aplikasi penggunaan rumus. Tabel dibawah merupakan ilustrasi contoh dari hasil suatu survei (sumber besaran data dari Daroga Singh, 1986) yang dilakukan di suatu wilayah yang terdiri dari 20 desa. Data yang dikumpulkan untuk memperkirakan jumlah ternak ayam. Dari kerangka sampel sebanyak 12 desa, dipilih 4 desa dengan acak sederhana (klaster satu tahap). Jumlah usaha dan ternak ayam dipelihara pada desa terpilih tercantum pada kolom (3). Dalam klaster satu tahap seluruh usaha dalam desa terpilih dicacah. Diketahui jumlah usaha di wilayah tersebut:

Tabel 2.5 : Jumlah Usaha dan Ternak Ayam Dipelihara pada Desa Terpilih dan Usaha Terpilih     Jumlah usaha Jumlah ayam Ternak ayam dipelihara pada usaha terpilih (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Desa   m1 = 34 m2 = 36 m3 = 35    m4 =   =135    =225 =471 =141   A B C D   102    105 200 88   12546 =123 24150 =230 88200 =441 14080 =160   266, 890, 311, 46, 174, 31, 17, 186, 224, 31, 102, 46, 31, 109, 275, 128, 125, 267, 153, 152, 84, 21, 52, 10, 0, 48, 94, 129, 87, 89, 109, 0, 310, 3 129, 57, 64, 11, 163, 77, 278, 50, 26, 127, 252, 194, 350, 0, 572, 149, 275, 114, 387, 53, 34, 150, 224, 185, 157, 224, 466, 203, 354, 816, 242, 140, 66, 590, 747, 147 247, 622, 225, 278, 181, 132, 659, 403, 281, 236, 595, 265, 431, 190, 348, 232, 88, 1165, 831, 120, 987, 938, 197, 614, 187, 896, 330, 485, 60, 60, 1051, 651, 552, 968, 987 347, 362, 34, 11, 133, 36, 34, 61, 249, 170, 112, 42, 161, 75, 68, 0, 247, 186, 473, 0, 143, 198, 65, 0, 308, 122, 345, 0, 223, 302, 219, 120, 199, 35, 0, 0   y1 = 4594    y2. =8093 y3. =16492 y4. =5080 Jumlah 495 138976

Penduga cara pertama RSE   N

Penduga cara ke dua RSE

Penduga cara ke tiga Apabila diketahui ukuran klaster populasi ( ) RSE

Sampling Klaster untuk Proporsi Misalkan yij merupakan suatu nilai variabel kualitatif, dan terdiri atas kategori-kategori yang kongkrit. Elemen-elemen dengan suatu kategori (yang diperhatikan) masing-masing diberi nilai dummy sama dengan 1, sedangkan selainnya diberi nilai 0. Dengan pengertian ini, P (proporsi) adalah proporsi dari elemen-elemen populasi yang memiliki suatu kategori yang diperhatikan. Proporsi elemen-elemen populasi yang memiliki suatu kategori yang diperhatikan adalah

Terdapat tiga pilihan estimator bagi proporsi elemen-elemen yang memiliki kategori yang diperhatikan, yaitu : 1) Proporsi tak tertimbang dengan dan estimasi varian bagi adalah

2) Tertimbang terhadap banyaknya elemen (Mi) dalam sampel klaster dan estimasi varian bagi adalah

3) Tertimbang terhadap rata-rata banyaknya elemen per klaster dalam populasi dan estimasi varian bagi adalah

Unit Listing/ Daftar Unit Tabel 2.1 : Contoh Klaster, unit listing, elemen / unit analisis, serta aplikasi Klaster Unit Listing/ Daftar Unit Elemen/Unit Analisis Aplikasi (1) (2) (3) (4) 1. Blok Sensus Rumahtangga Orang Estimasi jumlah rumahtangga/ penduduk beserta karakteristiknya 2. Desa Sekolah Guru/ Murid Estimasi jumlah guru/ murid beserta karakteristiknya 3. Sekolah Kelas Murid Estimasi jumlah murid beserta karakteristiknya 4. Halaman buku Baris Kata Estimasi jumlah kata dalam buku 5. Bulan Minggu Hari Estimasi rata-rata kepadatan lalu lintas.

Kemungkinan penarikan sampel klaster: a.a. Bila kolom (1) merupakan unit sampling dan seluruh unit yang ada dalam klaster diteliti semua penarikan sampel tergolong klaster satu tahap. Apabila pada klaster terpilih dan didasarkan unit yang ada pada listing, dipilih unit dan selanjutnya diadakan penelitian pada unit tersebut, metode sampling tergolong pada klaster sampling dua tahap. Contoh lain misalnya klaster adalah sekolah, kemudian dari daftar kelas pada sekolah terpilih dipilih kelas dan selanjutnya dari kelas terpilih dipilih murid, maka cara penarikan ini disebut klaster sampling tiga tahap. Tahap di sini berarti tahapan dari penarikan sampel. bb. Klaster dapat dipilih dengan berbagai metode sampling. Klaster dapat dipilih dengan acak sederhana, strata, peluang dengan ukuran besarnya klaster, sistematik dan sebagainya.

c. Kerangka sampel yang harus disediakan tergantung pada metode sampling. Minimal untuk penarikan sampling tahap pertama (primary sampling unit-psu) harus tersedia dan selanjutnya kerangka sampel untuk dasar penarikan sampel elemen/unit analisis (ultimate sampling unit – usu) dapat dibentuk di lapangan. Sebagai contoh dilakukan penarikan sampel blok sensus, kemudian pada blok sensus terpilih dilakukan pendaftaran rumahtangga. Dengan dasar hasil pendaftaran rumahtangga pada blok sensus terpilih dipilih rumahtangga. Daftar rumahtangga dalam blok sensus terpilih disebut unit listing.

d) Sampling klaster dengan probabilitas tidak sama (varying probability). Bila jumlah unit dalam klaster berkorelasi dengan variabel yang diteliti  pemilihan sampel menggunakan probabilitas yang proporsional thd jumlah elemen dalam klaster  Sampling PPS (probability proportional to size). Contoh : suatu populasi terdiri atas 7 unit sperti pada tabel berikut. untuk memilih satu sampel, ambil angka random diantara 1 dan 30. Misal terpilih 19  unit nomor 4. Hal ini dapat dilakukan apabila N tidak terlalu besar. Utk N besar, dapat digunakan berbagai metode, misalnya metode Lahiri. Tabel 2.4 : Populasi dengan jumlah ukuran pada masing2 unit Unit Jarak 1 3 3 1 – 3 2 1 4 4 3 11 15 5 – 15 4 6 21 16 – 21 5 4 25 22 – 25 6 2 27 26 -- 27 7 3 30 28 -- 30

