4. BILANGAN ACAK dan Pembangkitannya 4.1. Pengantar Bilangan Acak Bilangan acak merupakan suatu besaran dasar dalam modeling dan teknik-teknik simulasi. Pada modeling dan simulasi banyak sekali memanfaatkan bilangan acak sebagai besaran untuk mendapatkan penyelesaian suatu permasalahan simulasi. Untuk mendapatkan bilangan yang benar-benar acak, secara manual dapat dilakukan dengan menggunakan undian, arisan, atau pemakaian mesin roullete. Tetapi secara komputasi, hal ini sulit dilakukan. Hal ini disebabkan bahwa komputer merupakan mesin deterministik, sedangkan bilangan acak muncul sebagai kejadian yang probabilistic. Satu-satunya cara untuk mendapatkan bilangan acak adalah dengan meng-gunakan pseudo random generator (pembangkit bilangan acak semu), dimana bilangan acak diperoleh secara deterministik (aritmatik). Berbagai metode untuk membangkitkan bilangan acak banyak dibahas, dalam modul ini hanya dibahas beberapa macam metode saja, - LCM (linear Congruent Method), - Suffle Method, d - Rejection Method.

4.2. Metode Linear Congruent (LCM) 4.2. Metode Linear Congruent (LCM) Metode Linear Congruent ini sangat banyak digunakan untuk membangkitkan bilangan acak r1, r2, …, rn yang bernilai [0,m] dengan memanfaatkan nilai sebelumnya. Untuk membangkitkan bilangan acak ke n+1 (rn+1) dengan metode Linear Congruent, didefinisikan: dimana a,c dan m dinamakan nilai pembangkit, r0 dinamakan nilai awal, biasanya nilai ini yang di-gunakan dalam proses randomize (mengacak di awal atau state awal). Contoh 4.1. Misalkan ditentukan a=4, c=1 dan r1=3, maka bilangan acak 0 s/d 8 (m=9) dapat dihitung: r2=((4)(3)+1) mod 9 = 4 r3=((4)(4)+1) mod 9 = 8 r4=((4)(8)+1) mod 9 = 6 dan seterusnya.

4.2. Metode Linear Congruent (LCM) 4.2. Metode Linear Congruent (LCM) Algoritma dari metode Linear Congruent ini Masukkan a, c, m dan r1 Masukkan berapa bilangan acak yang akan dibangkitkan (n) Untuk i=1 s/d n : hitung r(i+1)=(a.r(i)+c) mod m Implementasi dari metode Linear Congruet ini dengan MATLAB adalah sebagai berikut: % Mendefinisikan nilai pembangkit a=4; c=1; m=9; % Mendefinisikan nilai state awal r(1)=3; %Proses pembangkitan 20 bilangan acak for k=1:20 r(k+1)=mod(a*r(k)+c,m); end %Menampilkan bilangan acak disp(r)

4.2. Metode Linear Congruent (LCM) 4.2. Metode Linear Congruent (LCM) Simpan program ini ke dalam file acak.m. Untuk menampilkan hasil bilangan acak dapat dituliskan nama variabelnya yaitu r: Coba tampilkan hasilnya, seperti contoh berikut: >> acak Columns 1 through 8 3 4 8 6 7 2 0 1 Columns 9 through 16 5 3 4 8 6 7 2 0 Columns 17 through 21 1 5 3 4 8 Perhatikan bahwa bilangan yang dihasilkan akan berulang setiap 9 bilangan, sehingga dapat dikatakan bahawa hasilnya tidak benar-benar acak! Disinilah menariknya mem-pelajari pembangkitan bilangan acak, yaitu mengubah mesin aritmatik menjadi mesin acak. Salah satu cara adalah dengan mengubah nilai pembangkitnya, misalkan dengan nilai pembangkit (a,c,m,r1) = (51,1,256,10)

4.2. Metode Linear Congruent (LCM) 4.2. Metode Linear Congruent (LCM) Untuk menganti nilai pembangkit, ubah nilai a,c, m dan r(1). Misalkan ubah dengan nilai (a,c,m,r1) = (327,1,512,11), maka ubah empat baris teratas dari program di atas yang tertulis: % Mendefinisikan nilai pembangkit a=4; c=1; m=9; % Mendefinisikan nilai state awal r(1)=3; menjadi a=327; c=1; m=512; r(1)=11; Perhatikan bagaimana hasilnya. Bila program ini dijalankan hasilnya akan menjadi: >> acak Columns 1 through 8 11 14 483 246 59 350 275 326 Columns 9 through 16 107 174 67 406 155 510 371 486 Columns 17 through 21 203 334 163 54 251 Terlihat sampai 21 bilangan belum terdapat pengulangan.

