METODE CLAPEYRON (METODE PERS. TIGA MOMEN) Tujuan umum: Mahasiswa mampu menerapkan metode clapeyron dalam analisastruktur balok statis tak tentu INyoman Merdana, ST, MT Jurusan Teknik Sipil. Fak. Teknik Universitas Mataram

Metode CLAPEYRON Metode ini diusulkan oleh org yg bernama Clapeyron (1857) dan dikembangkan Lbh lanjut oleh Mohr (1860) IAB=I1 IAB=I2 L1 L2 B C’ A A’ A1 C C1 hc hA Balok dua bentang yg bersebalan A2 A1 a1 Diagram akibat beban luar A4 A5 A3 A6 L1/3 L2/3 MB MC MA Diagram M akibat momen ujung MA, MB & MC Metode Clapeyron

Penurunan rms CLAPEYRON …(1) Hub. antara MA, MB dan MC dpt diperoleh dari kondisi keselarasan utk blk yg menerus/kontinyu di titik B Grs singgung kurva elastis BC’ di ttk B terletak pd satu grs Lrs dgn grs singgung kurva elastis BA’ di B Kedua grs singgung di B pd kurva elastis di kedua sisi B satu thd lain hrs ttp membentuk grs lurus (sdt 180) Karena A1BC1 hrs berupa grs lurus maka: …(C.1) Dimana AA1=hA-A1A’ Metode Clapeyron

Penurunan rms CLAPEYRON …(2) dan Metode Clapeyron

Penurunan rms CLAPEYRON …(3) Pers (C.2) dan (C.3) disubstitusikan ke pers (C.1) maka diperoleh pers. Tiga Momen (Clapeyron) Metode Clapeyron

Pers. Umum “CLAPEYRON” ..…(C.4) Pers. Clapeyron didptkan dgn mengalikan (6E) kpd setiap/semua suku pada pers (C.4) diatas. ..…(C.5) …(inilah pers. yg dikenal dgn nama “Pers Tiga momen/Clapeyron”) Metode Clapeyron

Contoh Soal 1; Contoh berikut ini penerapan pers Clapeyron utk meng-gbr diagram M&D akibat bbn luar tanpa disertai penurunan tumpuan A B C D 3Ic 10Ic 2Ic 4m 6m 12m 1,5m E 2m q1 q2 P1 P2 P3 Data2: E=konstan; P1=80kN; P2=72kN P3=24kN; q1=24kN/m; q2=16kN/m Gambarkan Diagram M&D utk balok diatas Metode Clapeyron

Gbr Diagram M; Simple beam C D 3Ic 10Ic 2Ic 4m 6m 12m 1,5m E 2m q2 q1 P1 P2 P3 Data2: P1=80kN P2=72kN P3=24kN q1=24kN/m q2=16kN/m A1 A3 A2 A4 48x2 =96kNm 1/8x16x122 =288kNm 1/8x24x62 =108kNm 80x12/4 =240kNm Diagram M akibat bbn luar A5 A6 A7 A8 A9 Diagram M akibat M ujung (215,9) (146,6) 36 MA=0 kN.m MD=-24x1,5=36kN.m Metode Clapeyron

Penerapan CLAPEYRON pd tiap bentang Terapkan pers. Clapeyron pd bentang AB & BC: 2MB(3,2) + 1,2MC = -1555,2 …(a) →MA=0 kNm (sendi) Terapkan pers. Clapeyron pd bentang BC & CD: 1,2MB + 8,4MC = -1495,2 …(b) →MD=-36kNm (jepit) Metode Clapeyron

Penyelesaian pers. Simultan Tentukan MB dan MC dgn menyelesaikan pers (a) & (b) tadi: 6,4MB + 1,2MC = -1555,2 1,2MB + 8,4MC = -1495,2 →[M]=[A]-1[C] Det [A]=(6,4x8,4)-(1,2x1,2)=52,32 Metode Clapeyron

Momen MB & MC →[M]=[A]-1[C] Jadi MA=0 kN.m MB=-215,997 kN.m MC=-146,644kN.m dan MD=-36 kN.m selanjutnya buat diagram D dan M Metode Clapeyron

Free body Diagram Jadi : RA=36kN; RB=249,8kN RC=196,6kN; RD=29,6kN 16x12/2 215,997 146,64 80/2 96 40 215,9/12 18 146,6/12 12,2 141,8 130,2 80kN 16kN/m 24x6/2 A B 215,997 215,9/6 36 108 72 24kN/m C D 146,64 36 72x4/6 146,6/6 24 36/6 6 66,441 72kN 36 24 E 24,44 5,559 RB=249,8kN RC=196,6kN RD=29,6kN RA=36kN Jadi : RA=36kN; RB=249,8kN RC=196,6kN; RD=29,6kN ∑V=0; (24x6+16x12+80+72+24)=36+249,8+196,6+29,6 Oke! (setimbang ) Metode Clapeyron