Misal probabilitas mengambil klaster ke – i dengan jumlah elemen dalam klaster tersebut dan Misal N klaster dipilih dengan PPSWR sehingga diperoleh : Teorema 2.5 Ambil sampel sebanyak n klaster secara PPSWR dengan probabilitas , estimator yang tidak bias dari adalah dengan sampling varian : Bukti :

Akibat (Corollary) 1 Akibat (Corollary) 2 Akibat (Corollary) 3 Dari MPC 1 ttg PPS : Akibat (Corollary) 1 Ambil sampel sebanyak n klaster secara PPSWR dengan probabilitas estimator yang tidak bias dari adalah dengan sampling varian : Akibat (Corollary) 2 Ambil sampel sebanyak n klaster secara PPSWR dengan probabilitas estimator yang tidak bias dari Akibat (Corollary) 3 Ambil sampel sebanyak n klaster secara PPSWR dengan probabilitas estimator yang tidak bias dari adalah

PR : 1) Tentukan efisiensi klaster PPSWR thd SRSWR 2) Apabila , dengan menggunakan theorema 2.5 dan akibat (corrolary) 1, selidiki apakah penduga tersebut bias atau tidak bias. Tentukan pula variannya. Penarikan sampel tanpa pengembalian (without replacement). Beberapa contoh penduga : - Horvitz-Thompson - Brewer - Murthy - Rao, Hartley, Cochran

e) Sampling klaster stratifikasi (Stratified cluster sampling) Sampling klaster dapat juga diaplikasikan dalam sampling berstrata. Sesuai dengan prinsip strata yaitu membagi populasi menjadi sub-populasi Alasan : - efisiensi, disesuaikan tingkat penyajian - penyesuaian dengan keadaan adminisrasi  estimasi dilakukan melalui masing-masing stratum dan kemudian dilakukan estimasi populasi Utk. penduga total, dilakukan penduga masing-masing stratum, dijumlahkan menjadi penduga total populasi. Utk. penduga rerata dihitung penduga rerata per stratum, penduga populasi ditimbang dengan banyaknya unit pada masing-masing stratum. Populasi klaster Stratum 1 klaster Stratum 2 klaster Stratum L klaster klaster klaster klaster

Rumus-rumus utk sampling klaster stratifikasi 1) 2) 3) Nilai rerata atau total disesuaikan dengan metode penarikan sampelnya

f) Ukuran klaster yang optimal       Pada umumnya sampling klaster digunakan dengan pemilihan sampel bertahap. Klaster satu tahap kurang effisien disebabkan ukuran klaster yang biasanya cukup besar dan karakteristiknya homogen. Oleh karena itu diadakan kompromi yaitu dengan memperbanyak klaster terpilih, tetapi dengan memperkecil ukuran klaster. Unit-unit dalam klaster hanya akan diteliti sebagian. Banyaknya unit yang dipilih dalam setiap klaster perlu ditentukan secara optimal sehingga dapat disesuaikan dengan biaya yang tersedia atau tingkat ketelitian yang dikehendaki. Data dari sensus atau survei sebelumnya dengan karakteristik yang sesuai dengan survei yang akan dilaksanakan dapat digunakan untuk kajian ini. Pembahasan lebih rinci akan dilakukan pada sampling bertahap.

h) Beberapa rumus yang perlu dipelajari kembali Teorema 2.4 h) Beberapa rumus yang perlu dipelajari kembali Konsep-konsep dasar nilai harapan, rerata, varian covarian. Baca Singh D halaman 3-6, 24 -27, Cochran halaman 22 – 27, 29 – 30 atau catatan mata kuliah probabilitas dan MPC I.

PENARIKAN SAMPEL BERTAHAP Metode Sampling Satu Tahap : Sampling Elemen (elemen sampling) : penarikan sampel langsung ke elemen pada kerangka sampel dan selanjutnya informasi dikumpulkan dari elemen terpilih Sampling Klaster (cluster sampling): dilakukan penarikan sampel klaster dan seluruh elemen dalam klaster terpilih dikumpulkan informasinya

Pengertian PENARIKAN SAMPEL BERTAHAP Penarikan sampel bertahap merupakan perluasan dari penarikan sampel klaster, pada klaster terpilih tidak semua elemen dalam klaster dikumpulkan informasinya. Pada klaster terpilih dipilih elemen dan selanjutnya informasi hanya dikumpulkan dari elemen terpilih, Penarikan sampel bertahap bisa lebih dari 2 tahap, jadi pada klaster ada lagi sub-klaster dan unit terakhir berupa elemen yang disebut unit sampling terkecil (ultimate sampling unit), Unit sampling tahap perama disebut primary samplng unit, unit sampling tahap kedua disebut secondary sampling unit, dan seterusnya

Contoh Sampling Dua Tahap Pada suatu survei dilakukan penarikan sampel blok sensus dan pada setiap blok sensus terpilih dipilih rumahtangga. Penyediaan kerangka sampel rumahtangga dapat dilakukan dilapangan sesuai dengan kondisi mutakhir

Contoh Sampling Tiga Tahap Pada suatu survei dilakukan penarikan sampel desa, dan setiap desa dipilih blok sensus dan dari blok sensus terpilih dipilih rumahtangga.

Dasar Pertimbangan Penggunaan Metode Sampling Bertahap Tidak tersedianya kerangka sampel sampai satuan unit terkecil yang akan dijadikan dassr penarikan sampel Untuk membangun kerangka sampel yang memuat unit sampling terkecil memerlukan biaya, tenaga, dan waktu yang besar Dengan menerapkan penarikan bertahap, maka pengawasan lapangan lebih dapat ditingkatkan sehingga non sampling error dapat diketahui Ditinjau dari segi biaya, penarikan sampel bertahap jauh lebih efisien dibanding dengan penarikan sampel satu tahap langsung melalui elemen sampling

Catatan/ Note : Ditinjau dari segi metode sampling dengan banyaknya sampel yang sama, maka sampling bertahap lebih efisien dibanding dengan klaster satu tahap, tetapi kurang efisien dibanding sampling elemen. Ditinjau dari segi biaya, maka sampling bertahap kurang efisien dibanding dengan klaster satu tahao, tetapi lebih efisien dibanding dengan sampling elemen. Jadi dalam penggunaan sampling bertahap perlu ada keseimbangan antara penurunan biaya dan kenaikan sampling error.

