HUBUNGAN Arus, Kecepatan, dan Kerapatan Kuliah Ke 3

Kecepatan, arus, dan kerapatan dari aliran lalu lintas dihubungkan dengan persamaan dasar sebagai berikut: Arus = kecepatan x kerapatan Model untuk menggambarkan hubungan kecepatan dan kerapatan : - Greenshield : linier - Greenberg : fungsi logaritmik - Underwood : fungsi eksponensial

METODA GREENSHIELDS

Basic Stream Flow Diagram

KETERANGAN qm= kapasitas, arus maksimum ( kendaraan/jam ) um = kecepatan kritis, kecepatan pada saat mencapai kapasitas ( km/jam ) km = kerapatan kritis, kerapatan pada saat mencapai kapasitas (kend/jam ) kj = kerapatan macet, keadaan untuk semua kendaraan berhenti ( kend/jam ) uf = kecepatan teoritis untuk lalu lintas ketika kerapatannya nol (km/jam )

Data arus dan kecepatan lalu lintas dikelompokkan dalam interval waktu 15 menit. Untuk data volume, tiap 15 menitan akan didapatkan nilai tunggal, sedangkan untuk data kecepatan terdapat banyak nilai kecepatan yang terjadi. Oleh karena itu untuk data kecepatan digunakan satu nilai yang dapat mewakili kecepatan yang terjadi selama 15 menitan tadi, digunakan kecepatan rata-rata ruang (us). Dengan cara ini akan diperoleh pasangan data antara kecepatan dan kerapatan. Kerapatan dapat dihitung dengan rumus dasar q = us.k sehingga k = q/us.

Nilai-nilai kecepatan dan kerapatan di gambarkan, kemudian dibuat garis lurus yang dapat mewakili seluruh titik yang ada. Pembuatan garis lurus tadi dilakukan dengan cara analisis regresi linier. Nilai kecepatan dan kerapatan merupakan 2 nilai variabel. Nilai kecepatan digunakan sebagai variabel yang tidak bebas, y sedangkan nilai kerapatan adalah sebagai variabel bebas, x. Persamaan umum hubungan antara kecepatan dan kerapatan dengan cara regresi linier ialah:

Dengan didapatkannya persamaan y = Ax + B maka hubungan antara kecepatan dan kerapatan dapat dirumuskan. Garis hasil persamaan ini akan memotong skala kecepatan pada uf dan memotong skala kerapatan pada kj. Oleh karena itu persamaan garis yang didapat tersebut ialah sebagai berikut :

Selanjutnya hubungan antara arus dengan kecepatan dicari dengan menggunakan persamaan dasar q = us.k Ganti persamaan di atas menjadi k = q/us kemudian masukkan nilai ini ke dalam persamaan hubungan antara kecepatan dan kerapatan, maka didapatkan persamaan

Dari persamaan ini dapat diketahui bahwa hubungan linier antara kecepatan dan kerapatan akhirnya menghasilkan persamaan parabola untuk hubungan antara arus dan kecepatan. Untuk mendapatkan persamaan hubungan antara arus dengan kecepatan, maka nilai us = q/k disubstitusikan ke dalam persamaan kecepatan-kerapatan, sehingga menghasilkan persamaan

Hasil penyelesaian ini berupa persamaan parabola Arus maksimum terjadi pada saat km = 1/2 kj dan um=1/2 uf. Dengan memasukkan nilai-nilai tersebut ke Persamaan di atas, arus maksimum dapat dihitung dengan Persamaan berikut:

Contoh uf = 70 km/jam kj = 150 kend/km qm = (uf * kj)/4 = (70*150)4 = 2625 kend/jam

Metoda Greenberg Hubungan antara us dan k bukan merupakan fungsi eksponensial, dan dinyatakansebagai berikut: c dan b adalah merupakan nilai konstan Apabila kedua bagian dinyatakan dalam bentuk logaritma naturalis, maka didapat

x = ln(k) maka y = Ax + B dengan Persamaan di atas merupakan analog dengan fungsi linier antara us dengan ln(k), sehingga apabila nilai y = us dan nilai x = ln(k) maka y = Ax + B dengan maka dan Oleh karena itu hubungan antara us dan k adalah: Selanjutnya hubungan antara q dan us didapat dari persamaan dasar k = c.eb.us dengan mensubsitusikan nilai k = q/us maka didapat persamaan :

dengan substitusi A = 1/b dan c = e-B/A didapat persamaan Persamaan selanjutnya adalah hubungan antara q dan k didapat dari persamaan dasar dengan subsitusi us = q/k maka didapat . Selanjutnya apabila kedua ruas dinyatakan dalam fungsi logaritma naturalis, maka didapat persamaan dengan substitusi A = 1/b dan c = e-B/A didapat persamaan

Metode Underwood Hubungan antara us dan k adalah merupakan fungsi logaritmik. Persamaan dasar yang digunakan adalah sbb: kc adalah kerapatan pada keadaan q maksimum Apabila kedua ruas dinyatakan dalam fungsi logaritma naturalis, maka didapatkan persamaan Persamaan ini analog dengan persamaan linier y = Ax + B dengan y = ln(us) dan x = k, maka atau atau

