PANGKAT, AKAR, LOGARITMA, BANJAR dan DERET

1. PANGKAT Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan. Notasi xn berarti bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sbanyak n kali Contoh: * 6 x 6 x 6 x 6 cukup ditulis 64 * 1000 dapat diringkas menjadi 103 * 1/1000 dapat diringkas menjadi 10-3 * 35.000.000 dapat diringkas menjadi 35 x 106 * 4.500.000 dapat diringkas menjadi 4,5 x 106 * 0,000.34 dapat diringkas menjadi 3,4 x 10-4

Kaidah-Kaidah Pemangkatan Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah satu x0 = 1 ( x ≠ 0) Contoh: 50 = 1 Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri x1 = x Contoh: 51 = 5 Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol 0x = 0 Contoh: 05 = 0 Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali (multiplicative inverse) dari bilangan itu sendiri x-5 = 1/x5 Contoh: 2-5 = 1/25 = 1/32 = 32-1 Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilangan itu sendiri, dengan suku pembagi dalam pecahan menjadi pangkat dari akarnya, sedangkan suku terbagi menjadi pangkat dari bilangan yang bersangkutan Contoh:

Bilangan pecahan berpangkat adalah hasil bagi suku-suku berpangkatnya Contoh: Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi adalah bilangan berpangkat hasil kali pangkat-pangkatnya ( x a ) b = x ab Contoh: (22)3 = 22x3 = 26 =64 Bilangan dipangkatkan, pangkat-berpangkat adalah bilangan berpangkat hasil pemangkatan pangkatnya dalam hal ini c = ab

Hasil bagi bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat selisih pangkat-pangkatnya x a : x b = x a-b Contoh: 55 : 53 = 55-3 = 52= 25 Hasil bagi bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan x a : y a = (x/y) a Contoh: 32 : 52 = (3/5)2 = 9/25

Contoh : y = ax dimana : a = konstanta, x = variabel Fungsi Exponensial adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat suatu konstanta. Contoh : y = ax dimana : a = konstanta, x = variabel Ditulis dengan notasi exp (x) atau e x, dimana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nili x yang positif. Jika e = a. Maka :

2. AKAR Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat Akar dari suatu bilangan ialah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya. Jika x a, maka x sebagai basis dan a sebagai pangkat Jika x a = m, maka x dapat disebut sebagai akar pangkat a dari m dan dapat ditulis sebagai: Jika X a = m

Kaidah-kaidah Pengakaran Bilangan Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya dalam hal ini adalah basis Akar dari bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan pangkat dari akar menjadi suku pembagi

Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar-akarnya Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku-sukunya Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah (selisih) koefisien-koefisien terakar Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat baru akarnya ialah hasilkali pangkat dari akar-akar sebelumnya

3. LOGARITMA Logaritma merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran. Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut. Jika x a = m (dalam hal ini x adalah basis dan a adalah pangkat), maka pangkat a disebut juga logaritma dari m terhadap basis x yang ditulis dalam bentuk: a = x log m Biasanya logaritma berbasis 10 sehingga cukup ditulis log m

Kaidah-kaidah Logaritma x log x = 1 sebab x 1 = x x log1 = 0 sebab x 0 = 1 x log x a = a sebab x a = x a x log m a = a x log m x log m n = x log m + x log n x log m/n = x log m – x log n x log m m log x = 1 sehingga x log m = 1/m log x x log m m logn n log x = 1

K a s u s Sederhanakan dan selesaikan: a). 10√5 + 2√5 – 7√5 = b). (5√16) : (2√4) = Carilah x jika log x = 1,2304 .. ? Selesaikan x untuk log (3x + 298) = 3 .. ?