PENARIKAN SAMPEL DUA TAHAP Seperti halnya pada Sampling Klaster Satu Tahap, maka banyaknya unit pada tahap pertama dapat sama atau berbeda. Demikian pula banyaknya unit yang harus dipilih pada tahap kedua dapat sama atau berbeda. Sehingga hal ini berpengaruh pada metode estimasi dan notasi yang dipergunakan.

Sampling Dua Tahap Dengan Ukuran Sama Pada metode sampling ini banyaknya unit pada unit sampling tahap pertama adalah sama (M), demikian pula banyaknya unit yang dipilih pada tahap kedua (m).

Penarikan sampel dua tahap Misalkan jumlah unit yang dapat dijadikan dasar untuk penarikan sampel tahap pertama ( pstp atau first stages sampling unit – fsu) adalah N, dan jumlah unit yang dapat dijadikan dasar penarikan sampel tahap kedua ( pstd atau secondary sampling unit – ssu) pada setiap unit penarika sampel tahap pertama yang ke-i adalah Mi . Contoh : Sampel dua tahap dengan jumlah unit sama N = 81, n = 5, M = 9, m = 2       N = 81 unit n = 5 unit M = 9 subunit M = 9 subunit M = 9 subunit M = 9 subunit M = 9 subunit m = 2 sub unit m = 2 sub unit m = 2 sub unit m = 2 sub unit m = 2 sub unit

Sampel terpilih n = 5, M = 9, m = 2 ssu terpilih

a). Mendapatkan rerata dan varian pada sampling dua tahap  nilai harapan untuk sampel secara keseluruhan  nilai harapan untuk sampel pada tahap pertama  nilai harapan untuk sampel pada tahap ke dua  varian utk penarikan sampel tahap ke dua. Utk membuktikan hal di atas misal , maka dari ……….. ( 1 ) ……….. ( 1 )

Ambil rerata pada penarikan tahap pertama ( ), dan subsitusi bahwa : Menurut definisi : Ambil rerata pada penarikan tahap pertama ( ), dan subsitusi bahwa : ……….. ( 2 ) Dari konsep varian di atas: Masukkan ke persamaan di atas, menjadi: ( 2 )

b). Total dan rerata populasi Misalkan jumlah unit yang dapat dijadikan dasar untuk penarikan sampel tahap pertama ( pstp atau first stages sampling unit – fsu) adalah N, dan jumlah unit yang dapat dijadikan dasar penarikan sampel tahap kedua ( pstd atau secondary sampling unit – ssu) pada setiap unit penarikan sampel tahap pertama yang ke-i adalah Mi. Bila menyatakan nilai karakteristik Y pada unit pstd ke-j dalam unit pstp ke-i, maka nilai total dan rerata dapat dinyatakan sebagai berikut:     - total nilai karakteristik Y pada pstp ke-i adalah: -  rerata nilai karakteristik pstp ke-i adalah: -  total nilai karakteristik dalam populasi adalah:      - rerata nilai karakteristik per unit pstp dalam populasi:       - rerata nilai karakteristik per unit pstd

Bila Penarikan Sampel Tahap 1 dan 2 keduanya secara SRS WOR, maka

Pendugaan Total dan Variance

Pendugaan Total dan Variance Pendugaan Variance

Pendugaan Total dan Variance Dengan demikian penulisan rumus variance menjadi Dari rumus di atas dapat dilihat bahwa besarnya variance tergantung variance karakteristik di antara unit sampling tahap 1 dan unit sampling tahap 2.

Pendugaan Total dan Variance Perkiraan variance dari metode di atas:

Penarikan Sampel Acak Dua Tahap c). Penarikan sampel dua tahap, kedua tahap acak sederhana Dari N unit pstp dipilih n unit, dan dari Mi unit pstp pada setiap ke-i dipilih sebanyak mi unit. Penarikan sampel pada kedua tahap menerapkan metode penarikan sampel acak sederhana tanpa pemulihan. Banyaknya sampel pada pstd adalah m1+m2+…+mn. Misalkan yij adalah nilai karakteristik Y pada unit pstd ke-j dan pstp ke-i yang terpilih (j=1,2,…,mi) dan (i=1,2,3,…,n). Secara skematis penarikan sampel acak sederhana dua tahap dapat disajikan pada gambar berikut. Penarikan Sampel Acak Dua Tahap (N=12, n=4 , m1=3, m2=2, m3=5, m4=3)   6 7 Keterangan: Unit pstp terpilih : Unit pstd terpilih 1 2 3 4 5 8 9 10 11 12

Tabel 3.1 : Penarikan sampel dua tahap dengan metode PSAS DP     d) Penduga Parameter (1) Penarikan sampel dua tahap dengan metode SRSWR (PSAS DP) Rancangan penarikan sampel yang digunakan adalah rancangan penarikan sampel 2 tahap, dengan tahapan sebagai berikut :  Tahap pertama, dari N unit sampling tahap pertama dipilih n unit dengan menerapkan metode PSAS DP. Tahap kedua, misalkan pada setiap unit pstp yang terpilih memuat Mi unit pstd, selanjutnya dipilih mi unit dengan menerapkan metode PSAS DP. Dari uraian rancangan penarikan sampel yang direncanakan dapat ditentukan peluang, dan fraksi sampling pada setiap tahap penarikan sampel seperti tercantum pada tabel di bawah ini. Tabel 3.1 : Penarikan sampel dua tahap dengan metode PSAS DP Tahap Banyaknya unit di dalam Metode penarikan sampel Peluang pemilihan sampel Fraksi sampling Populasi Sampel Pertama N n PSAS-DP Kedua Mi mi

