10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT (lanjutan 1)

Pengaturan 2 objek yang berbeda menghasilkan 2 urutan yang berbeda 10.6 Permutasi ( 2 objek) 1 2 1 2 2 1 Pengaturan 2 objek yang berbeda menghasilkan 2 urutan yang berbeda

Pengaturan 3 objek yang berbeda menghasilkan 6 urutan yang berbeda 10.6 Permutasi ( 3 objek) 3 2 1 1 2 3 3 2 1 3 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 3 2 1 1 3 2 1 Pengaturan 3 objek yang berbeda menghasilkan 6 urutan yang berbeda

Pengaturan 4 objek yang berbeda menghasilkan 24 urutan yang berbeda 10.6 Permutasi ( 4 objek) 4 3 2 1 4 3 1 2 4 1 2 3 1 3 2 4 Pengaturan 4 objek yang berbeda menghasilkan 24 urutan yang berbeda

Kesimpulan: Dalam melakukan pengaturan: 2 objek berbeda menghasilkan 2 urutan yang berbeda 3 objek berbeda menghasilkan 6 urutan yang berbeda 4 objek berbeda menghasilkan 24 urutan yang berbeda, atau dapat ditulis menjadi: 2 objek berbeda menghasilkan 2! urutan yang berbeda 3 objek berbeda menghasilkan 3! urutan yang berbeda 4 objek berbeda menghasilkan 4! urutan yang berbeda Berarti dalam melakukan pengaturan n objek yang berasal dari n objek yang berbeda menghasilkan n! urutan yang berbeda

Contoh 10.11 Berapa banyak kata yang dapat disusun dari kata “STMIK”? Penyelesaian: Jumlah huruf 5. Jadi jumlah kata yang dapat disusun dari kata “STMIK” adalah 5! = 120 buah kata Contoh 10.12 Berapa banyak cara mengurutkan 7 orang mahasiswa? Terdapat 7! cara untuk mengurutkan 7 orang mahasiswa, yaitu 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 840 cara

Pengaturan r objek berbeda dari n objek yang berbeda. Misal kita akan melakukan penyusunan 2 objek berbeda dari 5 objek yang berbeda. 1 2 2 1 3 1 4 1 5 1 3 1 2 4 5 3 1 3 2 2 3 2 4 2 5 4 1 4 2 4 3 3 4 3 5 5 1 5 2 5 3 5 4 4 5 Pengaturan 2 objek berbeda dari 5 objek yang berbeda menghasilkan 20 urutan yang berbeda.

Misal kita akan melakukan penyusunan 3 objek berbeda dari 5 objek yang berbeda.

Pengaturan 3 objek dari 5 objek yang berbeda 1 2 5 2 1 3 4 5 3 1 2 4 5 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 5 1 2 2 1 3 4 1 3 3 1 2 4 5 5 1 3 2 1 4 3 1 4 5 1 4 2 1 5 3 1 5 4 1 5 Pengaturan 3 objek dari 5 objek yang berbeda menghasilkan 60 urutan yang berbeda.

Jika kita susun 4 objek berbeda dari 5 objek yg berbeda, maka akan didapat 120 susunan objek yang berbeda. Kesimpulan: Susunan 2 objek berbeda berasal dari 5 objek yang berbeda menghasilkan 20 urutan berbeda = 4 x 5 = (1 x 2 x 3 x 4 x 5)/6 = 5! / 3! = 5! / (5 – 2)! Susunan 3 objek berbeda berasal dari 5 objek yang berbeda menghasilkan 60 urutan berbeda = 3 x 4 x 5 = (1 x 2 x 3 x 4 x 5 )/ 2 = 5! / 2! = 5! / (5 – 3)! Jika dilanjutkan untuk susunan 4 objek berasal dari 5 objek yang berbeda akan menghasilkan jumlah urutan berbeda 2 x 4 x 5 = (1 x 2 x 3 x 4 x 5) / 1 = 5!/1! = 5! / (5 – 4)!

