KONSEP DASAR PROBABILITAS Pertemuan 4

Pengantar : Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang. Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.

Konsep dan definisi dasar Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh. Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan n(S). Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari outcome dalam suatu ruang sampel.

Contoh : Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah sikring satu persatu secara berurutan dan mencatat kondisi sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring yang baik dan R untuk sikring yang rusak. Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam ruang sampel S adalah n(S) = 23 = 8. Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikring yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalam ruang peristiwa adalah n(A) = 3.

Definisi probabilitas Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :

Sifat-sifat probabilitas kejadian A : 0  P(A)  1 , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1 P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi. P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.

Contoh (1): Pelemparan dua buah coin. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka? Jawab : Misal M = Muka , B = Belakang Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB, BM, BB} Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah A = {MM, MB, BM} Jadi, Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka adalah

Contoh (2): Contoh : Hitung probabilitas memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge yang lengkap! Jawab: Jumlah seluruh kartu = 52 Jumlah kartu hati = 13 Misal A adalah kejadian munculnya kartu hati, maka :

Contoh (3): Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat. Jawab : Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat (a). Probabilitas mendapatkan mint = (b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =

Contoh (4): Latihan : Pada pelemparan dua buah dadu : Tentukan ruang sampelnya! Bila A menyatakan kejadian munculnya dua dadu dengan muka sama, tentukan P(A)! Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu kurang dari 5, tentukan P(B)! Bila C menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu lebih dari sama dengan 7, tentukan P(C)!

Probabilitas kejadian majemuk (1): Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya.

Probabilitas kejadian majemuk (2): Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A, B, dan C adalah :

Contoh (1) : Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah 2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bila probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari kedua pelajaran tersebut? Jawab : Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalah kejadian lulus bahasa inggris, maka : Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah : P(M  B) = P(M) + P(B) – P(M  B) = 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36

Contoh (2): Contoh 1 : Diambil satu kartu acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila A adalah kejadian terpilihnya kartu As dan B adalah kejadian terpilihnya kartu wajik, maka hitunglah P(AB) Jawab :

Dua kejadian saling lepas (disjoint events atau mutually exclusive): Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka berlaku : Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas, maka berlaku :

Contoh : Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan? Jawab : Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)} Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6), (6,5)} Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 adalah : P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 6/36 + 2/36 – 0 = 8/36

Dua kejadian saling komplementer: Bila A dan A’ dua kejadian dalam S yang saling komplementer, maka berlaku :

Contoh: Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama. Jawab : Misal A = kejadian munculnya muka dua dadu yang sama = {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} maka P(A) = 6/36 Sehingga, Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’) adalah: P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 6/36 = 30/36

Dua kejadian saling bebas (independent): Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A. Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :

Contoh (1): Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas? Jawab : Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)} Misalkan, A = kejadian muncul muka dari uang logam 1  P(A) = 2/4 = ½ = {(m,m), (m,b)} B = kejadian muncul muka dari uang logam 2  P(B) = 2/4 = ½ = {(m,m), (b,m)} A  B = kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2 = {(m,m)}  P(A  B) = ¼ Bila A dan B saling bebas berlaku : P(A  B) = P(A). P(B) ¼ = ½ . ½ ¼ = ¼ Jadi, A dan B saling bebas.

Contoh (2): Contoh : Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka X  3 dadu I dan kejadian munculnya muka Y  5 dadu II saling bebas? Jawab : A= kejadian munculnya muka X  3 dadu I B= kejadian munculnya muka Y  5 dadu II Dari ruang sampel diperoleh : A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)} B={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6), (4,6),(5,6),(6,6)} Maka diperoleh P(A) = 18/36 = ½ dan P(B) = 12/36 = 1/3 Tetapi juga berlaku maka A dan B saling bebas.

Probabilitas bersyarat (conditional probability): Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi. Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca “probabilitas dimana B terjadi karena A terjadi”

Contoh (1) : Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery. Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery? Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk? Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria? Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita?

Jawab: Responsen J S Jumlah R 20 40 60 W 30 10 50 100 Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk. Jadi, Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah

Contoh (2) : Contoh : Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut : Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia : a. Laki-laki b. wanita Bekerja Menganggur Jumlah Laki-laki Wanita 460 140 40 260 500 400 600 300 900

Aturan Bayes : Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S. B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. S A1 A2 A3 B

probabilitas kejadian B adalah : P(B) = P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3) = disebut Hukum Probabilitas Total

Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat AiB dirumuskan sebagai berikut : disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).

Contoh: Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu.. Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah? Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?

Jawab P(bola yang terambil berwarna merah) = P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =

Latihan (1): 3 anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih menjadi ketua adalah 0.3. Peluang Pak Badu terpilih menjadi ketua adalah 0.5. Sedangkan peluang Pak Cokro terpilih adalah 0.2. Jika Pak Ali terpilih, maka peluang/probabilitas kenaikan iuran koperasi adalah 0.8. Jika Pak Badu terpilih, maka maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0.1. Dan jika Pak Cokro yang terpilih, maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0.4. Hitung peluang iuran akan naik ! Berapa probabilitas iuran tidak naik Jika seseorang merencanakan masuk jadi anggota koperasi tsb, tetapi menundanya beberapa minggu, dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, berapakah peluang Pak Cokro terpilih menjadi ketua koperasi Jika seseorang mendaftar dan ternyata iuran tidak naik, berapa probabilitas Pak Badu yang menjadi ketua?

Latihan (2): Seorang pegawai mempunyai dua mobil, satu sedan dan satu lagi Toyota Kijang. Untuk pergi bekerja dia menggunakan sedang 75% dan Kijang 25%. Bila dia menggunakan sedan biasanya dia tiba kembali di rumah 17.30 sebanyak 75% (75 dari 100 kali) sedangkan bila menggunakan Kijang dia tiba pukul 17.30 kira-kira 60% (tapi dia merasa lebih tenang memakai Kijang karena tidak terlalu khawatir diserempet mobil lain). Bila dia tiba di rumah pukul 17.30, berapakah peluangnya dia memakai sedan? Dan berapakah peluang dia tidak tiba di rumah pukul 17.30?

Latihan (3): Peluang bahwa seorang pria akan hidup selama 25 tahun adalah 3/5 dan peluang bahwa istrinya akan hidup selama 25 tahun adalah 2/3. Tentukan peluang bahwa: Keduanya akan hidup selama 25 tahun Paling sedikit salah satu dari mereka (suami/istri) yang hidup selama 25 tahun

Latihan (4): Ada 3 kotak, yaitu 1,2, dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan putih sbb: Mula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak yang terpilih diambil satu bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih. Berapa peluang bahwa bola itu merah Berapa peluang bahwa bola itu putih Bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 1? Bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 2?   Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Jumlah Bola Merah 5 7 8 20 Bola Putih 4 3 6 13 9 10 14 33