Hubungan antara q dan k didapat dari persamaan dasar us = uf Hubungan antara q dan k didapat dari persamaan dasar us = uf.e-k/kc dengan substitusi us = q/k sehingga didapat Selanjutnya dengan mengganti uf = eB dan kc = -(1/A) didapat Hubungan antara q dan us didapat dari persamaan dasar us = uf.e-k/kc dengan substitusi k= q/us

Apabila kedua ruas dinyatakan dalam fungsi logaritma naturalis, maka diperoleh persamaan atau q = - us. kc. ln(us) + us. kc. ln(uf) dengan substitusi kc = 1/A dan ln(uf) = B didapat persamaan Kondisi Arus-kecepatan-kerapatan berubah terhadap ruang dan waktu. Jika perubahan kondisi ini terjadi akan terdapat suatu batas, ini menandakan daerah waktu-ruang dari kondisi arus yang satu terhadap yang lain. Batas ini disebut sebagai gelombang kejut.

HUBUNGAN ARUS, KECEPATAN, DAN KERAPATAN GELOMBANG KEJUT

Kondisi Arus-kecepatan-kerapatan berubah terhadap ruang dan waktu Kondisi Arus-kecepatan-kerapatan berubah terhadap ruang dan waktu. Jika perubahan kondisi ini terjadi akan terdapat suatu batas, yang menandakan daerah waktu-ruang dari kondisi arus yang satu terhadap yang lain. Batas ini disebut sebagai gelombang kejut. DEFINISI: Gelombang kejut dapat digambarkan sebagai gerakan pada arus lalu lintas akibat adanya perubahan nilai kerapatan dan arus lalu lintas

CONTOH (1) Perilaku lalu lintas pada saat memasuki jalan menyempit, sehingga akan memblokir ruas jalan pada daerah penyempitan. Pada daerah penyempitan, kendaraan dipaksa untuk mengurangi kecepatannya. Apabila arus dan kerapatan relatif tinggi, titik pada saat kendaraan harus mengurangi kecepatannya ditandai dengan nyala sinyal rem, dan titik tersebut akan bergerak ke arah datangnya lalu lintas. Gerakan dari titik dimana sinyal rem menyala, relatif terhadap jalan adalah gerakan dari gelombang kejut.

Analisis Dasar Gelombang Kejut

Dua keadaan kerapatan yang jelas berbeda dari suatu arus lalu lintas, yaitu kA dan kB bergerak sepanjang ruas jalan yang dipisahkan oleh garis S yang mempunyai kecepatan . Kecepatan  mempunyai nilai positif apabila kecepatan tersebut bergerak searah dengan pergerakan arus lalu lintas

Contoh Sederhana Fenomena Gelombang Kejut di Persimpangan Bersinyal

Fenomena Gelombang Kejut di Leher Botol Jalan Bebas Hambatan

Permintaan diasumsikan sebagai ekivalensi 1,5; 2,5; 2,0; dan 2,5 kapasitas lajur (kapasitas leher botol adalah 2 lajur). Selama periode pertama pada saat permintaan ekivalen dengan 1,5 kapasitas lajur, tidak akan terjadi gelombang kejut (kerapatan 60 kend/mil- lajur atau 37,5 kend/km-lajur). Meskipun demikian dengan meningkatnya permintaan sampai 2,5 kapasitas lajur, gelombang kejut bentukan mundur akan terjadi dengan kecepatan gelombang kejut tetap. Pada saat permintaan berkurang sampai 2 lajur kapasitas, kendaraan masuk sama dengan keluar dan menyebabkan terjadi gelombang kejut diam depan.

Pada saat permintaan berkurang sampai 2 lajur kapasitas, kendaraan masuk sama dengan keluar dan menyebabkan terjadi gelombang kejut diam depan. Dengan berkurangnya permintaan sampai 1,5 lajur kapasitas, panjang daerah macet berkurang seperti ditunjukkan oleh gelombang kejut pemulihan maju. Gelombang kejut diam muka terjadi di leher botol selama leher botol beroperasi pada kapasitas. Pertemuan antara gelombang kejut diam muka dan pemulihan maju menyatakan akhir dari periode macet. Dalam hal ini diasumsikan bahwa permintaan bervariasi terhadap waktu, kapasitas tetap, dan hanya ada satu hambatan tunggal dan tanpa kendaraan masuk/keluar dari daerah macet.

Klasifikasi Gelombang Kejut

KLASIFIKASI GELOMBANG KEJUT Gelombang kejut diam depan (frontal stationary) Gelombang kejut bentukan mundur (backward forming) Gelombang kejut pemulihan maju (forward recovery) Gelombang kejut diam belakang (rear stationary) Gelombang kejut pemulihan mundur (backward recovery) Gelombang kejut bentukan maju (forward forming)

KETERANGAN ISTILAH Depan mempunyai implikasi bahwa ini adalah bagian terdepan (pinggir ke arah hilir) dari daerah kemacetan dengan kerapatan yang lebih rendah ke arah hilir dan lebih tinggi ke arah hulu. Diam berarti bahwa gelombang kejut terjadi pada lokasi tersebut dan hal ini tidak akan berpindah lokasinya dengan berubahnya waktu. Mundur berarti bahwa dengan berjalannya waktu, gelombang kejut akan bergerak ke belakang (ke arah hulu atau ke arah yang berlawanan dengan arah gerakan lalu lintas). Bentukan mempunyai implikasi bahwa dengan berjalannya waktu, kemacetan akan semakin meningkat dan berkembang ke arah hulu. Waktu dan ruang daerah asal ke kiri dari gelombang kejut mempunyai kerapatan yang lebih rendah dan ke kanan kerapatannya lebih tinggi.