Dengan demikian selanjutnya dapat ditentukan besarnya faktor pengali (inflation factor) pada tahapan penarikan sampel yang merupakan kebalikan dari fraksi sampling dan factor pengali-pengalinya (overall inflation factor) adalah: Faktor pengali pstp    Faktor pengali pstd   Faktor pengali keseluruhan, yang berbeda antar pstp, kecuali bila F2i = F2 konstan,  F = F1.F2 merupakan desain tertimbang sendiri (self-weighting design). Misal yij menyatakan nilai karkteristik Y pada pengamatan ke-j dalam unit pstp ke-i, maka rumus umum estimasi yang tak bias bagi total adalah dengan Ambil wij dan diletakkan pada rumus umum, maka akan diperoleh estimasi bagi total karakteristik Y berdasarkan nilai-nilai sampel, yaitu :

dan varian penarikan sampel bagi adalah dengan dan dan masing-masing adalah varian antar unit penarikan sampel tahap pertama dan varian di dalam unit penarikan sampel tahap kedua pada unit penarikan sampel tahap pertama ke-i. Dalam penarikan sampel dengan pemulihan, penduga tak bias bagi total karakteristik Y dapat didekati untuk n = 1, melalui estimasi yang diperoleh dari masing-masing unit penarikan sampel tahap pertama ke-i adalah

Jadi ada sebanyak n estimasi dari setiap pstp Jadi ada sebanyak n estimasi dari setiap pstp. Dengan demikian penduga tak bias bagi varian adalah Apabila penarikan sample tanpa pemulihan maka setiap pstp tidak merupakan estimasi yang bebas satu sama lain. Varian harus dihitung melalui pstp dan pstd.

Rumus klaster yang kedua Dalam suatu survei dengan skala besar biasanya perkiraan varian didekati dengan penghitungan dengan pemulihan.     (2) Penarikan sampel dua tahap dengan metode penarikan sampel sebanding ukuran unit (probability proportional to size – pps) dan metode PSAS DP. Rancangan penarikan sampel yang direncanakan adalah penarikan sampel dua tahap, dengan tahapan sebagai berikut : Tahap pertama, dari N unit penarikan sampel tahap pertama dipilih n unit dengan menerapkan metode penarikan sampel sebanding terhadap ukuran unit xi dengan pemulihan. Nilai-nilai xi untuk seluruh unit untuk penarikan sampel tahap pertama harus tesedia sehingga dapat dihitung    TTahap kedua, misalkan pada setiap unit pstp yang terpilih memuat Mi unit pstd, selanjutnya dipilih mi unit dengan menerapkan metode PSAS DP. Dari uraian rancangan penrikan sampel yang direncanakan dapat ditentukan peluang, dan fraksi sampling pada setiap tahap pemilihan sampel seperti tercantum pada tabel berikut.

Tabel 3.2 : Rencana penarikan sampel 2 tahap dengan metode PPS dan PSAS DP   Tahap Banyaknya unit di dalam Metode penarikan sampel Peluang pemilihan sampel Fraksi sampling Populasi Sampel Pertama N n PPS DP Kedua Mi mi PSAS DP   Penduga tak bias bagi total karakteristik Y yang hanya didasarkan pada unit penarikan sampel tahap pertama ke-i adalah

Penduga tak bias bagi total populasi dari seluruh unit penarikan sampel tahap pertama n, adalah merupakan rata-rata sederhana dari , yaitu Dengan demikian penduga tak bias bagi varian adalah

Contoh klaster dua tahap dengan menggunakan sampel desa pada uraian sebelumnya. Kolom (1) s.d. (3) pada tabel tsb  untuk penghitungan klaster satu tahap. Dalam desain dua tahap, pada desa terpilih dipilih sejumlah usaha dan dari usaha terpilih ditanyakan banyaknya ternak ayam yang dipelihara. Hasil pencacahan terlihat pada kolom (4) tabel tsb. Penghitungan , dan untuk sampling dua tahap didasarkan pada data di kolom (4) s.d. (7). Dan selanjutnya data ini digunakan untuk menghitung: Catatan: Klaster satu tahap berdasarkan kolom (3), klaster dua tahap berdasarkan kolom (4) tabel tsb.  

Tabel 3.5. : Jumlah Usaha dan Ternak Ayam Dipelihara pada Desa Terpilih dan Usaha Terpilih     Jumlah usaha Jumlah ayam Ternak ayam dipelihara pada usaha terpilih (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Desa   A B C D   102    105 200 88   12546 =123 24150 =230 88200 =441 14080 =160   266, 890, 311, 46, 174, 31, 17, 186, 224, 31, 102, 46, 31, 109, 275, 128, 125, 267, 153, 152, 84, 21, 52, 10, 0, 48, 94, 129, 87, 89, 109, 0, 310, 3 129, 57, 64, 11, 163, 77, 278, 50, 26, 127, 252, 194, 350, 0, 572, 149, 275, 114, 387, 53, 34, 150, 224, 185, 157, 224, 466, 203, 354, 816, 242, 140, 66, 590, 747, 147 247, 622, 225, 278, 181, 132, 659, 403, 281, 236, 595, 265, 431, 190, 348, 232, 88, 1165, 831, 120, 987, 938, 197, 614, 187, 896, 330, 485, 60, 60, 1051, 651, 552, 968, 987 347, 362, 34, 11, 133, 36, 34, 61, 249, 170, 112, 42, 161, 75, 68, 0, 247, 186, 473, 0, 143, 198, 65, 0, 308, 122, 345, 0, 223, 302, 219, 120, 199, 35, 0, 0   m1 = 34 m2 = 36 m3 = 35    m4 =   y1. = 4594    y2. =8093 y3. =16492 y4. =5080   =135    =225 =471 =141 Jumlah 495 138976

Estimasi cara pertama (dihitung dari kolom (4) tabel 1, masing-masing klaster terpilih)   Dengan rumus di atas diperoleh:

RSE

Penduga cara ke dua

Ruas kanan pertama   Ruas kanan kedua: dalam contoh ini sama dengan yaitu 124 RSE

Penduga cara ke tiga bila diketahui populasi = 124,   Ruas kanan pertama:

Ruas kanan kedua:   RSE Penghitungan di atas merupakan penghitungan nilai rerata per elemen. Apabila dikehendaki penduga total, maka secara umum dihitung dengan rumus: disesuaikan dengan ketiga cara penghitungan di atas.

