BAB 8 GRAF

DEFINISI GRAF : Graf G didefinisikan sbg pasangan himpunan (V, E), yg dlm hal ini : V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) V = {v1 , v2 ,…, vn} Dan E = himpunan sisi (edges atau arcs) yg menghubungkan sepasang simpul E = {e1 , e2 ,…, en} Atau dpt ditulis singkat notasi G = (V, E)

Definisi tadi menyatakan bahwa V tdk boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Jadi, sebuah graf dimungkinkan tdk mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya hrs ada, minimal satu. Graf yg hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi pun dinamakan graf trivial.

JENIS-JENIS GRAF Pengelompokan graf dpt dipandang berdasarkan ada tdknya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan jumlah simpul, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi. Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dpt digolongkan menjadi 2 jenis : Graf sederhana (simple graph) Graf tak-sederhana (unsimple-graph)

Graf sederhana (simple graph) Graf yg tdk mengandung gelang maupun sisi-ganda dinamakan graf sederhana. Graf tak-sederhana (unsimple-graph) Graf yg mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph). Ada dua macam graf tak-sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) : graf yg mengandung sisi ganda dan graf semu (pseudograph) : graf yg mengandung gelang.

Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graf, maka secara umum graf dpt digolongkan menjadi dua jenis : Graf berhingga (limited graph) Graf berhingga adalah graf yg jumlah simpulnya, n, berhingga. Graf tak-berhingga (unlimited graph) Graf yg jumlah simpulnya, n, tidak berhingga banyaknya disebut graf tak-berhingga.

Sisi pada graf dpt mempunyai orientasi arah Sisi pada graf dpt mempunyai orientasi arah. Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis : Graf tak-berarah (undirected graph) Graf yg sisinya tdk mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah. Pada graf tak-berarah, urutan pasangan simpul yg dihubungkan oleh sisi tdk diperhatikan. Graf berarah (directed graph atau digraph) Graf yg setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sbg graf berarah. Sisi berarah disebut busur (arc).

JENIS-JENIS GRAF Jenis Sisi Sisi ganda diblhkan? Sisi gelang dibolehkan? Graf sederhana Tak-berarah tidak Graf ganda ya Graf semu Graf berarah berarah Graf-ganda berarah

TERMINOLOGI DASAR Bertetangga (Adjacent) DEFINISI. Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dgn sebuah sisi. Dengan kata lain, vj bertetangga dgn vk jika (vj , vk) adalah sebuah sisi pada graf G.

Bersisian (Incident) DEFINISI. Untuk sembarang sisi e = (vj , vk), sisi e dikatakan bersisian dgn simpul vj dan simpul vk. Simpul Terpencil (isolated vertex) DEFINISI. Simpul terpencil ialah simpul yg tdk mempunyai sisi yg bersisian dgnnya.Atau dgn kata lain, simpul yg tdk satu pun bertetangga dgn simpul-simpul lainnya.

Graf Kosong (Null Graph atau Empty Graph) DEFINISI. Graf yg himpunan sisinya mrp himpunan kosong disebut sbg graf kosong dan ditulis sbg Nn, yg dlm hal ini n adalah jlh simpul. Derajat (Degree) DEFINISI. Derajat suatu simpul pada graf tak-berarah adalah jumlah sisi yg bersisian dgn simpul tsb.

Simpul yg berderajat satu disebut anting-anting (pendant vertex). Pada graf berarah, derajat suatu simpul dibedakan menjadi dua macam utk mencerminkan jlh busur dgn simpul tsb sbg simpul asal dan jlh busur dgn simpul tsb sbg simpul terminal. Definisi. Pada graf berarah, derajat simpul v dinyatakan dgn din(v) dan dout(v), yg dlm hal ini din(v) = derajat-masuk (in-degree) = jumlah busur yg masuk ke simpul v dout(v) = derajat-keluar (out-degree) = jumlah busur yg keluar dari simpul v dan d(v) = din(v) + dout(v)

6. Lintasan (Path) DEFINISI. Lintasan yg panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G ialah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yg berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,…,vn-1,en, vn sedemikian shg e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2),…,en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G. Sebuah lintasan dikatakan lintasan sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yg dilalui hanya satu kali)

Lintasan tertutup : lintasan yg berawal dan berakhir pada simpul yg sama Lintasan terbuka : lintasan yg tdk berawal dan berakhir pd simpul yg sama Panjang lintasan : jumlah sisi dlm lintasan tsb.

