TEORI GRAF Graf adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan secara tepat. Misalkan: bentuk struktur organisasi, diagram alir, peta Digunakan unt. Merepresintasikan objek-objek diskret dan hub. Antara objek-objek tsb, dalam bentuk garis berarah ataupun tidak berarah Secara visual objek dinyatakan dg bulatan atau titik dan hubungan antara objek dinyatakan dg garis. Contoh Sebuah bagan struktur organisasi atau Sebuah peta jaringan jalan raya yg menghubungkan kota-kota dimana kota dinyatakan bulatan dan jalan dinyatakan garis

1. DASAR-DASAR TEORI GRAF Suatu graf G terdiri dari 2 himpunan yg berhingga, yaitu himp titik-titik yg tdk kosong (V(G))dan himp garis-garis (E(G)), titik-titik tsb dinamakan titik ujung dan garis-garis tsb dinamakan Loop. Dua garis yg berbeda menghubungkan titik yg sama disebut garis paralel sedangkan titik yang tdk mempunyai garis penghubung disebut titik terasing, jika semua garisnya berarah disebut graf berarah (Directed Graph) atau Digraph. Jika semua garisnya tidak berarah maka disebut Graf Tak berarah (Undirected Graph) atau disebut Graf saja. Contoh: Ada tujuh kota (A,B,…,G) yg beberapa kota dapat dihubungkan langsung dengan jalan darat sbb: A dengan B dan D; B dengan D; C dengan B; dan E dengan F. Buatlah graf yang menunjukkan transportasi dari 7 kota tersebut.

lanjutan Dg adanya peta tsb kita dpt mengetahui: apakah ada jalan antara dua buah kota? Jika ada jalan antara dua buah kota bertetangga maka kita dpt menentukan rute perjalanan tersingkat dan msh ada pertanyaan-pertanyaan yang lain Sejarah Graf Jembatan Koningsberg adl masalah pertama kali yg menggunakan model graf dimana terdpt sungai yg mengitari pulau Koningsberg lalu menjadi 2 buah anak sungai dan disana ada 7 jembatan. Masalahnya apakah mungkin melalui ketujuh buah jembatan itu 1 kali lalu ke kembali ketempat asal ?jawab: coba-coba, model/Euler

Definisi Graf : Pasangan himpunan (V,E) Jawaban yg dikemukakan Euler tdk mungkin melalui 7 jembatan itu masing2 satu kali kembali ke tmpat asal jika derajat setiap simpul tdk seluruhnya genap. Definisi Graf : Pasangan himpunan (V,E) dimana: V={v1, v2, ….,vn} adl kumpulan simpul-simpul E={e1, e2,…..,en} adl kumpulan sisi-sisi.Contoh Tentukan himpunan simpul dan sisi graf di atas

2. MACAM-MACAM GRAF Jenis graf tergantung sudut pandang pengelompokannya yaitu: 1.Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ada dua jenis yaitu graf sederhana yaitu graf yang tdk mempunyai Loop atau garis paralel dan graf tidak sederhana yaitu graf yang mempunyai Loop( dipecah lagi graf ganda dan graf semu yaitu yg mengandung sisi gelang). 2.Berdasarkan jumlah simpul ada 2 jenis Yaitu graf berhingga dan graf tak berhingga. 3. Berdasarkan arah pada sisi ada 2 jenis yaitu graf tak ber arah dan graf berarah(urutan pasangan simpul berarti.

Contoh –contoh terapan graf yaitu pada: Rangkaian listrik Isomer senyawa kimia karbon Transaksi konkuren pd basis data terpusat Pengujian program Teori otomata Turnamen Round-Robin ISTILAH dalam GRAF Beberapa istilah dlm graf sbb: Ketetanggaan Kedua simpul disebut bertetangga bila keduanya berhubungan langsung. Kalau ditulis secara formal yaitu: Vj dan Vk dikatakan bertetangga jika setiap eЄE sedemikian hingga e=(vj,, vk). Contoh

lanjutan 2. Bersisian untuk sembarang sisi e=(vj,, vk). Dikatakan e bersisian dg simpul vj atau simpul vk. 3. Simpul terpencil simpul yg tdk mempunyai sisi yg bersisian dgnya atau simpul yg tdk bertetangga dg simpul lain. 4. Graf kosong Graf yang tdk mempunyai sisi tetapi simpul harus ada

5. Derajat suatu simpul, d(v) Derajat simpul adl jml sisi yg bersisihan dg simpul tsb. Contoh. Derajat pd suatu graf= jumlah derajat simpul-simpul yang dinotasikan ∑d(v)= 2|E| , dan ∑d in(v)= ∑d ot(v)= |E| Soal Diketahui graf dg 5 buah simpul dapatkah menggambarkan graf tsb jika masing-masing simpulnya mempunyai derajat adalah (a) 2,3,1,1,2 (b) 2,3,3,4,4 Teorema: Untuk sembarang Graf banyak simpul yg berderajat ganjil selalu genap

6. Lintasan Lintasan dr simpul vp ,ke v q dlm graf graf adl rangkaian simpul diawali dr simpul vp , dan diakhiri simpul v q sedemikian hingg didapat sisi-sisi disetiap dua simpul dlm lintasan tsb. Tatapi jika graf tdk sederhana rangkaian simpul dan sisi berselang seling. Panjang lintasan= jumlah sisi Macam lintasan: # Lin. Sederhana adl semua sisi yg dilalui sekali # Lin. Elementer adl semua simpul yg dilalui sekali kecuali simpul pertama dan terakhir. # Lin. Terbuka adl simpul awal dan akhir berbeda # Lin. Tertutup adl simpul awal dan akhir sama. Contoh!

