Peluang

tayangan ini anda dapat Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan permutasi, kombinasi dan peluang kejadian dari berbagai situasi

3. Permutasi Rumus: nPr = A. Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Prn atau nPr atau P(n, r)). adalah banyak cara menyusun r unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia, dg membedakan urutan. Rumus: nPr =

Contoh 1 Banyak cara menyusun pengurus yang terdiri dari Ketua, Sekretaris, dan Bendahara yang diambil dari 5 orang calon adalah….

Penyelesaian •banyak calon pengurus 5  n = 5 •banyak pengurus yang akan dipilih 3  r = 3 nPr = = 5P3 = = = 60 cara

Contoh 2 Banyak bilangan yang terdiri dari tiga angka yang dibentuk dari angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8, di mana setiap angka hanya boleh digunakan satu kali adalah….

Penyelesaian •banyak angka = 6  n = 6 •bilangan terdiri dari 3 angka nPr = = 6P3 = = = 120 cara

B. PERMUTASI BEBERAPA UNSUR SAMA Setiap unsur pada permutasi tidak boleh digunakan lebih dari satu kali, kecuali jika dinyatan khusus. Banyaknya permutasi dari n unsur yang memiliki k unsur yg sama, l unsur yang sama, … , m unsur yang sama (k + l + … + m ≤ n) diperoleh dengan rumus P =

Contoh 1 Banyak cara menyusun Huruf berbeda yang dapat dibuat dari kata “MATEMATIKA” adalah…. Jawab: Jumlah huruf = 10 Huruf yang sama adl: A = 3, M = 2, T = 2. Banyaknya susunan berbeda =

C. PERMUTASI SIKLIS Penentuan susunan melingkar dapat diperoleh dengan menetapkan satu obyek pada satu posisi, kemudian menentukan kemungkinan posisi obyek lain yang sisa, sehingga bila tersedia n unsur berbeda maka. Banyaknya permutasi silklis dari n unsur adalah Psiklis = (n – 1)! Contoh 1: Ada 6 orang dalam suatu pesta yang diakhiri dengan makan bersama dengan duduk melingkar mengelilingi meja bundar. Ada berapa cara mereka duduk melingkar tersebut.

Penyelesaian • jumlah yang duduk = n = 6 Banyaknya cara duduk melingkar adalah : (n – 1)! =(6 – 1)! = 5!= Contoh 2: 10 siswa duduk melingkar mengadakan rapat OSIS, ada berapa cara mereka duduk melingkar jika ketua, sekretaris dan bendahara harus selalu duduk berdampingan.

Kombinasi Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Crn atau nCr atau C(n, r) adalah banyak cara mengelompokan r unsur yang diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia (tidak membedakan urutan). Rumus: nCr =

Contoh 1 Dari 10 pemain bola basket akan di bentuk satu tim basket. Ada berapa cara tim yang dapat dibuat! Penyelesaian: Berarti tinggal memilih 5 pemain dari 10 pemain berarti n = 10, r = 5 10C5 =

Contoh 2 Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan . Banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa adalah….

Penyelesaian • mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan • berarti tinggal memilih 2 soal lagi dari soal nomor 5 sampai 8 • r = 2 dan n = 4 • 4C2 = 6 pilihan

Contoh 3 Dari sebuah kantong yang berisi 10 bola merah dan 8 bola putih akan diambil 6 bola sekaligus secara acak. Banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah….

Penyelesaian • mengambil 4 bola merah dari 10 bola merah  r = 4, n = 10  10C4 = = = = • mengambil 2 bola putih dari 8 bola putih  r = 2, n = 8  8C2 = = 3 7.3.10

• Jadi banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih = 7.4 • Jadi banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah 10C4 x 8C2 = 7.3.10 x 7.4 = 5880 cara 4