4.2. Metode Linear Congruent (LCM) 4.2. Metode Linear Congruent (LCM) Tugas 4.1. Dengan menggunakan program ini dapatkan sampai berapa bilangan angka 11 muncul lagi. Contoh 4.3. Jalankan program acak.m berkali-kali, perhatikan hasilnya akan sama. Bila dijalankan lagi hasilnya akan: >> acak Columns 1 through 8 11 14 483 246 59 350 275 326 Columns 9 through 16 107 174 67 406 155 510 371 486 Columns 17 through 21 203 334 163 54 251 Hasil ini sama dengan hasil sebelumnya Program acak.m di atas ubah nilai r(1) dengan : t=fix(clock); r(1)=floor(mod(t(6),m)); di baris paling atas. Fungsi fix dan floor adalah fungsi pem-bulatan digunakan untuk menjamin bilangan yang dihasilkan selalu bilangan bulat, dan fungsi mod adalah fungsi sisa pembagian yang digunakan untuk menjamin bilangan yang dihasilkan selalu lebih kecil dari m.

4.2. Metode Linear Congruent (LCM) 4.2. Metode Linear Congruent (LCM) Hasil dijalankan pertama: >> acak Columns 1 through 7 47 10 199 50 479 474 375 Columns 8 through 14 258 399 426 39 466 319 378 Columns 15 through 21 215 162 239 330 391 370 159 Hasil dijalankan kedua: 24 169 480 289 296 25 496 401 56 393 0 1 328 249 16 113 88 105 32 225 360 Perhatikan hasilnya tidak pernah sama karena r(1) merupakan pengambilan nilai 1 ms.

4.2. Metode Linear Congruent (LCM) 4.2. Metode Linear Congruent (LCM) Contoh 4.4. Membangkitkan 20 bilangan acak 0 s/d 1dengan menggunakan fungsi standard dari MATLAB % Mendefinisikan state awal menggunakan waktu t=fix(clock) srand(t(6)) % Membangkitkan 20 bilangan acak % dilakukan dengan ukuran 1 baris 20 kolom x=rand(1,20) % Menampilkan bilangan acak disp(x) Simpan dengan nama file acak1.m, kemudian jalankan dengan menuliskan acak1. Hasil dari setiap komputer tidak akan sama.

4.2. Metode Linear Congruent (LCM) 4.2. Metode Linear Congruent (LCM) Contoh 4.5. Membangkitkan 20 bilangan acak 0 s/d 1 menggunakan LCM dengan nilai pembangkat (a,c,m) = (327,1,512) dan r1 adalah state awal yang dibangkitkan berdasarkan wkatu. % Mendefinisikan nilai pembangkit a=327; c=1; m=512; % Mendefinisikan nilai state awal t=fix(clock) r(1)=mod(t(6),m); %Proses pembangkitan 20 bilangan acak for k=1:19 r(k+1)=mod(a*r(k)+c,m); end r=r/m; %Menampilkan bilangan acak disp(r) Simpan dengan nama file acak2.m

4.2. Metode Linear Congruent (LCM) Tugas 4.2. Jalankan kedua program di atas (acak1.m dan acak2.m) dengan terlebih dahulu mengubah jumlah bilangan acaknya dengan 1000 bilangan acak, kemudian tuliskan perintah untuk menghitung histogram dari masing-masing bilangan acak sebagai berikut: h1=hist(x,10); h2=hist(r,10); Untuk menggambar histogramnya sebagai berikut: subplot(1,2,1), plot(h1), grid subplot(1,2,2), plot(h2), grid Perhatikan kemunculan setiap kejadian (range angka 0.1) dan apa yang berbeda. Untuk menjelaskan perbedaan bisa digunakan perhitungan statistik untuk: Menghitung ekspektasi dari kedua bilangan acak tersebut. Menghitung pengujian interval dari kedua distribusi di atas dengan menganggap salah satu sebagai nilai acuan.

