PEMBIMBING : Dr. RINOVIA SIMANJUNTAK Institut Teknologi Bandung “ Pelabelan Total (a,d) – Sisi – Anti Ajaib pada lingkaran dan lintasan“ Oleh Dartono NIM : 20104020 PEMBIMBING : Dr. RINOVIA SIMANJUNTAK Institut Teknologi Bandung

TOPIK PEMBAHASAN KONSEP DASAR HASIL SEBELUMNYA PERMASALAHAN TUJUAN HASIL UTAMA

KONSEP DASAR Pelabelan graf adalah suatu pemetaan satu-satu yang memetakan himpunan dari elemen-elemen graf ke himpunan bilangan bulat positif. Elemen-elemen graf : - Himpunan titik - Himpunan sisi - Himpunan titik dan sisi

Pelabelan graf G = (V, E ) adalah suatu pemetaan: D → N, dimana D : domain, N : himp. label dari G. D = V maka disebut pelabelan titik D = E maka disebut pelabelan sisi D = V UE maka disebut pelabelan total

Bobot sisi : jumlah label sisi dan label dua titik yang menempel pada sisi. jika semua sisi mempunyai bobot sisi yang sama maka pelabelan tersebut disebut pelabelan total- sisi-ajaib. Jika semua sisi mempunyai bobot sisi yang berbeda dan himpunan bobot sisi dari semua sisi membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda d maka pelabelan tersebut disebut pelabelan total-sisi-anti ajaib

Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada grafG=G(V,E) adalah pemetaan satu-satu dari V (G)  E (G) pada {1, 2, . . . , v + e}, sedemikian hingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di G adalah {a, a + d, a + 2d, . . . , a + (e – 1)d} untuk suatu bilangan bulat positif a dan d. Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pertama kali diperkenalkan oleh Rinovia Simanjuntak, Mirka Miller, dan Francois Bertault pada tahun 2000.

Hasil-hasil sebelumnya. Untuk setiap lingkaran Cn sudah ditemukan pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib untuk d = 1 dan d = 2 untuk lingkaran genap Cn serta d = 3 untuk lingkaran ganjil Cn . Simanjuntak dkk [9] tahun 2000 Untuk setiap lingkaran Cn , n ganjil sudah ditemukan pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib untuk d = 2 dan d = 4 untuk lingkaran ganjil Cn .Baca dkk [3] tahun 2001 Untuk setiap lintasan Pn , n genap sudah ditemukan pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib untuk d = 1 dan d = 3 untuk lintasan ganjil Pn . Simanjuntak dkk [9] tahun 2000 Untuk lintasan Pn , n ganjil sudah ditemukan pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib untuk d = 2 dan 4. Baca dkk [3] tahun 2001

PERMASALAHAN Apakah ada pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada lingkaran dan lintasan dengan jumlah titik genap.

TUJUAN Untuk membuktikan bahwa lingkaran dan lintasan dengan jumlah titik genap mempunyai pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib

HASIL UTAMA Teorema 4.1 Untuk setiap n ≥ 4, dan n genap, lingkaran Cn mempunyai pelabelan total (n+4,3)-sisi-anti ajaib. Akibat 4.1 Untuk setiap n ≥ 4, dan n genap, lingkaran Cn mempunyai pelabelan total (2n+2,3)-sisi-anti ajaib. Teorema 4.2 Untuk setiap n ≥ 4, dan genap, lintasan Pn mempunyai pelabelan total (n+4,4)-sisi-anti ajaib. Teorema 4.3 Untuk n  2, lintasan Pn mempunyai pelabelan total (6,6)-sisi-anti ajaib.

Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada lingkaran C4, C6, C8 untuk d = 3 2 8 3 1 6 12 7 11 4 10 5 9 2 10 11 6 3 1 4 8 5 7 2 5 3 1 12 8 4 16 13 9 7 15 14 6 (a,d)=(8,3) (a,d)=(10,3) (a,d)=(12,3)

Pembahasan Hasil Utama Teorema 4.1 Untuk setiap n ≥ 4, dan n genap, lingkaran Cn mempunyai pelabelan total (n+4,3)- sisi-anti ajaib. Bukti : Misalkan V (Cn) = {xi│1≤i ≤n } E (Cn)= {xi xi+1│1≤i ≤n -1}  {xn x1} Perhatikan pelabelan total: f : V (Cn)  E (Cn)  {1, 2, 3, …, 2n}

dan

Maka bobot sisi wf (xi xi+1),1 ≤ i ≤ n dari Cn, dan

Maka himpunan bobot sisi Wf : Jadi, untuk setiap n ≥ 4, dan n genap, lingkaran Cn mempunyai pelabelan total (n+4,3)-sisi-anti ajaib.