Momen Maksimum Bentang AB Mx=RA(x)-½q1(x)2 →Dx=RA-q1(x)=0 x=RA/q=36/24=1,5m dari titik A Mmak=36x(1,5)-½(24)(1,5)2=27kN.m Bentang BC: Mmak terjadi di bwh beban P=80kN Mx=RBC(6)-½q2(6)2-215,997=346,8kN.m Mmak=141,8x(6)-½(16)(6)2-216=346,8kN.m Bentang CD: MG=RCD(2)-MCD=-13,8kN.m dan MD=-(24)x1,5=-36kNm Metode Clapeyron

Grs Elastis bentang AB Sudut rotasi bentang AB: Searah jrm jam Metode Clapeyron

Grs Elastis bentang BC Sudut rotasi bentang BC: (72kNm3) Searah jrm jam Berlawanan arah jrm jam Metode Clapeyron

Grs Elastis bentang BC Sudut rotasi bentang CD: Lihat slide no 8 Metode Clapeyron

Diagram M, D & kurva Grs elastis B C D 3Ic 10Ic 2Ic 4m 6m 12m 1,5m E 2m q1 q2 P1 P2 P3 346,8 36 146,6 216 27 (-) (+) 13,8 Diagram M (kN.m) 36 108 141,8 130,2 66,4 5,6 24 (+) (-) 45 35 Diagram D (kN) θA θB θC θD Kurva Grs Elastis Metode Clapeyron

Contoh Soal Metode Clapeyron (Penurunan Tumpuan) E=200x106 kN/m2 I=400x10-6 m4 B’ A B C D 3EI 10EI 2EI 6m 12m d Suatu balok menerus spt gbr diatas. Tumpuan B mengalami penurunan d=15mm relatif terhadap tumpuan yg lain. Buat diagram Momen dari balok itu bila tumpuan balok tadi turun tanpa disertai dgn beban luar yg bekerja Metode Clapeyron

Pers. Clapeyron Gunakan Pers. Tiga Momen (Clapeyron) Bila tdk ada bbn luar maka: Perhatikan bhw hA dan hc masing2 sebenarnya adl. besaran yg menunjukkan bhw tumpuan A dan C relatif lebih tinggi dari B Metode Clapeyron

Pers. Clapeyron bentang BC-CD Terapkan pers. Clapeyron pd bentang AB-BC: Terapkan pers. Clapeyron pd bentang BC-CD: Metode Clapeyron

Momen MB dan MC Tumpuan A dan D adl. SENDI maka MA=MD=0; dan EI=80.000 kN.m 6,4MB+1,2MC=+1800 1,2MB+8,4MC=-600 Selesaikan pers. Simultan diatas utk peroleh MB dan MC Det [A]=52,32 Jadi MB=+303,6kN.m dan MC=-114,6kN.m Metode Clapeyron

Free body diagram MBA MBC MCB MCD RAB=MBA/L1=50,6 kN (↑) (MBC+MBC)/L2 RCB MBC MCB C D MCD/L3 RDC MCD RAB=MBA/L1=50,6 kN (↑) RA=RAB=50,6kN (↑) RB=RBA+RBC=85,45kN (↓) RBA=MBA/L1=50,6 kN (↓) RC= RCB +RCD=53,95kN (↑) RBC=(MBC+MCB)/L2=34,85kN (↓) RD=RDC=19,1kN (↓) RCB=(MBC+MCB)/L2=34,85kN (↑) RCD=MCD/L3=19,1kN (↑) ∑V=0; RA-RB+RC-RD=0kN RDC=MCD/L3=19,1kN (↓) 50,6-85,45+53,95-19,1=0 Metode Clapeyron

Diagram M & D Diagram Gaya Geser (kN) Diagram Momen (kN.m) B C D AV BV CV DV 19,1 34,85 50,6 (+) (-) Diagram Gaya Geser (kN) (+) (-) 303,6 114,6 Diagram Momen (kN.m) Kurva Grs Elastis Metode Clapeyron

Soal latihan 1 Kerjakan soal dibawah ini sbg latihan: Diagram M (kN.m) Buat diagram M,D dan Grs Elastis bila: P1=1kN P2=2P1 q=1kN/m E=konstan A B C D 2m L1=6m L2=6m 3m 2Ic 4Ic 3Ic P2 P1 E F (-) (+) 1,965 2 2,139 1,93 2,45 Diagram M (kN.m) (-) (+) 0,644 1,357 2,971 3,029 1 0,0058 Diagram D (kN) Metode Clapeyron

Soal latihan 2 Buat gambar diagram Momen dan Gaya geser dgn metode CLAPEYRON bila kekakuan lentur EI adl sama sepanjang bentang (gunakan D=20mm, Ic=5,4x105 cm4, E=20x106kN/m2 bila PERLU) A B C D P 3m 1m (Ic) (3) B’ 20mm A C B P=65kN 6m 9m (Ic) D (4) B’ A B C D P 3m 1m (Ic) (1) A C D B P 3m 1m (Ic) (2) B’ A C B P=65kN 6m 9m (Ic) D (2) Metode Clapeyron

