TEORI PROBABILITAS Pertemuan 26

A. HIMPUNAN 1.Pengertian Himpunan. Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan. Setiap objek yang secara kolektif membentuk himpunan, disebut elemen atau unsur atau anggota himpunan.

2.Penulisan Himpunan Dalam Statistik, himpunan dikenal sebagai populasi. Himpunan dilambangkan dengan pasangan kurung kurawal { }, dan dinyatakan dengan huruf besar: A, B,... Anggota himpunan ditulis dengan lambang , bukan anggota himpunan dengan lambang .

Himpunan dapat ditulis dengan 2 cara : Cara Pendaftaran. Unsur himpunan ditulis satu persatu/didaftar Contoh : A={a,i,u,e,o}, B={1,2,3,4,5} Cara Pencirian. Unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat / ciri-ciri himpunan tsb. Contoh : A={ X : x huruf hidup } B={ X : 1  x  5 }

3. Macam-macam Himpunan a.Himpunan Semesta Himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan atau menjadi objek pembicaraan. Dilambangkan S atau U. Contoh : S=U={a,b,c,…..} S=U={ X : x bilangan asli}

b.Himpunan Kosong. Himpunan yang tidak memiliki anggota. Dilambangkan { } atau . c.Himpunan Bagian. Himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain. Dilambangkan . Dalam statistik himpunan bagian merupakan sampel.

Contoh : Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap unsur A merupakan unsur B, atau A termuat dalam B, atau B memuat A. Dilambangkan : A  B. Banyaknya himpunan bagian dari sebuah n unsur adalah 2n

Contoh Soal Jika Diketahui A = {1, 2, 3}, tentukan banyaknya himpunan bagian dari A dan tuliskan himpunan-himpunan bagian tersebut! Jawab: Banyaknya himpunan bagian A adalah 2 3 =8 Himpunan-himpunan bagian itu adalah: { } , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

d. Himpunan Komplemen. Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan. Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau

Contoh Soal Diket: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {2, 4, 6} Tentukan 𝐵 ′ ! Jawab: 𝐵 ′ = {1, 3, 5, 7} Diagram Venn : 𝐵 ′ adalah Yang Berwarna Biru S 𝐵 ′ B

Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. 4. Operasi Himpunan. a.Operasi Gabungan (Union). Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B. Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. A  B ={X:x  A, x  B, atau x  AB }

Contoh Gabungan Himpunan Jika diketahui: S= { X: 0≤𝑥≤10 } P = { 2, 3, 5, 7 } G = {2, 4, 6, 8, 10} Tentukan 𝑃∪𝐺 ! Jawab : 𝑃∪𝐺 = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 } S 𝑃∪𝐺

b. Operasi Irisan (interseksi) Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk di dalam A dan di dalam B. Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.

Contoh Himpunan Irisan Jika diketahui: S= { X: 0≤𝑥≤10 } P = { 2, 3, 5, 7 } G = {2, 4, 6, 8, 10} Tentukan 𝑃∩𝐺 ! Jawab : 𝑃∩𝐺 = { 2 } S 𝑃∩𝐺

c. Operasi Selisih Selisih himpunan A dan B adalah semua unsur A yang tidak termasuk di dalam B. Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A – B atau A  B’

Contoh Soal Selisih Jika diketahui: S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } P = { 2, 3, 5, 7 } G = {2, 4, 6, 8} Tentukan 𝑃−𝐺 ! Jawab : 𝑃−𝐺 = { 3, 5, 7 } S P-G

5. Beberapa Aturan Dalam Himpunan A) Hukum Komutatif 𝐴∪𝐵=𝐵∪𝐴 𝐴∩𝐵=𝐵∩𝐴 B) Hukum Asosiatif (𝐴∪𝐵)∪𝐶=𝐴∪(𝐵∪𝐶) (𝐴∩𝐵)∩𝐶=𝐴∩(𝐵∩𝐶)

C) Hukum Distributif 𝐴∩(𝐵∪𝐶)=(𝐴∩𝐵)∪(𝐴∩𝐶) 𝐴∪(𝐵∩𝐶)=(𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶) D) Hukum Identitas 𝐴∩𝑆=𝐴 𝐴∩∅=∅ E) Hukum Komplementasi 𝐴∩ 𝐴 ′ =∅ 𝐴∪ 𝐴 ′ =𝑆