(3) Penentuan ukuran sampel Secara umum tujuan dari penarikan sampel adalah untuk menduga parameter- parameter populasi dengan presisi yang ditentukan pada biaya yang minimum. Presisi dalam hal ini biasanya diungkapkan dengan varian dari statistik yang dihasilkan. Semakin rendah varian yang diharapkan, semakin tinggi biaya yang harus disiapkan. Fungsi biaya yang sederhana dalam kaitannya dengan rancangan penarikan sampel dua tahap dapat dinyatakan sebagai berikut : atau Biaya tetap ( C0 ) seperti biaya penentuan desain, analisis dan sebagainya yang tidak dipengaruhi besarnya sampel tidak dimasukkan dalam hitungan. Ukuran sampel optimum dengan varian minimum (diusahakan sekecil mungkin dengan biaya telah ditentukan) adalah sebagai sebagai berikut :

dan ; C  ditentukan dengan : , bila pstp menerapkan metode PSAS DP , bila pstp menerapkan metode penarikan sampel PPS , bila pstd menerapkan metode PSAS DP , bila pstd menerapkan metode penarikan sampel PPS dan

Bila varian (tingkat presisi), misalnya V telah ditetapkan, maka ukuran sampel tahap pertama yang optimum adalah dan Ukuran sampel tahap kedua yang optimum dapat juga dinyatakan dalam kaitannya dengan intraclass correlation  (rho), yaitu : (4) Penarikan Sampel Dua Tahap dalam Rancangan Penarikan Sampel Berstrata Struktur penarikan sampel. Rancangan penarikan sampel bertahap dapat juga dilaksanakan dibawah rancangan penarikan sampel berstrata. Oleh sebab itu, sebelum penarikan sampel dilaksanakan, unit-unit penarikan sampel tahap pertama ( upstp atau primary sampling unit – psu) terlebih dahulu dikelompokkan berdasarkan kemiripan karakteristik yang dimilikinya. Variabel yang digunakan untuk dasar pembentukan strata dapat berupa variabel kuantitatif maupun variabel kategorik.

Struktur penarikan sampel. (4) Penarikan Sampel Dua Tahap dalam Rancangan Penarikan Sampel Berstrata Struktur penarikan sampel. Rancangan penarikan sampel bertahap dapat juga dilaksanakan dibawah rancangan penarikan sampel berstrata. Oleh sebab itu, sebelum penarikan sampel dilaksanakan, unit-unit penarikan sampel tahap pertama ( upstp atau primary sampling unit – psu) terlebih dahulu dikelompokkan berdasarkan kemiripan karakteristik yang dimilikinya. Variabel yang digunakan untuk dasar pembentukan strata dapat berupa variabel kuantitatif maupun variabel kategorik. Misalkan suatu populasi dibagi habis menjadi L strata, Nh menyatakan jumlah upstp dalam strata ke-h dan adalah jumlah upstp pada seluruh strata, jumlah upstd pada upstp ke-i dalam strata ke-h dinyatakan sebagai Mhi, dan menyatakan jumlah unit penarikan sampel tahap kedua (secondary sampling unit – upstd) pada seluruh strata. Misalkan nh adalah jumlah sampel upstp yang ditarik dari strata ke-h, dan mhi menyatakan jumlah sampel upstd yang ditarik dari upstp ke-i strata ke-h. Secara skematis struktur penarikan sampel dua tahap dalam rancangan penarikan sampel berstrata seperti tercantum pada gambar berikut.  

Skema kerangka sampel penarikan sampel dua tahap dalam rancangan penarikan sampel berstrata   Strata 1 (N1= 4) Strata 2 (N2 = 3) Strata 3 (N3 = 2)    Keterangan : kotak bergaris biru adalah upstp, lambang  adalah merupakan upstd  

Penduga total populasi *) Penarikan sampel tahap pertama dan kedua PSAS DP. Penduga tak bias bagi total karakteristik Y dalam strata dinyatakan sebagai Yh, yhij menyatakan nilai karakteristik Y pada upstd ke-j dalam upstp ke-i strata ke-h (h =1, 2, 3, …L; i =1, 2, 3,…nh dan j = 1, 2, 3, …mhi). Penarikan sampel tahap pertama pada setiap strata menerapkan metode PSAS DP, yaitu dari Nh unit dipilih sebanyak nh unit, demikian juga penarikan sampel pada tahap kedua dari Mhi upstd dipilih mhi unit dengan menerapkan PSAS DP. Jumlah sampel pada penarikan sampel tahap pertama dan kedua masing-masing adalah dan Tabel 3.3 : Rencana Penarikan Sampel Acak Berstrata Dua Tahap.   Tahap Banyaknya unit dalam strata h Metode pemilihan sampel Peluang pemilihan sampel Fraksi sampel Populasi Sampel 1 Nh nh PSAS DP 2 Mhi mhi

Penduga tidak bias bagi total karakteristik Y strata ke-h adalah Untuk seluruh strata, estimasi total tidak bias adalah merupakan penjumlahan dari seluruh estimasi total dari masing-masing strata, yakni dan estimasi variannya adalah dengan Bila total ukuran sampel tahap pertama (n) dialokasikan sebanding terhadap ukuran strata (Nh), dan fraksi sampling pada penarikan sampel tahap kedua sama, yaitu sebesar k untuk seluruh unit penarikan sampel tahap pertama, maka akan diperoleh penduga yang tertimbang sendiri (self-weighting estimator). Ukuran sampel pada penarikan sampel tahap kedua akan bervariasi sebanding terhadap ukuran populasi pada setiap unit penarikan sampel tahap pertama yang terpilih. Suatu rancangan penarikan sampel yang menghasilkan penduga yang tertimbang secara otomatis disebut sebagai rancangan penarikan sampel tertimbang sendiri (self-weighting design)

Ukuran sampel pada penarikan sampel tahap pertama untuk masing-masing strata adalah sedangkan ukuran sampel pada penarikan sampel tahap kedua untuk masing-masing unit penarikan sampel tahap pertama yang terpilih adalah atau Dengan demikian, maka penduga tidak bias bagi total karakteristik Y adalah dan estimasi variannya dengan dan Penerapan rancangan penarikan sampel tertimbang sendiri memang menguntungkan bila ditinjau dari aspek pengolahan data (tabulasi), tetapi ditinjau dari aspek lapangan kurang praktis terlebih bila populasi penarikan sampel tahap kedua diperoleh langsung di lapangan.