7. SIKLUS (CYCLE) ATAU SIRKUIT (CIRCUIT) DEFINISI : Lintasan yg berawal dan berakhir pd simpul yg sama disebut sirkuit atau siklus. Panjang sirkuit adalah jumlah sisi di dalam sirkuit tsb. Sebuah sirkuit dikatakan sirkuit sederhana (simple circuit) jika setiap sisi yg dilalui berbeda.

8. TERHUBUNG (CONNECTED) DEFINISI : Graf tak-berarah G disebut graf terhubung (connected graph) jika utk setiap pasang simpul vj dan vk di dlm himpunan V terdapat lintasan dari vj ke vk (yg berarti ada lintasan dari vk ke vj). Jika tdk, maka G disebut graf tak terhubung (disconnected graph)

Pada graf berarah, definisi graf terhubung sbb : DEFINISI : Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya terhubung (graf tak-berarah dari G diperoleh dgn menghilangkan arahnya).

Keterhubungan dua buah simpul pada graf berarah dibagi 2 yaitu : Dua simpul, vj dan vk pd graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari vj ke vk ,dan juga sebaliknya lintasan berarah dari vk ke vj . Jika vj dan vk tdk terhubung kuat tetapi tetap terhubung pd graf tak-berarahnya, maka vj dan vk dikatakan terhubung lemah (weakly connected)

DEFINISI GRAF TERHUBUNG KUAT Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila utk setiap pasang simpul sembarang vj dan vk di G terhubung kuat. Kalau tidak, G disebut graf terhubung lemah.

9. UPAGRAF (SUBGRAPH) DAN KOMPLEMEN UPAGRAF DEFINISI : Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graf. G1 = (V1 , E1) adalah upagraf (subgraph) dari G jika V1 ⊆ V dan E1 ⊆ E. DEFINISI : Komplemen dari upagraf G1 thd graf G adalah graf G2 = (V2 , E2) sedemikian shg E2 = E – E1 dan V2 adalah himpunan simpul yg anggota-anggota E2 bersisian dgnnya.

Jika graf tidak terhubung, maka graf tsb terdiri atas beberapa komponen terhubung (connected component) Komponen terhubung adalah upagraf terhubung dari graf G yg tdk termuat di dlm upagraf terhubung dari G yg lebih besar. Ini berarti setiap komponen terhubung di dlm graf G saling lepas (disjoint)

Pada graf berarah, KOMPONEN TERHUBUNG KUAT (STRONGLY CONNECTED COMPONENT) adalah upagraf yg terhubung kuat dari graf G yg tdk termuat di dlm upagraf terhubung kuat dari G yg lebih besar.

10. UPAGRAF MERENTANG (SPANNING SUBGRAPH) DEFINISI : Upagraf G1 = (V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan upagraf merentang jika V1 = V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G).

11. CUT-SET (JEMBATAN/BRIDGE) DEFINISI : Cut-set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yg bila dibuang dari G menyebabkan G tdk terhubung. Jadi, cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen terhubung. PERHATIKAN : Di dalam cut-set tdk boleh ada himpunan bagian yg juga cut-set, shg cut-set yg dimaksudkan adalah fundamental cut-set.

12. GRAF BERBOBOT (WEIGHTED GRAPH) DEFINISI : Graf berbobot adalah graf yg setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot).

BEBERAPA GRAF SEDERHANA KHUSUS GRAF LENGKAP (COMPLETE GRAPH) yaitu graf sederhana yg setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dgn n buah simpul dilambangkan dgn Kn. Setiap simpul pd Kn berderajat n-1.

GRAF LINGKARAN yaitu graf sederhana yg setiap simpulnya berderajat dua (ada sisi dari simpul terakhir ke simpul pertama). Graf lingkaran dgn n simpul dilambangkan dgn Cn. GRAF TERATUR (REGULAR GRAPHS) yaitu graf yg setiap simpulnya mempunyai derajat yg sama. Jika derajat setiap simpul adalah r, maka graf tsb disebut sbg graf teratur derajat r.

