Pertemuan Pertama Pengantar Peluang Gugus Definisi Peluang

Gugus dan Teori Peluang Ada hubungan yang sangat erat antara Gugus (Himpunan) dengan Hitung Peluang Oleh karena itu, sebagai landasan awal mempelajari Hitung Peluang, terlebih dahulu diperkenalkan Teori Himpunan (Gugus) dan Operasi yang berkaitan dengan Gugus PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Gugus Definisi: Gugus adalah kumpulan dari objek-objek, yang selanjutnya disebut sebagai anggota gugus. Gugus dinotasikan dengan huruf kapital, dan anggotanya dengan huruf kecil. Jika S adalah gugus dan x adalah anggota gugus S, maka dinotasikan x  S, serta notasi x  S untuk menyatakan bahwa x bukan anggota S. PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Gugus (cont’d) Definisi: Sebuah gugus yang tidak memiliki anggota disebut gugus kosong, dilambangkan  Anggota gugus bisa tercacah (countable) ataupun tidak tercacah (uncountable) Gugus tercacah dapat bersifat terhingga dan tak terhingga. Gugus terhingga misalnya gugus bilangan asli yang kurang dari 5, S ={1, 2, 3, 4}. Sedangkan gugus bilangan asli A = {1, 2, 3, …} adalah gugus tak terhingga. Gugus semua bilangan real antara 0 dan 1 adalah gugus tak tercacah, S = {x|0 ≤ x ≤ 1} PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Gugus (cont’d) Definisi: jika semua anggota gugus T juga merupakan anggota gugus S, maka dikatakan bahwa T merupakan anak gugus (subset) dari S, dan dilambangkan T S atau S  T. Jika T S dan S  T keduanya berlaku maka kedua gugus tersebut sama, T = S, dan keduanya memiliki anggota yang sama. PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Pengantar Hitung Peluang Gugus (cont’d) Istilah lain yang harus diketahui adalah gugus semesta (universe set), yang sering dilambangkan dengan , yaitu gugus yang beranggotakan semua unsur yang menjadi fokus perhatian/minat. Andaikan gugus semesta  adalah gugus bilangan asli,  = {1, 2, 3, 4, …} M = {3, 5, 7, 10} adalah himpunan bagian dari , atau dituliskan M   3 adalah anggota dari M, dituliskan 3  M 12 bukan anggota M, dituliskan 12  M PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017 PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009