Banyaknya unit dalam strata h Metode pemilihan sampel **) Tahap pertama menerapkan metode penarikan sampel berpeluang sebanding terhadap ukuran dan tahap kedua acak sederhana dengan pemulihan Penduga tidak bias bagi total karakteristik Y dalam strata dinyatakan sebagai Yh, dan yhij menyatakan nilai karakteristik Y pada upstd ke-j dalam upstp ke-i strata ke-h (h = 1, 2, 3, …L; i =1, 2, 3,…nh dan j = 1, 2, 3, …mhi). Penarikan sampel tahap pertama pada setiap strata menerapkan metode penarikan sampel berpeluang sebanding terhadap ukuran zi, yaitu dari Nh unit dipilih sebanyak nh unit, sedangkan penarikan sampel pada tahap kedua dari Mhi unit dipilih mhi unit dengan menerapkan penarikan sampel acak sederhana dengan pemulihan.   Tabel 3.4 : Penarikan Sampel Acak Berlapis Dua Tahap PPS DP dan PSAS DP   Ta hap Banyaknya unit dalam strata h Metode pemilihan sampel Pe luang pemilih an sampel Fraksi sampel Populasi Sampel 1 Nh nh PPS DP 2 Mhi mhi PSAS DP

Penduga total yang tidak bias bagi karakteristik Y stratum ke-h adalah Untuk seluruh strata, penduga total yang tidak bias adalah merupakan penjumlahan dari seluruh penduga total dari masing-masing stratum, yakni dan estimasi variannya adalah dengan

Penduga rasio total dari dua variabel Misal selain variabel Y, variabel X juga merupakan variabel yang diteliti, xhij  nilai variabel X pada upstd ke-j pada upstp ke-i strata ke-h. Penduga yang tidak bias bagi total yang diperoleh dari upstp ke-i strata ke-h adalah Penduga total bagi variabel X dari seluruh n upstp adalah Penduga varian bagi total Xh dan Yh seperti yang tercantum pada anak bab sebelumnya. Penduga yang bias tetapi konsisten bagi rasio dari dua nilai total pada stratum ke-h adalah merupakan rasio dari dan, yaitu :

dan penduga varian bagi adalah dengan adalah merupakan penduga tidak bias bagi kovarian dan Dengan demikian, maka penduga varian yang bias tetapi konsisten bagi R adalah merupakan penjumlahan dari varian pada masing-masing strata, yaitu :

Materi 4 Rancangan penarikan sampel tertimbang sendiri ( self-weighting design ) 1) Manfaat Penimbang yang seragam Penarikan sampel dan menentukan peduga, terutama utk penarikan sampling bertahap membutuhkan prosedur yg rumit terutama pada penentuan penduga dalam tabulasinya. Pada bagian ini akan didiskusikan penduga yang sering digunakan serta prosedur yg lebh sederhana, sehingga mengurangi beban saat melakukan tabulasi. Tujuan survei  mendptkan penduga karakteristik populasi dg data dari sampel. Utk mendptkan penduga karakteristik populasi, penduga dari sampel perlu ditimbang dg suatu nilai tertentu. Penduga total populasi biasanya dituliskan = jumlah ultimate sampling unit (usu) = nilai karakteristik yg berpadanan dg usu ke – i = penimbang yg berpadanan dg usu ke – i Penimbang tergantung pada prosedur penarikan sampel dan penduga yg ditentukan dan biasanya dipilih yg tidak bias (unbiased). Penimbang pada dikenal sebagai faktor pengali (multiplier, inflation factor), karena dipakai utk mem blow – up nilai yg diperoleh dari sampel utk mendptkan penduga populasi. ( 1 ) ( 1 )

semua unit sampel dinyatakan sebagai Sebagai contoh dalam SRSWR/WOR, sistimatik sirkuler, penimbang yg digunakan pada semua unit sampel dinyatakan sebagai yang merupakan kebalikan fraksi sampling dan dalam sistimatik linear dinyatakan sebagai k (interval pemilihan sampel). Dalam pps sampling, penimbang antar unit biasanya bervariasi, oleh karena itu utk suatu unit sampling penimbang dinyatakan sebagai = jumlah ultimate sampling unit (usu) = peluang terpilihnya unit ke – i Dalam rancangan sampling dua tahap, dengan jumlah sampel pstp (penarikan sampel tahap pertama) sebanyak yg dipilh secara pps, dan unit merupakan jumlah unit pada pstd (penarikan sampel tahap dua) yang dipilih dari secara SRSWOR atau sistimatik linear, penimbang dapat dituliskan Karena penimbang tdk tergantung pada pengamatan sampel secara individual, pertama dihitung penimbang setiap unit penarikan sampel pd tahap pertama dan kemudian digunakan utk mengalikan setiap nilai berbagai karakteristik yg diteliti utk mendptkan nilai peduganya. ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )

 penimbang yg berlaku utk setiap unit sampling Dalam survei yg besar dg banyak parameter yg diduga, penghitungan penimbang dalam tahapan estimasi menjadi rumit dikaitkan dg waktu dan biaya  utk kepraktisan dan efisiensi sampai tahap tabulasi dibutuhkan rancangan sampling yg mempunyai satu penimbang yg berlaku utk setiap unit (rancangan penarikan sampel tertimbang sendiri --self-weighting design atau equi-weighting design) Dalam rancangan penarikan sampel tertimbang sendiri (self-weighting design), persamaan dapat disederhanakan menjadi :  penimbang yg berlaku utk setiap unit sampling Rancangan sampel dg penimbang yg seragam utk setiap unit sampling  self-weighting design at field stage. Misalnya rancangan sampling bertahap dpt dibuat self weighting design dg cara menentukan banyaknya ultimate sampling unit yg harus dipilih. Dalam kasus tertentu suatu teknik sampling dpt mereduksi banyaknya penimbang pada tahapan tabulasi  self-weighting design at tabulation stage. Pada survei yg besar sering digunakan rancangan sampling yg memenuhi syarat ke dua kriteria di atas. ( 1 ) ( 5 )

2) Stratified Sampling a) Stratified random sampling. Pada rancangan stratified sampling SRSWR, SRSWOR, sistimatik sirkuler dan bukan self – weighting, penduga total ditulis = ukuran unit pd stratum ke – h = ukuran sampel pd stratum ke – h = nilai karakteristik pd unit sampel ke – i yg dipilih dari stratum ke – h. Faktor pengali bervariasi antar stratum, kecuali bila sampel dialokasikan secara proporsional thp . Dg demikian, rancangan sampel akan menjadi self – weighting apabila sampel dialokasikan kedalam setiap stratum proporsional thp sdmkian rupa shg atau substitusi ke penduga total dituliskan dg varian ( 6 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 6 ) ( 8 ) ( 9 )

b) Stratified PPS sampling Pada rancangan stratified PPS sampling dg pemilihan pada strata secara PPSDP dg size , penduga yg tidak bias dari total karakteristik dituliskan = nilai variabel pd unit sampel ke – i stratum ke – h = size pemilihan sampel pd stratum ke – h,  total size = ukuran sampel pd stratum ke – h,  ukuran sampel secara keseluruhan (overall sample size) Rasio ( selanjutnya dinyatakan ) dapat diamati di lapangan atau diperoleh dari para pencacah secara mudah. Rancangan akan menjadi self-weighting apabila sampel dialokasikan ke dalam setiap stratum secara proporsional thp size sdmkn rupa shg penduga total karakteristik dpt dituliskan dg varian , ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) ( 13 )