Bangkitkan n bilangan acak ai [0,1] dengan LCM 4.3. Metode Shuffle Untuk Memperbaiki Bilangan Acak Untuk memperbaiki hasil distribusi bilangan acak yang dibangkitkan dengan metode linear congruent agar seakan-akan tidak berulang, dapat digunakan metode suffle, yaitu mengganti kedudukan bilangan acak berdasarkan indeks pada barisan bilangan acaknya. Algoritma metode suffle ini adalah: Bangkitkan n bilangan acak ai [0,1] dengan LCM Bangkitkan bilangan acak baru b [0,1] dengan LCM Hitung k = n  b Hitung r = ak Hitung ak = b Ambil nilai r sebagai sebagai bilangan acak baru dan ulangi langkah 2. Kedua macam metode pembangkitan bilangan acak di atas (LCM dan Suffle) akan menghasilkan bilangan acak dengan distribusi uniform, dalam arti banyak kemungkinan munculnya setiap bilangan adalah sama. Berikut ini akan dibahas bagaimana membangkitkan bilangan acak dengan distribusi tertentu.

4.3. Metode Shuffle Untuk Memperbaiki Bilangan Acak Tugas 4.2. Jalankan kedua program di atas (acak1.m dan acak2.m) dengan terlebih dahulu mengubah jumlah bilangan acaknya dengan 1000 bilangan acak, kemudian tuliskan perintah untuk menghitung histogram dari masing-masing bilangan acak sebagai berikut: h1=hist(x,10); h2=hist(r,10); Untuk menggambar histogramnya sebagai berikut: subplot(1,2,1), plot(h1), grid subplot(1,2,2), plot(h2), grid Perhatikan kemunculan setiap kejadian (range angka 0.1) dan apa yang berbeda. Untuk menjelaskan perbedaan bisa digunakan perhitungan statistik untuk: Menghitung ekspektasi dari kedua bilangan acak tersebut. Menghitung pengujian interval dari kedua distribusi di atas dengan menganggap salah satu sebagai nilai acuan.

4.3. Metode Shuffle Untuk Memperbaiki Bilangan Acak Contoh 4.6. Bangkitkan 10 bilangan acak 0 s/d 9 atau ditulis [0 9] meng-gunakan metode LCM (a,c,m,r1)=(4,1,9,3), kemudian lakukan resuffle 3 kali. Tuliskan program di bawah ini, kemudian simpan dalam file acakre1.m % Nilai pembangkitan dan state awal a=4; c=1; m=9; r(1)=3; % membangkitkan 9 bilangan acak % karena state awal dianggap 1 bilangan for i=1:9 r(i+1)=mod(a*r(i)+c,m); end disp('Sebelum resuffle:') disp(r) % resuffle 3 kali for i=1:3 r(10+1)=mod(a*r(9+i)+c,m); p=r(10+i); r(p+1)=p; disp('Sesudah resuffle:') disp(r(1:10))

4.3. Metode Shuffle Untuk Memperbaiki Bilangan Acak Jalankan program dengan menuliskan acakre1, dan hasilnya adalah: >> acakre1 Sebelum resuffle: Columns 1 through 8 3 4 8 6 7 2 0 1 Columns 9 through 10 5 3 Sesudah resuffle: 3 4 8 6 4 2 6 1 8 3

4.4.Membangkitkan Bilangan Acak Berdistribusi Non-Uniform Untuk membangkitkan bilangan acak ak yang berdistribusi non-uniform dengan fungsi f(a) yang didefinisikan berada pada [amin, amax]. Jika integral dari fungsi f(a) dapat dihitung misalkan F(a) maka kita dapat membangkitkan bilangan acak ak dengan mentransformasikan bilangan acak 0<y< 1 dengan: a = F-1(y) Sebagai contoh dibangkitkan bilangan acak berdistribusi eksponensial sebagai berikut: dimana m adalah konstanta. Maka bangkitkan bilangan acak berdistribusi uniform y=[0,1], kemudian hitung : Bangkitkan bilangan acak [0,1] yang berditribusi Maka integral fungsi f(a) adalah: F(a) = ½ e-2ª Sehingga invers dari F(a) adalah : a = - ln(y) / 2

