PROBABILITAS DAN STATISTIKA TEORI PELUANG Lanjutan

Yang dibahas : Peluang irisan kejadian Peluang Posterior Teknik Mencacah Faktorial Permutasi dan Kombinasi

Peluang Irisan Kejadian Peluang irisan dari rangkaian kejadian A1,….., An dapat dihitung dari ekspresi : P(A1 …….. An) = P(A1) x P(A2│A1) x P(A3│A1 A2) x …….. x P(An│A1 ……… An-1)

Kejadian bebas Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian bebas jika : P(A│B) = P(A) , P(B│A) = P(B), P(A B) = P(A) P(B) Salah satu dari ketiga kondisi menyiratkan dua lainnya. Interpretasi dari dua kejadian bebas adalah : satu kejadian tidak mempengaruhi peluang dari kejadian yang lain

Irisan kejadian bebas Peluang irisan dari rangkaian kejadian bebas A1,….., An dinyatakan dengan : P(A1 …….. An) = P(A1) P(A2) ………. P(An)

Pohon peluang Chip komputer yang cacat Anggaplah 9 dari 500 chip dalam kotak tertentu rusak. Diambil 3 chip dari kotak secara acak untuk diuji , jika didapati rusak diberi notasi (1) atau baik diberi notasi (0),sehingga ruang sampel memiliki delapan hasil. Jika hasil (0, 1, 0) menunjukkan bahwa chip pertama dan ketiga masih baik sedangkan chip kedua rusak.

Nilai peluang dari delapan hasil dapat dihitung dengan menggunakan pohon peluang seperti yang diilustrasikan sebagai berikut :

Kejadian A, B dan C masing-masing, yaitu kejadian yang pertama, kedua, dan ketiga untuk chip rusak. Kejadian ini tidak bebas karena pengambilan sampel dilakukan tanpa pengulangan. Pohon peluang dimulai di sebelah kiri dengan dua cabang yang sesuai dengan peristiwa A dan Aʹ. Peluang dari peristiwa ini : dicatat pada akhir cabang

Masing-masing dua cabang kemudian terbagi menjadi dua cabang yang lebih sesuai dengan kejadian B dan Bʹ, dan peluang bersyarat dari kejadian ini dicatat. Peluang bersyarat ini adalah:

dengan mempertimbangkan berapa banyak dari 499 chip di dalam kotak diperoleh dalam keadaan rusak ketika chip kedua dipilih. Misalnya P(B│A) = 8/499 : ketika chip pertama dipilih adalah cacat (kejadian A), maka tersisa 8 dari 499 chip dalam kotak diperoleh dalam keadaan rusak ketika chip kedua dipilih.

Pohon peluang selesai dengan menambahkan cabang tambahan untuk kejadian C dan Cʹ dan merekam peluang kejadian ini tergantung pada hasil dari dua pilihan pertama. Sebagai contoh : karena tergantung pada kejadian A Bʹ (pilihan pertama rusak dan yang kedua baik), 8 dari 498 chip dalam keadaan rusak ketika pilihan ketiga dilakukan.

Nilai Peluang dari delapan hasil diperoleh dengan mengalikan peluang sepanjang cabang. Jadi, peluang terjadinya 3 chip yang rusak adalah:

Peluang pemilihan 2 chip yang baik dan diikuti oleh chip yang rusak adalah: Perhatikan bahwa peluang (1,0,0), (0,1,0) dan (0,0,1) adalah identik, meskipun mereka dihitung dengan cara berbeda. Demikian pula, peluang (1,1,0), (0,1,1) dan (1,0,1) adalah identik. Peluang tepat 1 chip rusak adalah:

Peluncuran Satelit Sebuah sistem peluncuran satelit dikendalikan oleh komputer (komputer 1) yang memiliki dua komputer cadangan yang identik (komputer 2 dan 3). Komputer 1 berfungsi untuk kontrol sistem, namun jika terjadi kerusakan pada komputer 1, maka komputer 2 secara otomatis mengambil alih. Jika komputer 2 dari terjadi kerusakan , maka komputer 3 secara otomatis mengambil alih. Bila komputer 3 terjadi kerusakan, maka sistem akan mati.