c) Stratified two-stage sampling pstp  dipilih secara ppswr dg size pstd  sistimatik linear, penduga yg tidak bias dari adalah penimbang penduga nilai total Agar menjadi self-weighting design dan ditentukan sdmkn rupa shg penimbang konstan sebesar . Utk nilai yg belum diketahui, rancangan menjadi self-weighting utk Banyaknya sampel pstd dan pstp ke - i ( 14 ) = nilai pengamatan ke – j, pstp ke – i, yg dipilih dr stratum ke – h = nilai variabel pd pstp ke – i stratum ke – h = interval sampling pd pstp ke – i stratum ke – h = size pemilihan pd pstp ke – I, stratum ke – h = total ukuran pd stratum ke – h = size pemilihan pd stratum ke – h ( 15 ) ( 16 ) ( 17 )

Dari terlihat bhw bila semakin besar  ukuran sampel pstd mengecil bila semakin kecil  ukuran sampel pstd membesar, melebihi yg dibutuhkan;  harus ditentukan utk mendptkan ukuran sampel pstd yg dibutuhkan. Bila sampel yg dibutuhkan secara rerata adalah , maka nilai harapan ukuran sampel dapat dituliskan  merupakan kebalikan dari overall sampling fraction ( 17 )

d) Contoh aplikasi (1) Suatu populasi terdiri atas 160 perusahaan industri yg terbagi menjadi 6 strata. Ukuran sampl yg akan ditarik 20 perusahaan. Rancangan I self-weighting, penarikan dg cara sistimetik linear dg interval 8 pada setiap stratum. Rancangan ini akan menimbul kan beban kerja yg bervariasi antar strata. Utk mengatur agar beban kerja antar strata tidak terlalu berbeda, dibuat rancangan II, yaitu dengan cara mengalikan / membagi interval dg suatu bilangan bulat sdmkn rupa shg beban kerja antar strata berkisar antara 3 – 4 perusahaan. Rancangan II tidak seluruhnya self-weighting, krn penimbang pada beberapa strata berubah seiring dg perubahan interval, shg rancangan II disebut sbg partially self-weighting. Interval pemilihan sampel dan expected sample size disajikan pada tabel berikut. Tabel 4.1. : Ukuran Strata, Interval Sampling dan Nilai Harapan Sampel Jumlah Persh Rancangan I Rancangan II Strata (h) 1 2 3 4 5 6 52 14 25 28 12 29 160 8 6,500 1,750 3,125 3,500 1,500 3,625 16 4 8 3,250 3,500 3 125 3 500 3,000 3,625

Pada rancangan I, interval setiap stratum = 160 / 20 = 8 Interval dikalikan 2  harapan ukuran sampel menjadi setengahnya Interval dibagi 2  harapan ukuran sampel menjadi 2 kali lipat. Rancangan I  sampel dialokasikan sebanding ukuran strata shg lebih efisien dibanding rancangan II dlm hal sampling variannya. Rancangan II  diterapkan bila ada manfaat dr penyeimbangan beban kerja. (2) Populasi terdiri atas 16 desa yg terbagi menjadi 4 strata. Rancangan sampling stratifikasi dua tahap self-weighting (stratified two stage design self weighting). unit pstp  desa unit pstd  rumah tangga pstp  setiap stratum dipilh satu desa secara pps dg size jumlah penduduk pstd  setiap desa terpilih dipilih sejumlah rumahtangga secara sistimatik linear. jumlah rumahtangga  7198 jumlah sampel yg direncanakan  80 faktor pengali yg konstan mrpkn kebalikn overall sampling fraction = 7198 / 80 90 jumlah desa yg diambil dr setiap stratum = 1 ( = 1 ). Rancangan I : diperoleh dr rmus , diperoleh dr rmus Contoh : stratum – 1, desa – 1, = 90 (1) (1618) / 6887 = 21,14 = 360 / 21,14 = 17, 0. Utk Rancangan II, penghitngan intrval dan jmlh rmhtangga terplih  rmus yg sama. Rancangan I  self weighting, shg faktor pengali sama yaitu 90 Rancangan II  keseimbangan beban kerja antar strata. ( 16 ) ( 17 )

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 1 2 3 4 Tabel 4.2.: Self Weighting Two Stage Stratified Design No Desa Jumlah Penduduk Jumlah Rumah tangga Rancangan I Rancangan II Strata (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 1 2 3 4 1618 1402 699 3168 360 255 140 704 21,14 18,31 9,14 41,47 17,0 13,9 15,3 90 21,14 18,31 9,14 41,47 17,0 13,9 15,3 90 1 Sub Jumlah 1 6887 1459 1 2 3 4 4006 7917 2122 2355 728 1588 472 428 21,99 43,44 11,65 12,02 33,1 36,6 40,5 90 43,98 86,88 23,30 25,84 16,6 18,3 20,2 180 2 Sub Jumlah 2 16400 3216 1 2 3 4 490 533 284 2172 98 118 52 434 12,67 13,79 7,34 56,20 7,7 8,6 7,1 90 6,34 6,90 3,67 28,10 15,4 15,2 14,2 45 3 Sub Jumlah 3 3479 702 1 2 3 4 684 2656 2726 2872 155 493 545 638 6,88 26,75 27,45 28,92 22,5 18,1 19,9 22,1 90 6,88 26,75 27,45 28,92 22,5 18,1 19,9 22,1 90 4 Sub Jumlah 4 8938 1821 Jumlah 1 – 4 35704 7198

3) Penarikan sampel tiga tahap Contoh : Sampel tiga tahap pstp psu kecamatan blok sensus sekolah pstd ssu blok sensus ru-ta tani kelas pstg tsu rumah tangga petak sawah murid

Misalkan banyaknya unit yang dapat dijadikan dasar untuk penarikan sampel tahap pertama ( pstp atau first stages sampling unit – fsu) adalah N, banyaknya unit yang dapat dijadikan dasar penarikan sampel tahap ke dua ( pstd atau secondary sampling unit – ssu) pada setiap unit penarikan sampel tahap pertama yang ke-i adalah . Serta banyaknya unit yang dapat dijadikan dasar penarikan sampel tahap ke tiga ( pstg atau third sampling unit – tsu) pada setiap unit penarikan sampel tahap pertama yang ke-i, dan tahap ke dua -j adalah . Apabila penarikan sampel menggunakan PPSDP pada setiap tahapnya, penduga yg tidak bias dari total karakteristik populasi dapat dituliskan : dengan varian : dan penduga varian yg tidak bias : Biaya :      