Jika dilanjutkan untuk susunan r objek berasal dari n objek yang berbeda akan menghasilkan jumlah urutan berbeda, n! / (n – r)! Penyusunan r objek berbeda yang berasal dari n objek yang berbeda merupakan permutasi r dari n objek dan dapat ditulis dengan P(r, n).

Contoh 10.13 Jajaran kursi pada sebuah bioskop disusun secara berbaris yang terdiri dari 6 kursi per baris. Jika dua orang akan duduk pada suatu baris tertentu, berapa banyak kemungkinan susunan yang terjadi? Penyelesaian: n = 6 ; r = 2 P(n, r) = n!/ (n – r)! P(6, 2) = 6!/ (6 – 2)! = 6!/ 4! = 30

Permutasi melingkar Permutasi melingkar adalah permutasi yang disusun mengikuti geometri lingkaran. Sedangkan permutasi disusun mengikuti geometri garis lurus Permutasi melingkar lebih ditekankan pada tetangga dari masing-masing objek. Rumus permutasi melingkar = (n – 1)! Sebagai contoh: Pada gambar berikut terdapat 4 objek diskrit yang mengelilingi meja.

Tetangga: Kanan dari objek merah adalah ungu Kiri dari objek merah adalah biru Kanan dari objek biru adalah merah Kiri dari objek biru adalah hijau Kanan dari objek hijau adalah biru Kiri dari objek hijau adalah ungu Kanan dari objek ungu adalah hijau Kiri dari objek ungu adalah merah

Perhatikan

Misal terdapat n objek yang akan disusun secara melingkar. Objek pertama dapat ditempatkan dimana saja pada lingkaran dengan satu cara. Objek kedua ditempatkan pada tempat tertentu dengan (n – 1) cara. Objek ketiga dengan (n – 2) cara. Sedangkan objek terakhir ditempatkan dengan 1 cara. Sehingga jumlah cara menempatkan n objek secara melingkar adalah, 1 x ( n – 1 ) x ( n – 2 ) x … x 1 = (n – 1)! Rumus permutasi melingkar = (n – 1)!

Contoh 10.14 Misal terdapat sebuah meja yang akan diduduki oleh 8 orang tamu. Berapakah jumlah susunan yang berbeda dari tamu yang duduk mengelilingi meja? Penyelesaian: Jumlah susunan yang mungkin adalah (8 – 1)! = 840 kemungkinan susunan yang berbeda.

10.7 Kombinasi Kombinasi adalah bentuk khusus dari permutasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi urutan tidak diperhitungkan. Sebagai contoh Pada permutasi urutan abc, acb, bac, bca, cab, cba Dihitung sebanyak kemunculan, dalam hal ini 6 kemunculan. Sedangkan pada kombinasi urutan tidak diperhatikan. Artinya kemunculan dari abc, acb, bac, bca, cab, cba dihitung sebagai satu kemunculan.

Pengaturan r objek berbeda dari n objek yang berbeda. Misal kita akan melakukan penyusunan 2 objek berbeda dari 4 objek yang berbeda. Pengaturan 2 objek dari 4 objek yang berbeda menghasilkan 6 urutan yang berbeda. 1 2 3 4 3 1 2 4 atau 6 = ((1)(2)(3)(4))/(1)(2)(2) = ((1)(2)(3)(4))/(2)(1)(2) = 4!/2!(4 – 2)!

Misal kita akan melakukan penyusunan 4 objek berbeda dari 5 objek yang berbeda. 1 2 3 3 1 2 4 Pengaturan 3 objek dari 5 objek yang berbeda menghasilkan 4 urutan yang berbeda, atau 4 = ((1)(2)(3)(4))/(1)(2)(3) = ((1)(2)(3)(4)(5))/(2)(1)(2)(3) = 4!/3!(4 – 3)!