4. BANJAR dan DERET Di mana : Dn = Deret ke-n Banjar adalah sekumpulan bilangan (suku) yang memiliki pola tertentu : S1, S2, S3, .., Sn Di mana :       S1 : Suku ke-1,   S2 : Suku ke-2,      Sn : Suku ke-n Deret adalah penjumlahan dari suku-suku pada suatu banjar : Dn = Jn = S1 + S2 + S3+ ... Sn = Σ Si Di mana : Dn = Deret ke-n Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Dari sisi jumlah suku yang membentuknya, deret digolongkan atas deret berhingga dan deret tak berhingga. Deret berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tertentu, Deret tak berhingga adalah deret yang jumlah suku-sukunya tidak terbatas. Dari segi pola perubahan bilangan pada suku-sukunya, deret dibedakan menjadi banjar hitung, banjar ukur dan banjar harmoni n i=1

Banjar hitung adalah banjar yang antara dua suku berurutan mempunyai selisih yang besarnya sama. Rumus nya : Suku ke-n : Sn = a + (n-1) b Jumlah bilangan sampai suku ke-n : Jn = Dn = n/2 (a+ Sn) = n/2 {2a + (n-1) b} Dimana : a = S1 = Suku Pertama, n = Banyaknya suku b = Beda (selisih antara suku tertentu dengan suku sebelumnya besarnya tetap dapat bernilai positif atau negatif) Suatu banjar hitung, suku keempatnya 25 dan suku keenam 35. Berapa beda dan suku pertamanya?    Diketahui :    25 = S1 + (4 - 1) b                    35 = S1 + (6 - 1) b

25 = S1 + (4 - 1) b            35 = S1 + (6 - 1) b - 10 = - 2 b b = 5 Suatu banjar 6, 13, 20, ��, dst. Berapa suku ke-11...? Suatu banjar 5, 10, 15... Berapa suku dan deret ke-7...? Banjar ukur adalah banjar yang antara dua suku mempunyai hasil bagi sama besarnya. Rumusnya : Sn = apn-1 Dimana : Sn  : Suku ke – n, n : Banyaknya suku     a : Suku pertama, p : Pengali (nilai banding/ratio)= Sn/Sn-1 Deret ukur adalah jumlah suku-suku banjar ukur. Dn = Jn = a 1-pn = a – pSn , Dimana : Dn = Deret ke-n 1-p 1-p Banjar Harmoni adalah banjar yang sukunya kebalikan dari suku banjar hitung

Contoh : Suatu banjar 1, 3, 9, ....   Berapa Baris dan deret ke-5 ?     Jawab :, Diketahui : a = 1    p = 3     S5 = ap5-1 = 1 . 34 = 1 . 81 = 81 D5 = a – pSn = 1- 3.81 = 1-243 = -242 = 121 1-p 1-3 -2 -2 Contoh soal : Konveksi “Sayang Anak” berproduksi 1500 lusin di tahun pertama dan peningkatam produksinya setiap tahun 100 lusin, berapa lusin produksinya ditahun ke tiga dan total produksi sampai tahun ke tiga ? Diketahui : a = 1500, b = 100, n = 3, Ditanya : S3 dan D3 ..... ?

Jawab : Sn = a + (n-1) b Dn = n/2 (a+ Sn) S3 = 1500 + (3-1)100= 1700 D3 = 3/2 (1500+1700)= 4800 Seorang pedagang memperoleh laba sebesar Rp.700 ribu pada bulan kelima dari operasi usahanya. Laba yang diperoleh selama tujuh bulan Rp.4.620 ribu,- berapakah laba yang diperoleh pada bulan pertama dan berapa peningkatan laba perbulan, berapakah laba di bulan ke-10 serta total laba setahun ? Diketahui : Sn=a + (n-1)b; Dn = n/2 (a+ Sn)=n/2 {2a + (n-1) b} a. S5 = a + (5-1) b ; 700 ribu = a + 4b .... (1) D7 = 7/2 (2a+ (7-1)b) ; 4.620 ribu = 7a + 21b .... (2)

a + 4b = 700 ǀ x7ǀ 7a + 28b = 4.900 7a + 21b = 4.620 ǀx1ǀ 7a + 21b = 4.620 7b = 280 b = 40 ribu a + 4 (40) = 700 a = 540 ribu Jadi laba pada bulan pertama = Rp.540 ribu, Dan peningkatan laba perbulan = Rp.40 ribu b. S10 = a + 9b = 540 + 9 (40) = 540 + 360 = Rp.900 ribu c. Dn = n/2 (a+ Sn)=n/2 {2a + (n-1) b} D12 = 12/2 {2(540) + (11) 40} = 6 { 1080 + 440 } = 6 (1.520) = Rp. 9.120 ribu