7. Sirkuit/siklus adl Lin. Elementer dg simpul awal dan akhir sama # Panjang sirkuit adl jumlah sisi pd sirkuit tsb #Macam-macar sirkuit: -Sirkuit sederhana adl sisi yg dilalui hanya sekali. -Sirkuit elementer adl simpul yang dilalui hanya sekali Contoh lihat gambar graf berikut 1 tentukan macam sirkuit beri kut (a) 1,2,3,1 2 3 (b) 1,2,4,3,2,1 Jawab:a)s. sederhanan & 4 sir. Elementer b) bukan sir.sederhana & bukan sir. elementer

8. Graf Berbobot : graf yg setiap sisinya diberi harga Misal: bobot sisinya tentang jarak, biaya, waktu antar 2 kota, waktu tempuh pesan antar simpul komunikasi (dlm jaringan komputer) dsb. contoh a 10 12 8 e b 11 9 15 d c 14

# Apa bila terdapat lebih darisatu lintasan antar 2 kota Aplikasi Graf Graf digunakan sbg alat unt mereprensikan /memodelkan persoalan Jadi jika kita menyelesaikan persoalan dg graf maka grafnya hrs dibuat dulu. beberapa aplikasi graf yg berkaitan dg lintasan/sirkuit yaitu persoalan Lintasa terpendek, persoalan pedagang keliling, dan persoalan tukang pos cina. Lintasan terpendek. Persoalan ini ada kaitannya dg optimasi dan graf yg digunakan adl graf berbobot (setiap sisinya diberi nilai atau bobot). Contoh. # Apa bila terdapat lebih darisatu lintasan antar 2 kota # apa bila terdpt lebih dari satu jalur komunikasi antar kom

Dalam kuliah ini jenis lintasan terpendeknya dipilih dari simpul tertentu kesemua simpul yg lain Algoritma Dijkstra (mencari lintasan terpendek dari simpul tertentuke semua simpul yg lain) Misal: ada n buah simpul dg matrik ketetanggan M = [ m ij ] dimana m ij= bobot sisi (i,j) pd graf tak berarah m ij = mji, , mii=0 , dan m ij = θ Larik S = [si ] dimana si=1 temasuk lintasan terpendek si=0 tdk masuk lin. Terpendek larik/tabel D=[di] dimana di=panjang lin dr awal s ke simp. i #Langkah 0 (inisialisasi) Inisialisasi si=0 dan di=mai ,unt. i=1,2,…..n # langkah 1:- isikan sa=1(krn simpul a adl simpul asal)

- isikan da=∞(tdk ada lint. dari a ke a ) Langkah 2,3,…(n-1) - cari j sedemikian hingga sj=0 dan dj={ d1,……dn} - isi sj dgn 1 - perbarui dj, unt. i=1,2,3,….n dgn ketentuan sbb dj(baru)=min{dj (lama)+mji} Contoh. Tentukan lint. Terpendekdari simpul awal a=1 ke semua simpul lainnya bila diket. Graf berikut

lanjutan Contoh 5 1500 4 3 250 800 1200 1000 2 6 1000 300 900 1400 1 1700 540000007 7 1000 8 Halaman muka 8 900000000 84555555

Lintasan dan sirkuit Euler Lintasan Euler adl lin. yg sisi-sisi pd graf dilalui satu kali Sirkuit Euler (lin Euler tertutup)/graf Euler adl lin. Yg sisi pd graf dilalui satu kali dan kembali ke simpul awal. Contoh Teorema: Graf tdk berarah memiliki lin. Euler jhj terhubung dan memiliki dua buah simpul derajat ganjil atau tdk ada simpul yg derajat ganjil.

Teorema Graf tdk berarah memiliki graf Euler jhj terhubung dan semua simpulnya derajat genap. Teorema Graf berarah memiliki lin. Euler jhj terhubung dan setiap simpul derajat masuk dan derajat keluarnya sama, kecuali dua simpul, yg pertama memiliki derajat keluar satu lebih besar derajat masuk, dan ke dua memiliki derajat masuk satu lebih besar dari derajat keluar untuk SirkuitEuler/graf Euler jhj setiap simpul derajat masuk dan keluar sama.

Contoh hal.228 (Gb. 6.42) Contoh hal.230 (Gb 6.43)

Lintasan dan Sirkuit Euler Lintasan Hamilton adl lintasan yg simpul-simpul pd graf dilalui satu kali. Lin. Hamilton tertutup/sirkuit hamilton (graf Hamilton) adl sirkuit yg simpul-simpul pd graf dilalui satu kali simpul awal yg sekaligus simpul akhir dilalui dua kali. Teorema Supaya graf sederhana dg n≥3 buah simpul adl graf Hamilton biladerajat tiap simpul paling sedikit n/2 yaitu d(v)≥n/2 unt tiap simpul v. Teorema : setiap graf lengkap adl graf Hamilton

Teorema dalam graf lengkap dg n≥3 dan n ganjil buah simpul, terdpt (n-1)/2 buah sirkuit Hamilton yg saling lepas (tdk ada sisi yg beririsan), jika n genap dan n≥4, maka terdpt (n-2)/2 buah sirkuit Hamilton yg saling lepas. Catatan: Graf lengkap adl graf sederhana(tdk ada sisi gelang atau ganda) yg tiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lain. Contoh hal 233 (Gb 6.45) Contoh hal 234 ( Gb 6.47) Contoh hal 235b(Gb 6.48)