Dengan dualitas (Teorema 3.3.1) kita mempunyai, Akibat 4.1 Untuk setiap n ≥ 4, dan n genap, lingkaran Cn mempunyai pelabelan total (2n+2,3)-sisi-anti ajaib.

Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib P4, P6, dan P8 untuk d = 4 1 2 4 6 5 3 7 (a,d)=(8,4) 1 5 9 3 7 8 6 4 2 11 10 (a,d)=(10,4) 2 4 6 8 10 12 14 (a,d)=(12,4) 1 9 9 11 11 5 13 7 15 3

Teorema 4.2 Untuk setiap n ≥ 4, dan genap, lintasan Pn mempunyai pelabelan total (n+4,4)-sisi-anti ajaib. Bukti : Labelkan himpunan titik dan sisi dari Pn dengan cara sebagai berikut :

Misalkan wg menyatakan bobot sisi dari Pn dan Wg adalah himpunan bobot sisi : Jadi, untuk setiap n ≥ 4, dan n genap, lintasan Pn mempunyai pelabelan total (n+4,4)-sisi-anti ajaib.

Pelabelan total (6,6)-sisi-anti ajaib dari P2, P3, P4, P5. 1 5 4 2 1 3 7 6 5 4 3 2 1 8 6 4 2 1 9 7 5 3

Pelabelan total (6,6)-sisi-anti ajaib dari P6 dan P8 1 9 7 5 3 8 6 4 2 11 10 14 2 4 6 8 10 12 1 3 7 9 11 13 15 5

Teorema 4.3 Untuk n  2,lintasan Pn mempunyai pelabelan total (6,6)-sisi-anti ajaib. Bukti : Labelkan himpunan titik dan sisi dari Pn dengan cara sebagai berikut : untuk 1 ≤ i ≤ n untuk 1 ≤ i ≤ n - 1

Maka himpunan bobot sisi Wf dari Pn: Jadi, untuk n  2, lintasan Pn mempunyai pelabelan total (6,6)-sisi-anti ajaib.

Untuk lingkaran Cn , n genap, dengan d = 4,5, lingkaran Cn, n ganjil dengan d = 5, dan lintasan Pn , n genap dengan d = 5, kami belum dapat menemukan pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib.

Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada lingkaran genap C4, C6, C8 dan C10 untuk d = 4 2 5 12 11 9 4 10 6 3 1 8 7 7 5 4 1 2 3 6 8 1 10 20 19 17 9 18 14 16 7 11 15 6 8 4 5 12 3 2 13 2 5 12 11 9 4 10 6 3 1 8 7

Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada lingkaran genap C4, C6 dan C8 untuk d = 5 9 3 2 5 14 12 16 13 15 8 11 7 6 4 10 1 4 6 7 8 12 11 10 5 2 1 3 9 8 5 6 4 1 3 2 7

Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib pada lingkaran ganjil C5 dan C7 untuk d = 5 9 3 4 5 7 6 12 8 13 14 11 2 10 1 3 2 7 6 9 10 8 5 4 1 (a,d)=(7,5) (a,d)=(8,5)

Pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib dari lintasan genap P4 dan P6 untuk d = 5 7 5 4 6 1 2 3 (a,d)=(6,5) 4 6 9 3 1 7 5 8 2 10 11 (a,d)=(7,5)

OPEN PROBLEM Untuk n genap, carilah pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib dari lingkaran Cn dengan d = 4 dan 5. Untuk n ganjil, carilah pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib dari lingkaran Cn dengan d = 5. Untuk n genap, carilah pelabelan total (a,d)-sisi-anti ajaib dari lintasan Pn dengan d = 5.

TERIMA KASIH