Jika dilanjutkan untuk susunan r objek berasal dari n objek yang berbeda akan menghasilkan jumlah urutan berbeda, n! / r! (n – r)! Penyusunan r objek berbeda yang berasal dari n objek yang berbeda merupakan kombinasi r dari n objek dan dapat ditulis dengan,

Contoh 10.15 Ada berapa cara untuk memilih 3 dari 4 anggota himpunan A = {a, b, c, d} Penyelesian: C(4, 3) = 4!/3! (4 – 3)! = 4 Contoh 10.16 Ada berapa banyak cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi? C(7, 3) = 7!/3! (7 – 3)! = 35 cara

10.8 Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum Misal kita mempunyai n buah bola yang terdiri dari: n1 buah bola berwarna 1, n2 buah bola berwarna 2, n3 buah bola berwarna 3, ⋮ nk buah bola berwarna k. n1 + n2 + n3 + … + nk = n

Contoh 10.17 Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI? Penyelesian: Huruf M = 1 buah (n1) Huruf I =4 buah (n2) Huruf S = 4 buah (n3) Huruf P = 2 buah (n4) n = n1 + n2+ n3+ n4 = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah Jumlah string yang dapat dibentuk P (11; 1, 4, 4, 2) =

10.9 Koeffisien Binomial Misalkan x dan y adlah peubah, dan n adalah bilangan bulat tak negatif, maka (x+y)0 = 1 1 (x+y)1 = (x+y) (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 2 (x+y)3 = x3 + 3x2y+ 3xy2 + y3 3 (x+y)4 = x4 + 4x3y+ 6x2y2 + 4xy3 + y4 4 6

Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan (x + y)n adalah: Suku pertama adalah xn Pada setiap suku berikutnya, pangkat x berkurang satu, sedangkan pangkat y bertambah 1. Untuk setiap suku, jumlah pangkat x dan y adalah n. 3. Koeffisien untuk xn-k yk, yaitu suku ke (k+1) adalah C(n, k). Bilangan C(n, k) disebur koeffisien binomial Dari aturan diatas didapat: (x+y)n = C(n, 0) xn + C(n, 1) xn-1 y1 + … + C(n, k) xn-k yk + … + C(n, k) yn =

Contoh 10.18 Tentukan suku ke 5 dari penjabaran perpangkatan (x – y)7 Penyelesaian: (x – y)7 = ( x + (–y))7 Suku ke 5 adalah: C(7, 4) x7-4 y4 = 35 x3 y4

Latihan Berapa banyak string 10 bit yang dapat disusun dari setidak -tidaknya 7 buah bit 1? Penyelesaian: C(10,7) + C(10,8)+C(10,9)+C(10,10) = 120 + 45 + 10 + 1 = 176

2. Seratus buah tiket (no. 1 s. d 2. Seratus buah tiket (no. 1 s.d. 100) yang dijual pada 100 orang yang berbeda diundi untuk mendapatkan 4 orang pemenang, yaitu pemenang 1, 2, 3, dan 4. Berapa banyak susunan pemenang? b. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 47 memenangkan hadiah 1? c. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 47 memenangkan salah satu hadiah? d. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 47 tidak menjadi salah satu pemenang? e. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 19 dan 47 menjadi pemenang? f. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 19, 47, dan 73 menjadi pemenang? g. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 19, 47, 73, dan 97 menjadi pemenang? h. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 19, 47, 73, dan 97 tidak menjadi pemenang?

2. Seratus buah tiket (no. 1 s. d 2. Seratus buah tiket (no. 1 s.d. 100) yang dijual pada 100 orang yang berbeda diundi untuk mendapatkan 4 orang pemenang, yaitu pemenang 1, 2, 3, dan 4. Berapa banyak susunan pemenang? P(100,4) = 94.109.400 b. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 47 memenangkan hadiah 1? P(99,3) = 941.094 c. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 47 memenangkan salah satu hadiah? P(4,1) . P(99,3) = 4 . 941094 = 3.764.376 d. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 47 tidak menjadi salah satu pemenang? P(99,4) = 90.345.024

e. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 19 dan 47 menjadi pemenang? P(4,2) . P(98,2) = 12. 9506 = 114.072 f. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 19, 47, dan 73 menjadi pemenang? P(4,3) P(97,1) = 2328 g. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 19, 47, 73, dan 97 menjadi pemenang? P(4,4) = 24 h. Berapa banyak susunan pemenang jika pemegang tiket nomor 19, 47, 73, dan 97 tidak menjadi pemenang? P(96,4) = 79.727.040