Peluang atau Probabilitas

Ruang Sampel dan Kejadian Perhatikan sekeping mata uang logam dengan sisi-sisi ANGKA dan GAMBAR 200 RUPIAH Bank Indonesia 2005 Bank Indonesia 2005 200 RUPIAH Sisi Angka (A) Sisi Gambar (G) Maka : Ruang Sampel (S) = { A , G } Banyaknya anggota S = n(S) = 2 Titik Sampel = A dan G Kejadian = 1. Kejadian muncul sisi Angka 2. Kejadian muncul sisi Gambar

Perhatikan pelemparan sebuah dadu bersisi enam Kemungkinan Muncul : Angka 1 Angka 2 Angka 3 Angka 4 Angka 5 Angka 6 Maka : Ruang Sampel (S) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Titik Sampel = 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, maka n(S) = 6 Kejadian = 1. Kejadian muncul sisi Angka 1 2. Kejadian muncul sisi Angka 2 3. Kejadian muncul sisi Angka 3 dst. sampai kejadian 6 Pertanyaan : Apa yang dimaksud Ruang Sampel dan Kejadian? Cek Jawaban Anda

Solusi : Ruang Sampel. :. Himpunan dari semua hasil yang mungkin Solusi : Ruang Sampel : Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan Kejadian : Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan dari ruang sampel Penilaian Proses I 1. Tentukan ruang sampel dan banyaknya anggota ruang sampel: a. Pada pelemparan sebuah dadu dan sekeping mata uang b. Pada pelemparan 3 mata uang 2. Tentukan X dan banyaknya anggota X: a. X yang menyatakan kejadian munculnya bilangan genap, pada percobaan pelemparan sebuah dadu b. X yang menyatakan kejadian munculnya mata uang angka dan gambar secara bersamaan, pada percobaan pelemparan 2 buah mata uang SOLUSI

Peluang atau Probabilitas Peluang atau nilai kemungkinan adalah perbandingan antara kejadian yang diharapkan muncul dengan banyaknya kejadian yang mungkin muncul (ruang sampel).

Bila banyak kejadian yang diharapkan muncul dinotasikan dengan n(A), dan banyaknya kejadian yang mungkin muncul (ruang sampel = S) dinotasikan dengan n(S) maka Peluang kejadian A ditulis P(A) = n(A) n(S)

Contoh 1 Penyelesaian: Peluang muncul muka dadu nomor 5 dari pelemparan sebuah dadu satu kali adalah…. Penyelesaian: n(5) = 1 dan n(S) = 6  yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Jadi P(5) = =

Contoh 2 Dalam sebuah kantong terdapat 4 kelereng merah dan 3 kelereng biru . Bila sebuah kelereng diambil dari dalam kantong maka peluang terambilnya kelereng merah adalah….

Penyelesaian: • Kejadian muncul kelereng merah ada 4  n(merah) = 4 • Kejadian yang mungkin muncul ada 7 ( 4 merah + 3 biru)  n(S) = 7 • Jadi peluang kelereng merah yang terambil adalah P(merah) =

Contoh 3 Dalam sebuah kantong terdapat 7 kelereng merah dan 3 kelereng biru . Bila tiga buah kelereng diambil sekaligus maka peluang terambilnya kelereng merah adalah….

Penyelesaian: • Banyak kelereng 10 (7 merah dan 3 biru) Banyak cara mengambil 3 dari 10 n(S)= 10C3  10C3 = = • Banyak cara mengambil 3 dari 7 (A) n(A)= 7C3 =

• Peluang mengambil 3 kelereng merah sekaligus adalah P(A) = 2

Komplemen Kejadian • Nilai suatu peluang antara 0 sampai dengan 1  0 ≤ p(A) ≤ 1 • P(A) = 0  kejadian yang tidak mungkin terjadi • P(A) = 1  kejadian yang pasti terjadi • P(A1) = 1 – P(A) A1 adalah komplemen A

Contoh 1 Sepasang suami istri mengikuti keluarga berencana. Mereka berharap mempunyai dua anak. Peluang paling sedikit mempunyai seorang anak laki-laki adalah ….