F) 𝑛 𝐴∪𝐵 =𝑛 𝐴 +𝑛 𝐵 −𝑛 𝐴∩𝐵 𝑛 𝐴∪𝐵∪𝐶 =𝑛 𝐴 +𝑛 𝐵 +𝑛 𝐶 −𝑛 𝐴𝐵 −𝑛 𝐴𝐶 −𝑛 𝐵𝐶 +𝑛 𝐴𝐵𝐶 𝑛 𝐴 =bilangan kardinal himpunan A Atau 𝑛 𝐴 =Jumlah Anggota Himpunan A

Contoh Soal Suatu kelas jumlah mahasiswanya 70 orang, 50 orang diantaranya senang statistik, 40 senang matematika dan 30 orang senang statistik dan matematika. A) berapa orang yang tidak senang statistik dan matematika? B) gambarkan diagram Venn nya!

Latihan Soal: Perhatikan Ruang Sampel berikut! Yang menyatakan sbb: A= {2, 3, 5, 7, 11, 13} B= {2, 4, 6, 8, 10}

Pertanyaan: tentukan Anggota Himpunan-himpunan berikut! A) A ∪𝐵 C) 𝐴∩𝐵 D) 𝐴 ′ ∩𝐵 E) B- 𝐴 ′ F) A- B G) B’

Permutasi Dan Kombinasi Permutasi dan kombinasi selalu berkaitan dengan prinsip dasar membilang dan faktorial. a. Prinsip dasar membilang.

Contoh Soal: Seorang pengusaha ingin dari Jakarta ke Makasar melalui Surabaya. Jika Jakarta-Surabaya dapat dilalui dengan tiga maskapai penerbangan dan Surabaya-Makasar dapat dilalui dengan 2 maskapai penerbangan, ada berapa cara pengusaha tersebut dapat tiba di Makasar melalui surabaya?

b. Faktorial Faktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positif (bilangan asli) terurut mulai dari bilangan 1 sampai dengan bilangan bersangkutan. Faktorial dilambangkan “ ! “ Jika : n = 1, 2, … maka : n! = n (n-1) (n-2)…x 2 x 1 = n (n-1)! Note: 1! = 1 0! = 1

SOAL 1. 5! 2. 3! X 2! 3. 6! 4!

1. Permutasi a.Pengertian Permutasi Suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu. Contoh : 3 Objek ABC, pengaturan objek tersebut adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA yang disebut permutasi. Jadi permutasi 3 objek menghasilkan 6 pengaturan dengan cara yang berbeda.

b. Rumus-rumus Permutasi 1.Permutasi dari n objek tanpa pengembalian. a. Permutasi dari n objek seluruhnya. nPn = n ! Contoh: Tentukan nilai dari 4P4 ! Jawab : 4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

SOAL Pada Suatu Tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda, 3 buku statistik yang berbeda dan 2 buku akuntansi. Semua buku akan disusun pada sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin dari kejadian berikut ini? – buku-buku matematika dapat disusun? - buku-buku statistik dapat disusun? - buku-buku akuntansi dapat disusun? - ketiga kelompok buku dapat disusun disusun? Masing-masing kelompok buku (subjek) disusun bersama (dijadikan satu)?

b. Permutasi sebanyak r dari n objek.

Contoh : 1) Tentukan nilai dari 6P4! 2) Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A, B, C, D hendak dipilih menjadi ketua, sekretaris, bendahara. a. Berapa cara keempat calon tersebut dipilih ? b. Tuliskan kemungkinan susunannya !