Ruang sample untuk masalah ini terdiri dari empat situasi Ruang sample untuk masalah ini terdiri dari empat situasi. S = (komputer 1 digunakan, komputer 2 digunakan, komputer 3 digunakan, kegagalan sistem) Misalkan peluang kerusakan komputer 0,01 dan terjadinya kerusakan dari tiga komputer adalah bebas satu dengan yang lain. Kejadian A, B, dan C merupakan kejadian kerusakan komputer 1, 2, dan 3.

Pohon peluang untuk masalah ini dimulai di sebelah kiri dengan dua cabang yang sesuai dengan peristiwa A dan Aʹ dengan peluang P (A) = 0,01 dan P (Aʹ) = 0,99. Cabang atas (kejadian Aʹ) sesuai dengan pemakaian komputer 1 dan tidak perlu untuk diperpan-jang lebih lanjut. Namun, cabang bawah (peristiwa A) menjadi dua cabang untuk kejadian B dan Bʹ.

Nilai peluang dari empat situasi diperoleh dengan mengalikan peluang sepanjang cabang, sehingga: P(penggunaan komputer 1) = 0,99 P(penggunaan komputer 2)= 0,01 x 0,99 = 0,0099 P(penggunaan komputer 3) = 0,01 x 0,01 x 0,99 = 0,000099 P(kegagalan sistem) = 0,01 x 0,01 x 0,01 x = 0,0000001

Desain dari kemampuan sistem cadangan jelas dilakukan dengan tujuan untuk meminimalkan kemungkinan kegagalan sistem. Isu utama dalam menentukan peluang ini yaitu berasumsi bahwa kegagalan dari tiga komputer merupakan kejadian bebas. Dengan kata lain, sebuah kerusakan dalam 1 komputer seharusnya tidak mempengaruhi peluang dari 2 komputer lainnya .

Garansi Mobil Sebuah perusahaan menjual beberapa jenis mobil yang kumpulkan dari empat lokasi. Pabrik I memasok 20% , pabrik II 24% , pabrik III, 25% dan pabrik IV 31%. Seorang pelanggan membeli mobil dan tidak tahu dari mana mobil dipasok, sehingga peluang mobil yang dibeli berasal dari masing-masing pabrik dapat dianggap sebagai 0,20, 0,24, 0,25, dan 0 , 31.

Setiap mobil baru dijual diberikan garansi satu tahun Setiap mobil baru dijual diberikan garansi satu tahun. Perusahaan ini telah mengumpulkan data yang menunjukkan: P(klaim │pabrik I) = 0,05 P(klaim │pabrik II) = 0,11 P(klaim │pabrik III) = 0,03 P(klaim │pabrik IV) = 0,08

Sebuah mobil dirakit di pabrik I memiliki peluang 0,05 menerima klaim garansi. Informasi ini merupakan rahasia perusahaan yang dijaga ketat karena menyatakan performa pabrik. Pabrik III merupakan pabrik yang terbaik dan pabrik II yang terburuk . Jadi timbulnya klaim tidak terlepas dari lokasi pabrik karena keempat peluang bersyarat yang tidak sama.

Pohon peluang untuk masalah ini dibangun dari cabang-cabang tahap kedua hanya diperoleh dari peluang bersyarat di atas.

P(pabrik I, tidak ada klaim) = 0,20 x 0,95 = 0,19 Peluang seorang pembeli sebuah mobil yang dirakit di pabrik I dan tidak membutuhkan klaim garansi terlihat: P(pabrik I, tidak ada klaim) = 0,20 x 0,95 = 0,19 Dari sudut pandang pelanggan, sangat menarik akibat diberikannya peluang untuk klaim garansi mobil. Hal ini dapat dihitung : P(klaim) = P(pabrik I, klaim) + P(pabrik II,klaim) + P(pabrik III, klaim) + P(pabrik IV,klaim) = (0,2x0,05)+(0,24 x0,11)+(0,25 x0,03)+(0,31x0,08) = 0,0687

Dengan kata lain, sekitar 6,87% dari mobil-mobil yang dibeli akan memiliki klaim atas garansi. Perhatikan bahwa tingkat klaim ini secara keseluruhan merupakan rata-rata dari empat tingkat klaim pabrik masing-masing dengan bobot sesuai dengan banyaknya pasokan dari keempat pabrik.