4. Graf Bipartit (Bipartite Graph) Yaitu graf G yg himpunan simpulnya dpt dipisah menjadi 2 buah himpunan bagian V1 dan V2 , sedemikian shg setiap sisi pd G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2. Simbol : G(V1, V2) Jika setiap simpul di V1 bertetangga dgn semua simpul di V2 , maka G(V1, V2) disebut GRAF BIPARTIT LENGKAP, lambangnya Km,n. Jumlah sisi pd graf bipartit lengkap adalah mn.

REPRESENTASI GRAF ADA 3 MACAM REPRESENTASI YAITU ; MATRIKS KETETANGGAAN (ADJACENCY MATRIX) MATRIKS BERSISIAN (INCIDENCY MATRIX) SENARAI KETETANGGAAN (ADJACENCY LIST)

1. MATRIKS KETETANGGAAN Misalkan G = (V, E) adalah graf dgn n simpul, n ≥ 1. Matriks ketetanggaan G adalah matriks dwimatra yg berukuran n x n. Bila matriks tsb dinamakan A = [aij], maka aij = 1, jika simpul i dan j bertetangga 0, jika simpul i dan j tdk bertetangga

2. MATRIKS BERSISIAN Misalkan G = (V, E) adalah graf dgn n simpul dan m buah sisi. Matriks bersisian G adalah matriks dwimatra yg berukuran n x m. Baris simpul, sedangkan kolom menunjukkan label sisinya. Bila matriks tsb dinamakan A = [aij], maka aij = 1, jika simpul i bersisian dgn sisi j 0, jika simpul i tdk bersisian dgn sisi j

3. SENARAI KETETANGGAAN SENARAI KETANGGAAN MENGENUMERASI SIMPUL-SIMPUL YG BERTETANGGA DGN SETIAP SIMPUL DI DALAM GRAF.

GRAF ISOMORFIK (ISOMORPHIC GRAPH) Dua buah graf yg sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yg saling isomorfik. DEFINISI : Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sedemikian shg jika sisi e bersisian dgn simpul u dan v di G1 , maka sisi e’ yg berkorespon di G2 juga hrs bersisian dgn simpul u’ dan v’ di G2.

Latihan Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?

Latihan Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?

Latihan Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang mempunyai 8 buah simpul

Jawaban:

Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph) Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan) disebut graf planar, jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar. K4 adalah graf planar:

K5 adalah graf tidak planar:

LINTASAN DAN SIRKUIT EULER DEFINISI : Lintasan Euler ialah lintasan yg melalui masing-masing sisi di dlm graf tepat satu kali. Bila lintasan tsb kembali ke simpul asal, membentuk lintasan tertutup (sirkuit), maka lintasan tertutup itu dinamakan sirkuit Euler. Jadi, sirkuit Euler ialah sirkuit yg melewati masing-masing sisi tepat satu kali.

Graf yg mempunyai sirkut Euler disebut graf Euler Graf yg mempunyai lintasan Euler dinamakan graf semi-Euler.

Latihan Manakah di antara graf di bawah ini yang dapat dilukis tanpa mengangkat pensil sekalipun?

LINTASAN DAN SIRKUIT HAMILTON DEFINISI : Lintasan Hamilton ialah lintasan yg melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali. Bila lintasan itu kembali ke simpul asal membentuk lintasan tertutup (sirkuit), maka lintasan tertutup itu disebut sirkuit Hamilton. Dgn kata lain, sirkuit Hamilton ialah sirkuit yg melalui tiap simpul di dlm gaf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yg dilalui 2 kali.

Graf yg memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton. Graf yg hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

Beberapa Aplikasi Graf Lintasan terpendek (shortest path) Persoalan pedagang keliling (travelling salesperson problem) Persoalan tukang pos Cina (chinese postman problem) Pewarnaan graf (graph colouring)

1. LINTASAN TERPENDEK Algoritma lintasan terpendek yg paling terkenal adalah algoritma Djikstra, algoritma ini menggunakan prinsip Greedy yaitu pada setiap langkah kita memilih sisi yg berbobot minimun dan memasukkannya ke dlm himpunan solusi.