KASUS BALOK menerus DENGAN TUMPUAN JEPIT METODE CLAPEYRON KASUS BALOK menerus DENGAN TUMPUAN JEPIT Metode Clapeyron

Blk menerus dgn Tump Jepit Contoh berikut ini adl. penerapan pers Clapeyron utk blk menerus dgn tumpuan JEPIT akibat bbn luar tanpa disertai penurunan pd tumpuan A B C D 3Ic 10Ic 2Ic 4m 6m 12m 1,5m E 2m q1 q2 P1 P2 P3 Data2: E=konstan; P1=80kN; P2=72kN P3=24kN; q1=24kN/m; q2=16kN/m Gambarkan Diagram M&D utk balok diatas Metode Clapeyron

Gbr Diagram M; Simple beam C D 3Ic 10Ic 2Ic 4m 6m 12m 1,5m E 2m q2 q1 P1 P2 P3 Data2: P1=80kN P2=72kN P3=24kN q1=24kN/m q2=16kN/m Ic=~ Ao Lo A1 A3 A2 A4 48x2 =96kNm 1/8x16x122 =288kNm 1/8x24x62 =108kNm 80x12/4 =240kNm Diagram M akibat bbn luar 36 A5 A7 A8 A9 A10 Diagram M akibat M ujung A6 MA≠0 kN.m MD=-24x1,5=-36kN.m Metode Clapeyron

Pers. Clapeyron utk Bentang AoA & AB Terapkan pers. Clapeyron pd bentang Ao-A dan AB: …(1) Metode Clapeyron

Pers. Clapeyron utk Bentang AoA & AB Terapkan pers. Clapeyron pd bentang AB dan BC: …(2) Metode Clapeyron

Pers. Clapeyron utk Bentang BC & CD Terapkan pers. Clapeyron pd bentang BC dan CD: …(3) Metode Clapeyron

Persamaan Simultan Selesaikan pers (1-3) secara simultan: 4MA+2MB + 0MC=-432 …(1) 2MA+6,4MB+1,2MC=-1555,2 …(2) 0MA+1,2MB+8,4MC=-1495,2 …(3) →[M]=[A]-1[C] Selesaikan persamaan diatas secara simultan utk peroleh MA, MB dan MC Metode Clapeyron

Momen tumpuan MA,MB & MC Dgn bantuan spreadsheet Excell dihitung [A]-1 sbb: Momen yg terjadi adl. Sbb: Selanjutnya buat Free body diagram, Diagram M&D serta Grs Elastis dgn langkah spt pd contoh no 1 terdahulu Metode Clapeyron

Diagram M, D & kurva Grs elastis B C D 3Ic 10Ic 2Ic 4m 6m 12m 1,5m E 2m q1 q2 P1 P2 P3 346,74 215,28 26,90 36 147,25 (-) (+) 14,64 0,361 Diagram M (kN.m) 36,18 107,82 141,67 130,33 66,54 5,46 24 (+) (-) 45,67 34,33 Diagram D (kN) θB Kurva Grs Elastis θD θC θA=0 Metode Clapeyron

Cara menghitung INVERS dgn Excell Tuliskan / input matrik [A] di halaman spreadsheet yg ada (misalnya cell A1:C3) Tempatkan kursor pd cell A5, pilih menu “FORMULA”, “INSERT-FUNCTION”, dan pilih “MINVERSE”, masukkan cell A1:C3 sbg “ARRAY”, PILIH “OKE”; (selanjutnya pd cell A5 berisi nilai 0,297814) Blok/Sorot cell A5:C7, tekan “F2”, dan terakhir tekan CTRL-SHIFT-ENTER” secara bersamaan (→akan terbentuk matrik pd cell A5:C7, semua angka ini adl invers dari matrik [A] ) Utk meyakinkan, periksa hasil tadi dgn rumus: [A]x[A]-1=[I] Metode Clapeyron

QUIS 1; METODE CLAPEYRON B C D L1=6m L2=6m 2m 2Ic 4Ic 3Ic P E L3=6m F q Quis 1 Mektek III Tgl : 05 Maret 2012 Waktu : 100’ (09:30-11:10) Sifat : Open book(s) Gambarlah diagram M dan D bila diketahui: P1=Nomor mhs, 3 digit terakhir (kN) q= 2P1 (kN/m) E=konstan Metode Clapeyron

QUIS 1 SUSULAN; METODE CLAPEYRON Quis susulan khusus utk Mhs peserta KKN Quis Mektek III Tgl : 21 Maret 2012 Waktu : 100’ (09:30-11:10) Sifat : Open book(s) A B C D L1=6m L2=6m 2m 2Ic 4Ic 3Ic P E L3=6m F q B’ Gambarlah diagram M dan D bila diketahui: 1) Tumpuan B mengalami penurunan D=20mm relatif thd tumpuan lainnya. 2) P1=Nomor mhs; 3 digit terakhir (kN) q= 2P1 (kN/m), E=konstan Metode Clapeyron