Operasi Gugus Komplemen dari gugus S dalam gugus semesta  adalah Sc = {x| x  S} Gabungan dari gugus S dan T, S T adalah S T = {x| xS atau xT atau keduanya} Irisan dari gugus S dan T, S T adalah S T = {x| xS dan xT} Banyaknya anggota A (kardinal A), ditulis n(A) PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Operasi Gugus (cont’d) Dua gugus dikatakan saling terpisah (disjoint) jika irisan keduanya adalah gugus kosong, artinya keduanya tidak memiliki unsur yang sama. Lebih umum, beberapa gugus dikatakan saling pisah jika tidak ada dua gugus yang memiliki anggota yang sama. PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Operasi Gugus (cont’d) PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Operasi Gugus (cont’d) Ilustrasi - 1 Andaikan gugus semesta  adalah gugus bilangan asli,  = {1, 2, 3, 4, …} M = {3, 5, 7, 10} dan K = {6, 7, 9, 10} Maka : M  K = {3, 5, 6, 7, 9, 10} M  K = {7, 10} Mc  K = {6, 9} n(M  K ) = 6, n(M  K ) = n(M) + n(K) – n(M  K ) = 4 + 4 – 2 = 6 PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Operasi Gugus (cont’d) Kaidah D’Morgan : Ilustrasi-2 : Jika S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A = {1,2,3,4,5,6}, B={4,5,6,7,8} Tentukan : A  B d) (A  B)C A  B e) n(A  B) (A B)C f) n((A B)C) PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Ruang Contoh dan Kejadian Suatu percobaan hasilnya tidak dapat diramalkan dengan pasti sebelumnya. Akan tetapi meskipun belum diketahui dengan pasti hasilnya, namun himpunan semua kemungkinan hasil percobaan yang mungkin terjadi dapat diketahui. Kumpulan semua hasil percobaan yang mungkin terjadi disebut Ruang Contoh (Sample Space) dan disimbolkan dengan S. Sedangkan himpunan bagian dari suang contoh disebut Kejadian (event) PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Operasi terhadap Kejadian Operasi-operasi yang berlaku pada Teori Himpunan (Gugus) juga berlaku pada Kejadian, seperti Gabungan (Union), Irisan (Intersection), dan Tandingan (Complement). Dua kejadian dikatakan saling lepas (mutually exclusive), jika irisan kedua himpunan tersebut adalah himpunan kosong PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Peluang Suatu Kejadian Teori Peluang sebetulnya memberikan cara pengukuran kuantitatif tentang kemungkinan atau tingkat kepastian tentang terjadinya suatu peristiwa. Pada hakekatnya, dasar perumusan tentang peluang atau penentuan besaran yang dapat mengukur tingkat kepastian timbulnya suatu peristiwa dapat dibedakan dalam 3 cara : Perumusan Peluang Klasik Perumusan Peluang secara Frekuensi Relatif Perumusan Peluang secara Subyektif PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Peluang Suatu Kejadian Peluang Klasik : Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N titik contoh yang saling berpeluang sama, dan jika tepat ada sebanyak n dari titik contoh tersebut merupakan unsur dari kejadian A, maka peluang kejadian A adalah P(A) = n/N (Asumsi : setiap titik contoh memiliki peluang muncul yang sama) Peluang Freikuensi Relatif : Misalkan S adalah suatu ruang contoh, A adalah suatu kejadian, dan n(A) adalah frekuensi munculnya kejadian A jika percobaan diulang sebanyak n kali. Peluang kejadian A adalah :P(A) = n(A)/n Peluang secara Subyektif : bergantung pada keyakinan subyektif masing-masing PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Aksioma Peluang Kaidah peluang harus memenuhi: 1) (non-negativity)  P(A)  0 untuk semua A   2) (normalization) Peluang dari suatu ruang contoh  sama dengan 1, P() = 1 3) (additivity)  untuk A dan B yang saling lepas P (AB) = P(A) + P(B). Pada bentuk yang lebih umum, jika A1, A2, … merupakan gugus yang saling lepas, maka P(A1 A2 …) = P(A1) + P(A2) + … PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Pengantar Hitung Peluang Aksioma Peluang Ilustrasi – 3 Dengan menggunakan aksioma peluang, buktikan sifat- sifat berikut : P() = 0 P(AC) = 1 – P(A) Jika AB maka P(A) ≤ P(B) P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) G PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017 PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009

Aksioma Peluang Bukti Sifat c) B = A  (AcB), (karena A  B) P(B) = P(A) + P(AcB) (karena A dan AcB saling lepas, aksioma 3) P(A) ≤ P(B) (karena P(AcB)  0, aksioma 1) Terbukti Bukti sifat d) Gunakan AB = A  (AcB) dan B = (BA)  (BAc) PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Belajar Aktif dan Belajar Mandiri Untuk memfasilitasi siswa untuk Belajar Aktif akan disediakan beberapa soal (sesuai kebutuhan) yang dikerjakan dalam setiap pertemuan di kelas Untuk memfasilitasi Siswa untuk Belajar Mandiri akan disediakan beberapa soal (sesuai kebutuhan) setiap selesai pertemuan, untuk dikerjakan diluar perkuliahan PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017

Minggu Depan…. Hal terpenting yang diperlukan dalam penguasaan Hitung Peluang adalah menentukan banyaknya ruang contoh, n(S) dan ruang kejadian, n(A) Hal ini akan dipelajari pada Analisis Kombinatorika PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/9/2017