KETERANGAN ISTILAH Maju berarti bahwa selama berlangsungnya waktu, gelombang kejut bergerak ke depan ( ke arah hilir atau ke arah yang sama dengan arah gerakan lalu lintas). Pemulihan mempunyai implikasi bahwa selama berlangsungnya waktu terdapat kondisi arus lalu lintas bebas (free-flow) pada daerah yang semakin jauh ke arah hilir. Waktu-ruang ke kiri dari gelombang kejut mempunyai kerapatan yang lebih tinggi dan ke kanan mempunyai kerapatan yang lebih rendah. Belakang mempunyai implikasi bahwa ini adalah bagian paling belakang atau pinggir ke arah hulu dari daerah kemacetan. Kerapatan lebih tinggi ke arah hilir dan lebih rendah ke arah hulu. Istilah diam berarti bahwa gelombang tidak berpindah lokasinya selama periode waktu tertentu.

Analisis Dasar Gelombang Kejut

Persamaan Gelombang Kejut Pada batas gelombang kejut, jumlah kendaraan meninggalkan kondisi arus B (NB) harus tepat sama dengan jumlah kendaraan masuk kondisi arus A (NA) karena tidak ada kendaraan yang dihilangkan maupun yang ditambahkan. Kecepatan kendaraan pada kondisi arus tepat dibagian hulu dari batas gelombang kejut relatif terhadap kecepatan gelombang kejut adalah (uB - AB). Kecepatan kendaraan pada kondisi arus A, tepat dibagian hilir dari batas gelombang kejut relatif terhadap kecepatan gelombang kejut, adalah (uA - AB). Karena itu, NB dan NA dapat dihitung sbb:

Contoh 2 : Gelombang Kejut di Jalur Pejalan Kaki

Gelombang Kejut di Persimpangan Bersinyal

Contoh 4 : Gelombang Kejut di Ruas Jalan

No FLOW SPEED 1 240 57 21 600 53 41 1200 56 61 52 81 2400 50 101 1680 2 360 55 22 960 42 1440 54 62 1800 82 1080 102 3 480 23 43 58 63 1560 83 2040 103 59 4 24 44 64 84 104 5 840 25 45 65 51 85 105 6 26 46 66 86 106 7 27 47 67 87 107 48 8 28 68 1320 88 108 9 60 29 49 69 2280 89 109 10 30 70 90 110 11 31 71 91 111 12 32 72 92 112 13 33 73 1920 93 113 14 34 720 74 94 114 15 35 2520 75 95 115 16 36 76 96 116 17 37 77 97 117 18 38 78 98 118 19 39 79 99 119 20 40 80 100 120

Jenis Kendaraan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Sedan, dll Angkot Bis Mikro Bis Pick Up Truk 2 as Truk 3 as Truk 4 as Trailler Sepeda UM   4 roda 6 roda Motor Ruas Cihampelas Pagi Arah: utara selatan waktu Total 07,00-07,15 157 122 16 315 620 07,15-07,30 397 294 25 42 312 1072 07,30-07,45 325 252 29 420 1035 07,45-08,00 327 262 32 373 1008 08,00-08,15 266 183 13 14 310 794 08,15-08,30 164 18 305 769 08,30-08,45 308 212 296 845 08,45-09,00 243 222 282 774 Sore 16,00-16,15 348 245 21 20 490 15 1151 16,15-16,30 249 219 31 949 16,30-16,45 298 246 23 427 1020 16,45-17,00 180 22 425 992 17,00-17,15 131 26 871 17,15-17,30 393 218 27 480 1125 17,30-17,45 341 40 473 910 17,45-18,00 372 231 33 493 1149

No. FLOW (smp/jam) SPEED (km/jam) DENSITY (smp/km) 1 240 57 2 360 55 3 480 4 1080 56 5 840 54 6 600 7 61 8 53 9 60 10 11 12 13 14 1440 15 720 16 17 1560 18 19 52 20 21 22 960 23 24 25 26 27 28 29 30

No. FLOW (smp/jam) SPEED (km/jam) DENSITY (smp/km) 1 240 57 2 360 55 3 480 4 1080 56 5 840 54 6 600 7 61 8 53 9 60 10 11 12 13 14 1440 15 720

No. FLOW (smp/jam) SPEED (km/jam) DENSITY (smp/km) 16 1440 55 17 1560 57 18 240 53 19 1080 52 20 480 21 600 22 960 23 24 56 25 360 26 27 28 29 30