Algoritma Dijkstra Misalkan sebuah graf berbobot dengan n buah simpul dinyatakan dengan matriks ketetanggaan M = [mij], yang dalam hal ini, mij = bobot sisi (i,j) (pada graf tak berarah mij = mji) mii = 0 mij = ∞, jika tidak ada sisi dari simpul i ke simpul j Selain matriks M, kita juga menggunakan tabel S = [si] yang dalam hal ini, si = 1, jika simpul i termasuk ke dalam lintasan terpendek si = 0, jika simpul i tidak termasuk ke dalam lintasan terpendek dan tabel D = [di] yang dalam hal ini, di = panjang lintasan dari simpul awal a ke simpul i

Persoalan Pedagang Keliling (travelling salesperson problem (TSP)) Diberikan sejumlah kota dan diketahui jarak antar kota. Tentukan tur terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan. ==> menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum.

Aplikasi TSP: Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebar pada n buah lokasi di berbagai sudut kota. Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin dalam sebuah jalur perakitan. Produksi n komoditi berbeda dalam sebuah siklus.

I1 = (a, b, c, d, a)  bobot = 10 + 12 + 8 + 15 = 45 I2 = (a, c, d, b, a)  bobot = 12 + 5 + 9 + 15 = 41 I3 = (a, c, b, d, a)  bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32   Sirkuit Hamilton terpendek: I3 = (a, c, b, d, a) dengan bobot = 10 + 5 + 9 + 8 = 32. Jika jumlah simpul n = 20 akan terdapat (19!)/2 sirkuit Hamilton atau sekitar 6  1016 penyelesaian.

Persoalan Tukang Pos Cina (Chinese Postman Problem) Dikemukakan oleh Mei Gan (berasal dari Cina) pada tahun 1962. Persoalan: seorang tukang pos akan mengantar surat ke alamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal keberangkatan?  menentukan sirkuit Euler di dalam graf

Jika graf yang merepresentasikan persoalan adalah graf Euler, maka sirkuit Eulernya mudah ditemukan. Jika grafnya bukan graf Euler, maka beberapa sisi di dalam graf harus dilalui lebih dari sekali. Jadi, pak pos harus menemukan sirkuit yang mengunjungi setiap jalan paling sedikit sekali dan mempunyai jarak terpendek.

Pewarnaan Graf Ada dua macam: pewarnaan simpul, dan pewarnaan sisi Hanya dibahas perwarnaan simpul Pewarnaan simpul: memberi warna pada simpul-simpul graf sedemikian sehingga dua simpul bertetangga mempunyai warna berbeda.

Aplikasi pewarnaan graf: mewarnai peta. Peta terdiri atas sejumlah wilayah. Wilayah dapat menyatakan kecamatan, kabupaten, provinsi, atau negara. Peta diwarnai sedemikian sehingga dua wilayah bertetangga mempunyai warna berbeda.

Bilangan kromatik: jumlah minimum warna yang dibutuhkan untuk mewarnai peta. Simbol: (G). Suatu graf G yang mempunyai bilangan kromatis k dilambangkan dengan (G) = k. Graf di bawah ini memiliki (G) = 3

Graf kosong Nn memiliki (G) = 1, karena semua simpul tidak terhubung, jadi untuk mewarnai semua simpul cukup dibutuhkan satu warna saja.

Graf lengkap Kn memiliki (G) = n sebab semua simpul saling terhubung sehingga diperlukan n buah warna.

Graf bipartit Km,n mempunyai (G) = 2, satu untuk simpul-simpul di himpunan V1 dan satu lagi untuk simpul-simpul di V2.

Aplikasi lain pewarnaan graf: penjadwalan.

Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut sedemikian sehingga semua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliah yang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya dengan jadwal ujian kuliah lain yang juga diambilnya? Penyelesaian: simpul  mata kuliah sisi  ada mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah (2 simpul)

Jadi, ujian mata kuliah A, E, dan D dapat dilaksanakan bersamaan, Bilangan kromatik graf pada Gambar 8.74 adalah 2. Jadi, ujian mata kuliah A, E, dan D dapat dilaksanakan bersamaan, sedangkan ujian mata kuliah B dan C dilakukan bersamaan tetapi pada waktu yang berbeda dengan mata kuliah A, E, dan D.