Peluang posterior Hukum peluang total : Jika A1 .........An merupakan partisi dari ruang sampel, maka peluang suatu kejadian B dapat diperoleh dari peluang P(Ai) dan P(B│Ai) dengan menggunakan rumus: P(B)=P(A1) P(B│A1) + …….. + P(An) P(B│An)

Jaminan Mobil Hukum peluang total telah digunakan pada perhitungan klaim garansi mobil yang diperoleh sebesar 0,0687. A1, A2, A3 dan A4 adalah kejadian perakitan mobil di pabrik I, II, III dan IV merupakan partisi dari ruang sampel. Peluang P (Ai) merupakan ukuran pasokan dari ke empat pabrik.

Jika B adalah kejadian klaim, maka peluang bersyarat P (B│Ai) merupakan laju klaim untuk empat pabrik secara masing-masing, sehingga: P(B) = P(A1)P(B│A1)+P(A2)P(B│A2)+P(A3)P(B│A3)+ P(A4)P(B│A4) = (0,2x0,05)+(0,24 x0,11)+(0,25 x0,03)+(0,31x0,08) = 0,0687 sebagaimana diperoleh sebelum.

Perhitungan Peluang posterior Bayes 'teorema Jika A1,…… Perhitungan Peluang posterior Bayes 'teorema Jika A1,…….., An adalah partisi dari ruang sampel, maka peluang posterior kejadian Ai, tergantung pada kejadian B dapat diperoleh dari peluang P (Ai) dan P (B│Ai) dengan menggunakan rumus: A1 A2 A3 B

Jaminan Mobil Ketika pelanggan membeli sebuah mobil, peluang mobil dirakit di pabrik tertentu adalah: P(I) = 0,20 P(II) = 0,24 P(III)= 0,25 P(IV)= 0,31 Jika klaim dibuat pada garansi dari mobil, bagaimana hal ini mengubah peluang? Dari teorema Bays ', peluang posterior dihitung menjadi: Yang ditabelkan sebagai berikut :

Peluang Posterior Peluang sebelumnya Klaim Tidak Klaim Pabrik I 0,200 0,146 0,204 Pabrik II 0,240 0,384 0,229 Pabrik III 0,250 0,109 0,261 Pabrik IV 0,310 0,361 0,306 1.000 1,000

Perhatikan bahwa pabrik II memiliki laju klaim terbesar (0,11), dan peluang posterior 0.384 jauh lebih besar dari probabilitas sebelumnya atas 0,24o. Hal ini telah diperkirakan bahwa klaim dibuat meningkat ketika mobil dirakit di pabrik yang memiliki tingkat klaim tinggi. Demikian pula, pabrik III memiliki tingkat klaim terkecil (0,03), dan peluang posterior 0.109 jauh lebih kecil dari peluang sebelumnya atas 0,25, sesuai dengan yang diharapkan.

Di sisi lain, jika tidak ada klaim yang dibuat pada garansi, maka perhitungan peluang posterior menjadi: dimasukkan dalam tabel di atas.

Dalam kasus ini, ketika tidak ada klaim maka peluang untuk pabrik III sedikit menurun. Akhirnya, sangat menarik untuk disimak ketika klaim dibuat berdasarkan peluang, maka perlu direvisi sesuai dengan substansinya. Tetapi ketika tidak ada klaim, maka peluang posterior dibuat hampir sama dengan peluang sebelumnya. Secara intuitif, ini adalah karena tingkat klaim semua agak kecil, dan klaim adalah kejadian yang tidak biasa, yang memerlukan revisi yang lebih radikal dari peluang.