Penyelesaian: • kemungkinan pasangan anak yang akan dimiliki: 2L,1L1P, 2P (LL, LP, PL, PP)  n(S) = 4 • Peluang paling sedikit 1 laki-laki = 1 – peluang semua perempuan = 1 – = 1 –

Contoh 2 Dalam sebuah keranjang terdapat 50 buah salak, 10 diantaranya busuk. Diambil 5 buah salak. Peluang paling sedikit mendapat sebuah salak tidak busuk adalah…. b. c. d. e.

Penyelesaian: • banyak salak 50, 10 salak busuk • diambil 5 salak  r = 5 • n(S) = 50C5 • Peluang paling sedikit 1 salak tidak busuk = 1 – peluang semua salak busuk = 1 –  berarti jawabannya a

Peluang Kejadian Majemuk

Peluang Gabungan dua kejadian P(A UB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) S A B

Kejadian Saling Lepas Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas maka peluang kejadian A atau B adalah P(A atau B) = P(A) + P(B)

Contoh 1 Dari satu set kartu bridge (tanpa joker) akan diambil dua kartu satu persatu berturut-turut, kemudian kartu tersebut dikembalikan. Peluang terambilnya kartu as atau kartu king adalah….

Penyelesaian: • kartu bridge = 52  n(S) = 52 • kartu as = 4  n(as) = 4 • P(as) = • kartu king = 4  n(king) = 4 • P(king) = • P(as atau king) = P(as) + P(king) =

Contoh 2 Sebuah dompet berisi uang logam 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan rupiah.Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah….

Penyelesaian • dompet I: 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan P(dompet I,ratusan) = ½. = • dompet II: 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan. P(dompet II, ratusan) = ½. = • Jadi peluang mendapatkan uang logam ratusan rupiah P(ratusan) = + =

Kejadian Saling Bebas Kejadian A dan B saling bebas Jika keduanya tidak saling mempengaruhi P(A dan B) = P(A) x P(B)

Contoh 1 Anggota paduan suara suatu sekolah terdiri dari 12 putra dan 18 putri. Bila diambil dua anggota dari kelompok tersebut untuk mengikuti lomba perorangan maka peluang terpilihnya putra dan putri adalah….

Penyelesaian • banyak anggota putra 12 dan banyak anggota putri 18  n(S) = 12 + 18 = 30 • P(putra dan putri) = P(putra) x P(putri) = x = 2 3 5 5

Contoh 2 Peluang Amir lulus pada Ujian Nasional adalah 0,90. Sedangkan peluang Badu lulus pada Ujian Nasional 0,85. Peluang Amir lulus tetapi Badu tidak lulus pada ujian itu adalah….

Penyelesaian: • Amir lulus  P(AL) = 0,90 • Badu lulus  P(BL) = 0,85 • Badu tidak lulus  P(BTL) = 1 – 0,85 = 0,15 • P(AL tetapi BTL) = P(AL) x P(BTL) = 0,90 x 0,15 = 0,135

Contoh 3 Dari sebuah kantong berisi 6 kelereng merah dan 4 kelereng biru diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 kelereng merah dan 1 biru adalah….

Penyelesaian: • banyak kelereng merah = 6 dan biru = 4  jumlahnya = 10 • banyak cara mengambil 2 merah dari 6  r = 2 , n = 6  6C2 = = = 5.3 3

• banyak cara mengambil 1 biru dari 4 kelereng biru  r = 1, n = 4 • banyak cara mengambil 3 dari 10  n(S) = 10C3 = = = 12.10 4 12

• Peluang mengambil 2 kelereng merah dan 1 biru = = Jadi peluangnya = ½ n(A) n(S) 6C2. 1C4 10C3 5.3. 4 12.10

Contoh 4 Dari sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 3 bola putih di- ambil 2 bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya keduanya merah adalah….

Penyelesaian: • banyak bola merah = 5 dan putih = 3  jumlahnya = 8 • banyak cara mengambil 2 dari 5  5C2 = = = 10

Penyelesaian: • banyak cara mengambil 2 dari 8  8C2 = = = 28 • Peluang mengambil 2 bola merah sekaligus =

SELAMAT BELAJAR KEMBALI