4.4.Membangkitkan Bilangan Acak Berdistribusi Non-Uniform Implementasi dengan menggunakan MATLAB untuk mem-bangkitkan 10 bilangan acak berdistribusi f(a) adalah sebagai berikut: Bangkitkan 1000 bilangan acak uniform sebagai berikut: >> a=rand(1,1000) a = Columns 1 through 5 0.7382 0.1763 0.4057 0.9355 0.9169 Columns 6 through 10 0.4103 0.8936 0.0579 0.3529 0.8132 Gunakan fungsi a = -ln(y)/2 untuk membangkitkan bilangan acak eksponensial. >> b=-log(a)/2; >> b=b/max(b) b = 0.1065 0.6092 0.3166 0.0234 0.0304 0.3127 0.0395 1.0000 0.3656 0.072

4.4.Membangkitkan Bilangan Acak Berdistribusi Non-Uniform Bila diperhatikan histogramnya sebagai berikut: subplot(2,1,1), hist(a,10),grid title('Histogram Uniform') subplot(2,1,2), hist(b,10),grid title('Histogram Eksponensial') Hasilnya adalah sebagai berikut:

4.5. Membangkitkan Bilangan Acak Berdistribusi Poisson Fungsi kepadatan probabilitas untuk distribusi Poisson dengan nilai rara-rata m didefinisikan: dimana i = 0,1,2,3,…. Untuk membangkitkan bilangan acak berdistribusi Poisson digunakan nilai m dan pembangkitan bilangan acak uniform dengan menggunakan metode invers diperoleh bahwa: dimana i  0 Algoritma untuk membangkitkan bilangan acak berdistribusi Poisson adalah sebagai berikut: Dengan mengetahui rata-rata distribusi poisson m, maka : Seterusnya tinggal memanfaatkan model rekursi dari pi.

4.5. Membangkitkan Bilangan Acak Berdistribusi Poisson Contoh 4.9. Membangkitkan n bilangan acak berdistribusi poisson dengan rata-rata m adalah sebagai berikut: % Set nilai rata-rata poisson (m) dan Jumlah bilangan acak yang dibangkitkan (n) m=input(‘Rata-rata poisson = ‘); n=input(‘Jumlah bilangan acak = ‘); % Membangkitkan 10 bilangan acak berdistribusi poisson for bil=1:n u=rand; i=0; p=exp(-m); F=p; sw=0; while sw==0; if u<F x(bil)=i; sw=1; else p=m*p/(i+1); F=F+p; i=i+1; end % Menampilkan bilangan acak disp(x);

% Menampilkan histogram dari bilangan acak yang diperoleh 4.5. Membangkitkan Bilangan Acak Berdistribusi Poisson Simpan dalam file poisson1.m, kemudian jalankan dengan memasukkan m=3 dan n=1000, hasilnya adalah: >> poisson1 Rata-rata poisson = 3 Jumlah bilangan acak = 10 Columns 1 through 8 4 3 3 4 1 3 1 2 Columns 9 through 10 2 5 Dengan histogram sebagai berikut: % Menampilkan histogram dari bilangan acak yang diperoleh t=min(x):max(x); h=hist(x,t); bar(t,h), grid

Algoritma metode rejection: Metode Rejection ini merupakan metode pembangkitan bilangan acak yang secara langsung memanfaatkan fungsi ditsribusi bilangan acak f(a). Bila bilangan acak yang dibangkitkan berada pada daerah fungsi f(a) maka a diterima dan bila tidak, maka a ditolak. Metode ini sangat sederhana tetapi untuk membangkitkan banyak bilangan acak diperlukan waktu yang cukup lama. Algoritma metode rejection: Bangkitkan 2 bilangan acak berditribusi uniform x dan y dengan [0,1]. Bila y<f(x) maka x diterima dan bila tidak x ditolak.