Teknik mencacah Suang sampel S terdiri dari sejumlah besar hasil dari percobaan yang tidak ingin didaftar secara keseluruhan. Namun, jika hasilnya mempunyai kesamaan, maka cukup dipilih sejumlah hasil dalam ruang sampel dan jumlah hasil yang terkandung dalam suatu peristiwa yang menarik Pada bagian ini, berbagai teknik menghitung dibahas yang dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan tersebut. Ingat bahwa jika ruang sampel S terdiri dari N yang memiliki kemungkinan hasil yang sama dan sejumlah n terkandung dalam kejadian A, maka peluang dari kejadian A adalah: P (A) = n / N

Aturan perkalian Jika percobaan terdiri dari k komponen dengan jumlah hasil yang paling mungkin adalah : n1 ,......., nk, maka jumlah hasil percobaan (ukuran dari ruang sampel) adalah sama dengan: n1 x n2 x ..... x nk

Perakitan bodi mobil Panel-panel mobil terbuat dari lembaran logam yang dikerjakan secara berurutan. Lembar logam, awalnya dikirim ke mesin pembersih, kemudian ke mesin press dan kemudian ke mesin pemotong. Proses ini dilanjutkan dengan mesin pengecatan dan diakhiri dengan mesin pengkilapan. Masing-masing dari lima tugas tersebut dapat dilakukan pada salah satu atau beberapa mesin yang jumlah dan lokasinya telah ditetapkan oleh manajemen sehingga untuk merampingkan proses pembuatan secara keseluruhan.

Secara khusus, anggaplah bahwa ada 6 mesin pembersih, 3 mesin press, 8 mesin pemotong, 5 mesin pengecatan dan 8 mesin pengkilatan seperti diilustrasikan dalam gambar berikut :

Sebagai prosedur pengendalian kualitas, perusahaan melekatkan kode bar untuk setiap panel yang dapat mengidentifikasi mesin yang telah digunakan dalam proses konstruksi. Jumlah jalur yang memungkin untuk proses manufaktur adalah: 6 x 3 x 8 x 5 x 8 = 5760 Jumlah jalur yang mencakup mesin press adalah: 6 x 8 x 5 x 8 = 1920

Jika jalur 5760 dapat dianggap memiliki kemungkinan yang sama, maka panel yang dipilih secara acak akan memiliki peluang 1 / 5760 dari masing-masing memiliki jalur. Namun, perhatikan bahwa jalur mungkin tidak akan memiliki kemungkinan yang sama akibat tata letak pabrik, misalnya panel yang keluar dari salah satu mesin press mungkin diteruskan kepada mesin pemotong tertentu dari pada panel yang keluar dari mesin press lain.

Bilangan Faktorial 5! = 5.(5-1).(5-2).(5-3).(5-4)=5.4.3.2.1 =120 Bilangan faktorial ditulis n! Rumus : n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1 dimana : 0! = 1 dan 1! = 1 Contoh : 5! = 5.(5-1).(5-2).(5-3).(5-4)=5.4.3.2.1 =120

Permutasi Sebuah permutasi k unsur dari n unsur (n≥ k) adalah sebuah urutan yang teratur dari unsur k dipilih tanpa penggantian dari kelompok unsur n. Jumlah kemungkinan permutasi k unsur dari n unsur adalah:

Kombinasi Kombinasi k unsur dari n unsur (n≥ k) adalah sebuah koleksi benda k tidak teratur dipilih tanpa penggantian dari kelompok n unsur. Jumlah kemungkinan kombinasi k unsur dari n unsur adalah :

Tes Rasa Sebuah perusahaan makanan memiliki empat resep yang berbeda untuk sebuah produk baru yang potensial dan ingin membandingkan mereka melalui tes selera konsumen. Dalam tes ini, peserta diberikan empat jenis rasa makanan dalam urutan acak dan diminta untuk membuat peringkat berbagai aspek selera mereka. Prosedur pemeringkatan ini hanya untuk empat produk, maka jumlah kemungkinan cara yang dapat dilakukan adalah:

Pada tes rasa yang lain, peserta diberikan 8 macam produk Pada tes rasa yang lain, peserta diberikan 8 macam produk. Kemudian ditanyakan terbaik pertama, kedua dan ketiga. Jumlah kemungkinan jawaban dari tes ini adalah : Jika ditanyakan 3 produk terbaik namun tidak dalam urutan tertentu, maka kemungkinan jawabannya :

