FUNGSI STRUKTUR DISKRIT K-8 Program Studi Teknik Komputer

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (Bag. 1)
Advertisements

Pemrograman Terstruktur
START.
Menunjukkan berbagai peralatan TIK melalui gambar
KEAMANAN KOMPUTER ADITYO NUGROHO,ST TEKNIK PERANGKAT LUNAK UNIVERSITAS PGRI RONGGOLAWE TUBAN PERTEMUAN 3 – LANDASAN MATEMATIKA.
Translasi Rotasi Refleksi Dilatasi
1 ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Drs. Toto’ Bara Setiawan, M.Si. (
Tugas Praktikum 1 Dani Firdaus  1,12,23,34 Amanda  2,13,24,35 Dede  3,14,25,36 Gregorius  4,15,26,37 Mirza  5,16,27,38 M. Ari  6,17,28,39 Mughni.
4/5/2017 PL/SQL SITI MUKAROMAH,S.Kom.
3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI
Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul
Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
Matematika Diskrit Dr.-Ing. Erwin Sitompul
3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI
Rekursi dan Relasi Rekurens
Definisi Fungsi adalah : jenis khusus dari relasi
MATRIKS Trihastuti Agustinah.
WEEK 6 Teknik Elektro – UIN SGD Bandung PERULANGAN - LOOPING.
FUNGSI REF : 1. Rosen, Kenneth H., 2003, Discrete mathematics and its application, fifth-ed. 2. Keith Devlin, Set, function and logic, 2004.
ASIKNYA BELAJAR MATEMATIKA
Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini
Rabu 23 Maret 2011Matematika Teknik 2 Pu Barisan Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton.
Algoritma Runut-balik (Backtracking)
Luas Daerah ( Integral ).
Pengantar IF2091 Struktur Diskrit
PEMINDAHAN HAK DENGAN INBRENG
Fungsi Invers, Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri
Pertemuan-4 : Recurrences
Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
FUNGSI MATEMATIKA DISKRIT K- 6 Universitas Indonesia
Pemrograman Terstruktur
EKUIVALENSI LOGIKA PERTEMUAN KE-7 OLEH: SUHARMAWAN, S.Pd., S.Kom.
Turunan Numerik Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I
Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini
Pengantar Matematika Diskrit
Waniwatining II. HIMPUNAN 1. Definisi
Himpunan Pertemuan Minggu 1.
FUNGSI.
Pertemuan ke 8 FUNGSI…..
Bahan Kuliah IF2091 Struktur Diskrit
Algoritma Branch and Bound
Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit Oleh: Rinaldi Munir
Logika (logic).
PENDAHULUAN STRUKTUR DISKRIT K-1 Program Studi Teknik Komputer
KOMBINATORIAL STRUKTUR DISKRIT K-1 Program Studi Teknik Komputer
Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit
Pertemuan ke 6.
Pohon (bagian ke 6) Matematika Diskrit.
PENDAFTARAN TANAH Pendaftaran Tanah (Pasal 1 angka 1 PP No.24 Th 1997)
HIMPUNAN Oleh Erviningsih s MTsN Plandi Jombang.
Fungsi Definisi : Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu.
5. FUNGSI.
BAB III MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI
Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam.
MATRIKS, RELASI & FUNGSI
BAB 3 MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI
BAB III MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI
MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI.
Relasi dan Fungsi.
Fungsi, induksi matematika dan teori bilangan bulat
Fungsi Oleh: Sri Supatmi,S.Kom Rinaldi Munir, Matematika Diskrit
Relasi dan Fungsi.
LOGIKA MATEMATIKA PERTEMUAN 4 KOMPOSISI BENTUK FUNGSI
Matematika Diskrit Fungsi Dani Suandi, S.Si.,M.Si.
FUNGSI Matematika Diskrit Sebuah Masalah yang telah jelas digambarkan
Logika Matematika Fungsi Heru Nugroho, S.Si., M.T.
BAB III MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI
Landasan Matematika Kriptografi
Matematika Diskrit Fungsi Heru Nugroho, S.Si., M.T.
Matematika Diskrit Semester Genap TA Fungsi.
Transcript presentasi:

FUNGSI STRUKTUR DISKRIT K-8 Program Studi Teknik Komputer Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia Struktur Diskrit

DEFINISI FUNGSI Relasi biner f dari himp A ke himp B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Notasi : Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A  B yang artinya f memetakan A ke B. Struktur Diskrit

DEFINISI FUNGSI A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.   Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B. Struktur Diskrit

DEFINISI Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B. Struktur Diskrit

DEFINISI Fungsi adalah relasi yang khusus: Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b)  f dan (a, c)  f, maka b = c. Struktur Diskrit

Penyajian Fungsi Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan f(x) = 1/x. Kata-kata, Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”. Struktur Diskrit

Penyajian Fungsi Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| function abs(x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end; Struktur Diskrit

Contoh 1: Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B. Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B. Struktur Diskrit

Contoh 2: Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}. Struktur Diskrit

Contoh 3: Relasi f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B. Struktur Diskrit

Contoh 4: Relasi f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke dua buah elemen B, yaitu u dan v. Struktur Diskrit

Contoh 5: Misalkan f : Z  Z didefinisikan oleh f(x) = x2. Daerah asal dan daerah hasil dari f adalah himpunan bilangan bulat, dan jelajah dari f adalah himpunan bilangan bulat tidak-negatif. Apakah f merupakan fungsi ? Struktur Diskrit

DEFINISI Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. Struktur Diskrit

Contoh 6: Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu, Tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u. Struktur Diskrit

Contoh 7: Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah a. f(x) = x2 + 1 dan b. f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu ? Struktur Diskrit

Jawab Contoh 7: a. f(x) = x2 + 1 adalah bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2  2. b. f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a  b, maka a – 1  b – 1. Misal untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3. Struktur Diskrit

DEFINISI Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dpl, seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B. Struktur Diskrit

Contoh 8: Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f. Struktur Diskrit

Contoh 9: Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah a. f(x) = x2 + 1 dan b. f(x) = x – 1 merupakan fungsi pada ? Struktur Diskrit

Jawab Contoh 9: a. f(x) = x2 + 1 adalah bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. b. f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1. Struktur Diskrit

FUNGSI BIJEKTIF Fungsi f dikatakan bijektif (bijection) jika f : fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada. Contoh 10 : Relasi f = {(1, v), (2, w), (3, u)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang bijektif, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. Struktur Diskrit

Contoh 11: f : Z  Z. Fungsi didefinisikan f(x) = x – 1 apakah f merupakan fungsi bijektif ? Jawab : f merupakan fungsi bijektif karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada. Struktur Diskrit

FUNGSI INVERS Jika f adalah fungsi bijektif dari A ke B, maka kita dapat menemukan fungsi invers dari f. Invers dari fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b. Struktur Diskrit

FUNGSI INVERS Fungsi yang bijektif sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi invers-nya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang bijektif, karena fungsi inversnya tidak ada. Struktur Diskrit

Contoh 12: Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang bijektif. Invers fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}   merupakan fungsi. Jadi, f adalah fungsi invertible. Struktur Diskrit

Contoh 13: Tentukan fungsi invers dari f(x) = x + 1. Jawab : Fungsi f(x) = x +1 adalah fungsi yang bijektif, jadi fungsi inversnya tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x + 1, maka x = y – 1  f-1(y) = y – 1. Jadi, fungsi inversnya adalah f-1(x) = x – 1. Struktur Diskrit

Fungsi Komposisi Komposisi dari dua buah fungsi. Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f  g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f  g)(a) = f(g(a)) Struktur Diskrit

Contoh 14 : Diberikan fungsi g : A  B dengan g = {(1, u), (2, v), (3, v)}, A = {1, 2, 3} dan B = {u, v, w}, serta fungsi f : B  C dengan f = {(u, y), (v, x), (w, z)}, B = {u, v, w} dan C = {x, y, z}. Maka Fungsi komposisi dari A ke C adalah f  g = {(1, y), (2, x), (3, x) } Struktur Diskrit