2. Permutasi dari n objek dengan pengembalian. Permutasi dari n objek dengan pengembalian dirumuskan : Contoh : Tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan pengembalian unsur yang terpilih.

3. Permutasi dari n objek yang sama. Permutasi dari n objek yang sama dirumuskan : Contoh : Tentukan permutasi dari kata “TAMAT”

2. KOMBINASI Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut .

Rumus-rumus Kombinasi : a. Kombinasi r dari n objek yang berbeda. Dimana : n  r Contoh : Dari 5 pemain bulu tangkis, akan dipilih 2 orang untuk pemain ganda. Berapa banyak kombinasi pemain ganda yang mungkin terbentuk ?

2. Hubungan permutasi dengan kombinasi. Hubungan permutasi dan kombinasi dinyatakan sebagai berikut :

1.Pengertian Probabilitas. C. PROBABILITAS 1.Pengertian Probabilitas. Pengertian probabilitas dapat dilihat dari tiga macam pendekatan, yaitu : Pendekatan Klasik. Frekuensi relatif. Subyektif.

Pendekatan Klasik Probabilitas diartikan sebagai hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin.

Menurut pendekatan klasik, Probabilitas dirumuskan : Keterangan : P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A X = peristiwa yang dimaksud n = banyaknya peristiwa yang mungkin

Pendekatan Frekuensi Relatif Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas diartikan sebagai : Proporsi waktu terjadinya peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi stabil ; atau Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.

Menurut pendekatan frekuensi relatif, Probabilitas dirumuskan : Keterangan : P(X) = probabilitas peristiwa i fi = frekuensi peristiwa i n = Banyaknya peristiwa.

Pendekatan subyektif Menurut pendekatan subyektif, probabilitas diartikan sebagai tingkat kepercayaan individu yang didasarkan pada peristiwa yang lalu.

Probabilitas memiliki batas mulai 0 sampai dengan 1 ( 0  P  1 ) Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi. Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi. Jika 0  P  1, disebut probabilitas kemungkinan,artinya kejadian atau peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.

2. Percobaan, Ruang Sampel, Titik Sampel dan Peristiwa. Percobaan adalah proses pelaksanaan pengukuran atau observasi yang bersangkutan. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan. Titik Sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel. Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel pada suatu percobaan, atau hasil dari percobaan.

3. Probabilitas Beberapa Peristiwa. Peristiwa Saling Lepas. ( Mutually exclusive) Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapa terjadi pada saat yang bersamaan.

Jika peristiwa A dan B saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (A atau B) = P (A) + P (B) atau P ( A  B) = P (A) + P (B)

Peristiwa tidak saling lepas. (non exclusive) Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling lepas, apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Peristiwa tidak saling lepas disebut juga peristiwa bersama.

Jika dua peristiwa A dan B tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (A atau B ) =P(A) + P(B) - P(A dan B) P ( A  B) =P(A) + P(B) – P(A  B)

Peristiwa Saling Bebas. ( peristiwa independen) Apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. Probabilitas peristiwa saling lepas dibedakan atas tiga macam, yaitu : Probabilitas marginal / tidak bersyarat. Probabilitas gabungan. Probabilitas bersyarat.

1. Probabilitas marginal. Probabilitas tidak bersyarat. Probabilitas terjadinya suatu Peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain.

2. Probabilitas Gabungan Terjadinya 2 peristiwa atau lebih secara berurutan dan peristiwa-peristiwa tersebut tidak saling mempengaruhi. Jika peristiwa A dan B gabungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (A  B) = P (A) x P (B)

3. Probabilitas Bersyarat Probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi. Jika B bersyarat terhadap A, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P (B/A) = P (B)

Peristiwa tidak saling bebas. Apabila peristiwa yang satu dipengaruhi atau bergantung pada peristiwa lainnya. Probabilitas Bersyarat :

Probabilitas Gabungan. Probabilitas Marginal. P (A  B) = P (A) x P (B/A) Probabilitas Marginal. P (A) = P (B  A) = P (A1) x P (B/A1) , i = 1,2,3