Diketahui lima huruf a,b,c,d,e Diketahui lima huruf a,b,c,d,e. Tentukan banyaknya permutasi 2 unsur yang diambil dari huruf yang diberikan ! Huruf pertama, adalah salah satu dari a, b, c, d, e sedangkan huruf kedua harus diambil berbeda dari huruf pertama. Dengan demikian ada 5.4 =20 kemungkinan Huruf pertama a : ab, ac, ad, ae Huruf pertama b : ba, bc, bd, be Huruf pertama c : ca, cb, cd, ce Huruf pertama d : da, db, dc, de Huruf pertama e : ea, eb, ec, ed

Banyak cara menyusun pengurus yang terdiri dari Ketua, Sekretaris, dan Bendahara yang diambil dari 5 orang calon adalah : Penyelesaian •banyak calon pengurus 5  n = 5 •banyak pengurus yang akan dipilih 3  r = 3 nPr = = 5P3 = = = 60 cara

Empat orang masuk ke bus dan terdapat 10 tempat duduk kosong Empat orang masuk ke bus dan terdapat 10 tempat duduk kosong. Tentukan banyak kemungkinan posisi empat orang tersebut duduk ! Perhatikan dalam hitungan di atas, bahwa bentuk :

Kelas statistik terdiri dari 15 mahasiswa dan 10 mahasiswi. Tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman delegasi yang terdiri dari 5 orang. Tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman delegasi yang terdiri dari 3 mahasiswa dan 2 mahasiswi. Jawab : a. Masalah pemilihan delegasi tanpa memperhatikan urutan anggotanya adalah masalah ko0mbinasi. Untuk soal ini, kombinasi 5 orang dari 25 orang yaitu :

Pada soal ini terdapat 2 pemilihan yaitu untuk mahasiswa dan mahasiswi Pada soal ini terdapat 2 pemilihan yaitu untuk mahasiswa dan mahasiswi. Pemilihan mahasiswa dengan kombinasi 3 unsur dari 15 unsur yaitu . Sedangkan untuk mahasiswi dengan kombinasi 2 unsur dari 10 unsur yaitu : . Karena keduanya tidak berhubungan, maka kombinasi total merupakan hasil kali :

Seorang mahasiswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan . Banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa adalah…. Penyelesaian mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan berarti tinggal memilih 2 soal lagi dari soal nomor 5 sampai 8 (r = 2 dan n = 4 ) 4C2 = 6 pilihan

LATIHAN Dalam berapa cara 6 kelereng yang warnanya berbeda dapat disusun dalam satu baris? Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana ekonomi dan 7 sarjana hukum. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjana hukum. Berapa banyak cara untuk membuat tim itu jika : a. tiap orang dapat dipilih dengan bebas b. seorang sarjana hukum harus ikut dalam tim itu c. dua sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu

Diketahui banyak mahasiswa dari 500 mahasiswa yang mengikuti mata kuliah : - Matematika = 329 - Statistika = 186 - Fisika = 295 - Matematika dan Statistika = 83 - Matematika dan Fisika = 217 - Statistika dan Fisika = 63 Berapa mahasiswa yang mengikuti : a. 3 mata kuliah tersebut? b. Matematika tetapi tidak Fisika? c. Statistika tetapi tidak Matematika? d. Fisika tetapi tidak Statistika? e. Matematika atau Fisika tetapi tidak Statistika? f. Matematika tetapi tidak Statistika atau Fisika?

4. Suatu perusahaan besar menyediakan 3 hotel bagi akomodasi rekanannya. Dari catatan sebelumnya diketahui bahwa 20% rekanannya diinapkan dihotel A, 50% dihotel B, dan 30% dihotel C. Bila 5% diantara kamar-kamar dihotel A, 4% di hotel B, dan 8% dihotel C terdapat kerusakan pipa air di kamar mandinya, hitung peluang bahwa : a. seorang rekanan mendapat kamar dengan pipa air yang rusak! b. seorang rekanan yang diketahui mendapat kamar dengan pipa air yang rusak ternyata menginap di hotel A!