Contoh 15 : Diberikan suatu fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f  g dan g  f . Penyelesaian: (i) (f  g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2. (ii) (g  f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 – 2x + 2. Struktur Diskrit

Beberapa Fungsi Khusus 1. Fungsi Floor dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsi floor dari x: x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Struktur Diskrit

Beberapa Fungsi Khusus Fungsi ceiling dari x: x menyatakan nilai bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. Dpl, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas. Struktur Diskrit

Contoh 16 : Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling:   3.5 = 3 3.5 = 4 0.5 = 0 0.5 = 1 4.8 = …. 4.8 = …. – 0.5 = …. – 0.5 = …. –3.5 = …. –3.5 = …. Struktur Diskrit

Contoh 17 : Pada komputer, data dikodekan dalam untaian byte, satu byte terdiri atas 8 bit. Jika panjang data 132 bit, maka jumlah byte yang diperlukan untuk merepresentasikan data adalah : Bahwa 17  8 = 136 bit, sehingga untuk byte yang terakhir perlu ditambahkan 4 bit ekstra agar satu byte tetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi 8 bit disebut padding bits). 132/8 = 17 byte. Struktur Diskrit

Beberapa Fungsi Khusus 2. Fungsi modulo Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.   a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m. Struktur Diskrit

Contoh 18 : Beberapa contoh fungsi modulo 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = 0 (sebab –25 = 7  (–4) + 3 ) Struktur Diskrit

Beberapa Fungsi Khusus 3. Fungsi Faktorial  Struktur Diskrit

Beberapa Fungsi Khusus 4. Fungsi Eksponensial   Untuk kasus perpangkatan negatif,  Struktur Diskrit

Beberapa Fungsi Khusus 5. Fungsi Logaritmik berbentuk Struktur Diskrit

Fungsi Rekursif Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. Contoh: n! = 1  2  …  (n – 1)  n = (n – 1)!  n.    Struktur Diskrit

Fungsi Rekursif Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian: (a) Basis Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif. (b) Rekurens Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus menuju ke nilai awal (basis). Struktur Diskrit

Contoh 19 Basis : n! = 1 Jika n = 0 Rekurens : n! = n x (n-1)! Jika n > 0 Struktur Diskrit

Algoritma Faktorial dari n Fakt (n) IF n < 1 THEN Fakt  1 ELSE Fakt  n * Fakt (n -1) END IF; Struktur Data & Algoritma - Rekursif

Struktur Data & Algoritma - Rekursif Simulasi Kasus 1 : 4!....? 4 24 * 4 3 6 * 3 2 2 * 2 1 1 Struktur Data & Algoritma - Rekursif

Algoritma Iteratifnya Faktorial dari n INPUT n fak  1 FOR j = 1 TO n fak  fak + j NEXT J OUTPUT fak Struktur Data & Algoritma - Rekursif

Struktur Data & Algoritma - Rekursif Contoh 20 : Jumlah n suku pertama bilangan Asli sum (n) IF n < 2 THEN sum  1 ELSE sum  n + sum (n -1) END IF; Struktur Data & Algoritma - Rekursif

Algoritma Iteratifnya INPUT n s  0 FOR i = 1 TO n s  s + i NEXT i OUTPUT s Struktur Data & Algoritma - Rekursif

Algoritma Iteratifnya Dengan pwngulangan WHILE-DO INPUT n s  0 i  1 WHILE i ≤ n DO s  s + i i  i + 1 END WHILE OUTPUT s Struktur Data & Algoritma - Rekursif

Contoh 21 : Contoh lain fungsi rekursif Struktur Diskrit

Contoh 22 : Fungsi Fibonacci : f(6) = ? f(40) = ? Berapa kali pemanggilan fungsi rekursifnya ? Struktur Diskrit

Referensi : Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Application to Computer Science 5th Edition, Mc Graw-Hill, 2003. Richard Johsonbaugh, Discrete Mathematics, Prentice-Hall, 2009. Rinaldi Munir, Matematika Diskrit Penerbit Informatika, Bandung. Struktur Diskrit