4.6. Metode Rejection Contoh 4.9. Bangkitkan 10 bilangan acak berdistribusi Poisson : dimana m adalah nilai rata-rata Hasil dari pembangkitkan bilangan acak berdistribusi poisson dengan rata-rata 2 untuk a=[0,10] menggunakan metode rejection adalah sebagai berikut: x y f(x) x y f(x) 8 3 0.00 ditolak 3 9 0.18 ditolak 1 4 0.27 ditolak 7 0 0.00 diterima 3 10 0.18 ditolak 7 0 0.00 diterima 2 1 0.27 diterima 3 8 0.18 ditolak 7 6 0.00 ditolak 0 9 0.14 ditolak 2 5 0.27 ditolak 0 7 0.14 ditolak 4 8 0.09 ditolak 4 9 0.09 ditolak 4 4 0.09 ditolak 0 10 0.14 ditolak 10 5 0.00 ditolak 6 5 0.01 ditolak 10 0 0.00 diterima 2 3 0.27 ditolak

4.6. Metode Rejection Dari hasil di atas terlihat bahwa untuk membangkitkan 10 bilangan acak, diperlukan 97 kali percobaan, ini menunjukkan bahwa metode ini tidak terlalu cepat untuk membangkitkan suatu bilangan acak. Tetapi metode ini memang sangat mudah diimplementasikan karena tidak berurusan dengan inversi dari fungsi distribusi f(a) yang terkadang cukup rumit. Metode rejection ini merupakan suatu metode pem-bangkitan bilangan acak yang banyak dibicarakan, meskipun tidak terlalu cepat ternyata membawa implikasi yang menarik yang akan mengantarkan ke arah pencarian acak (random walk) yang sangat terkenal. Metode ini juga menjadi dasar dari Metode Monte Carlo yang akan di bahas pada bab 5. Implementasi Metode Rejection untuk membangkitkan bilangan acak [0,9] berdistribusi poisson dalam MATLAB adalah sebagai berikut:

% Memasukkan jumlah bilangan acak yang dibangkitkan 4.6. Metode Rejection % Memasukkan jumlah bilangan acak yang dibangkitkan n=input('Jumlah bilangan acak ? '); % Menentukan nilai parameter poisson % misalkan m=3 m=3; % Metode rejection k=0; i=0; while k<=n i=i+1; x=floor(11*rand); y=rand; p=exp(-m)*m^x/factorial(x); fprintf('iterasi ke %d : %d %1.2f %1.2f ---> ',i,x,y,p);

fprintf('diterima\n'); else fprintf('ditolak\n'); end 4.6. Metode Rejection if y<=p k=k+1; b(k)=x; fprintf('diterima\n'); else fprintf('ditolak\n'); end %Menampilkan bilangan acak poisson disp(b) Simpan dalam file acakn.m, kemudian jalankan dengan menuliskan acakn, perhatikan untuk sejumlah bilangan diperlukan jumlah iterasi yang sangat besar dibandingkan dengan jumlah bilangan acak yang dihasilkan.

Jumlah bilangan yang dibangkitkan Jumlah iterasi 1 2 4 8 10 15 16 20 4.6. Metode Rejection Tugas 4.3. Dengan menggunakan program acakn di atas, bangkitkan n bilangan berkali-kali sesuai tabel berikut ini: Jumlah bilangan yang dibangkitkan Jumlah iterasi 1 2 4 8 10 15 16 20 32 40 50 64 100

Jumlah Iterasi Jumlah bilangan 4.6. Metode Rejection Gambarkan hasilkan sebagai berikut: Jumlah bilangan Jumlah Iterasi

4.6. Metode Rejection Tugas 4.3. Buatlah program sederhana untuk membangkitkan bilangan acak [0,1] berdistribusi normal dengan rata-rata =0.5 dan standard deviasi =0.2 dengan menggunakan metode rejection. Distribusi normal dengan rata-rata  dan standard deviasi  didefinisikan : Hitung waktu yang dibutuhkan untuk membangkitkan 100, 1000, 10000 dan 100000 bilangan acak.