Penarikan sampel dua fase ( Two phase / Double sampling ) Materi 5 Penarikan sampel dua fase ( Two phase / Double sampling ) 1) Pengertian Variabel bantu ( auxiliary variable ) sering digunakan dalam survei, misalnya utk keperluan pembentukan strata atau berbagai penduga ( penduga rasio, regresi dsb) Variabel bantu yg digunakan harus berkorelasi dg vbl utama. Sebagai contoh, suatu survei akan dilakukan utk menduga pengeluaran rumah tangga. Pengeluaran rumah tangga sangat bervariasi antar rumahtangga, shg apabila dilakukan survei langsung ( langsung mengambil sejumlah sampel utk diteliti), memrlukan ukuran jumlah sampel yg banyak. Utk menghemat biaya, jumlah sampel dapat dikurangi dg cara melakukan survei dua fase. Fase 1, diambil sejumlah sampel utk meneliti vbl bantu yg sangat sederhana, misalnya jml art, jenis pekerjaan atau gaya hidup. Vbl bantu tsb digunakan sbg alat utk membuat penduga, strata, atau urutan karakteristik yg akan di gunakan pd pemilihan fase 2. Pada fase 2 dipilih sampel yg relatif lb kecil utk meneliti vbl utama, yaitu pengeluaran rumah tangga. Two stage sampling : - tdk membutuhkan frame sampai usu (ultimate sampling unit) - psu (primary sampling unit) usu - tdk membutuhkan vbl bantu Two phase sampling : - membutuhkan frame sampai usu - psu = usu - lb murah dg memanfaatkan vbl bantu

N unit N unit unit unit sub unit unit Penarikan sampel dua fase akan lb baik apabila : - presisi lb baik dr presisi sampel satu tahap - presisi “melebihi” kenaikan biaya utk pengukuran vbl bantu N unit N unit (psu) frame psu frame usu unit unit pembuatan frame ssu pengukuran vbl bantu (psu) sub unit unit pengukuran vbl utama pengukuran vbl (ssu) Two stage sampling Two phase sampling

Contoh penarikan sampel dua fase utk = 20 , = 5 pemilihan fase pertama pemilihan fase ke dua

PENDUGA RATA-RATA DAN VARIANS DALAM STRATIFIED TWO PHASE SAMPLING

Terdapat 4 hal penting dalam rancangan ini :

Terdapat 4 hal penting dalam rancangan ini : Penduga variansnya :

2) Double sampling utk stratifikasi Stratified sampling  unit dlm populasi dibagi menjdi k strata, unit dlm strata homo- gin; rerata karaktristik antar strata, heterogin. Penimbang strata digunakan utk membuat penduga rerata dan total karakteristik populasi yg tidak bias. Apabila penimbang tdk diketahui  dpt menggunakan double sampling sebanyak unit secara SRSWOR, yg akan digunakan sbg penduga penimbang, kemudian mengam- bil subsampel sebanyak unit, dg sampel pd stratum ke – i, utk mengumpulkan informasi karakteristik yg diteliti, sdmkn rupa shg Misal proporsi unit pd stratum ke – i proporsi fsu pd stratum ke – i penduga rerata populasi dapat dituliskan rerata sampel pd studi variat utk stratum ke – i dg varian

utk populasi yg besar, utk alokasi proporsional, Penduga yg tidak bias dari varian di atas

3) Alokasi optimum Fungsi biaya utk double sampling dpt dituliskan biaya overhead (fixed cost) dan biaya per unit utk mengukur vbl bantu dan vbl studi

4) Double sampling utk penduga beda Penduga beda utk menduga memrlukan variabel bantu yg belum dikertahui. Vbl bantu tsb sangat diperlukan untuk meningkatkan presisi. Utk megatasi hal tsb dapat dilakukan dg double sampling. Sampel pendahuluan (SRSWOR) sebanyak diambil utk mengukur vbl bantu . Subsampel (SRSWOR) sebanyak diambil dari sampel pendahuluan tsb utk mengukur vbl . Penduga beda dapat dituliskan diketahui rerata subsampel utk rerata pada sampel pendahuluan merupakan penduga yg tidak bias dari dg varian Penduga yg tidak bias dari varian di atas :

Bila dilakukan pngambilan sampel secara langsung (tidak menggunakan double sampling), untuk biaya akan diperoleh dg varian Utk double sampling akan mempunyai presisi yg lebih baik dari SRSWOR bila

5) Double sampling utk penduga rasio Penduga rasio utk menduga memrlukan variabel bantu yg belum diketahui. Utk megatasi hal tsb dapat dilakukan dg double sampling. Sampel pendahuluan sebanyak diambil utk menduga . Subsampel sebanyak diambil dari sampel pendahuluan tsb utk mengukur vbl . Penduga rasio (bias) dapat dituliskan rerata dari dan yg diperoleh dari subsampel rerata dari yg diperoleh pada sampel pendahuluan dengan varian dan estimatornya Contoh aplikasi dengan angka  buku Singh halaman 278 - 283

6) Double sampling utk penduga regresi Penduga regresi utk menduga memrlukan variabel bantu yg belum dketahui. Utk mengatasi hal tsb dapat dilakukan dg double sampling. Sampel pendahuluan sebanyak diambil utk menduga . Subsampel sebanyak diambil dari sampel pendahuluan tsb utk mengukur vbl . Penduga regresi dapat dituliskan rerata dari dan yg diperoleh dari subsampel rerata dari yg diperoleh pada sampel pendahuluan penduga least square dari dengan varian dan estimatornya

7) Double sampling utk penduga pps Penduga pps utk menduga memrlukan variabel bantu yg belum dketahui. Utk mengatasi hal tsb dapat dilakukan dg double sampling. Sampel pendahuluan (SRSWOR) sebanyak diambil utk menduga . Subsampel sebanyak diambil dari sampel pendahuluan tsb (PPSDP) utk mengukur vbl . Penduga PPS (tidak bias) dapat dituliskan diperoleh dari subsampel diperoleh pada sampel pendahuluan dengan varian dan estimatornya