VARIABEL RANDOM

VARIABEL RANDOM DISKRIT Pada pembahasan sebelumnya, C mempunyai elemen-elemen yang bukan bilangan. Contoh : - pada pelemparan koin, C = { muka , belakang } - pada pelemparan dadu, C = { muka1,…,muka6} Bagaimana merubah ruang sampel yang elemennya bukan bilangan menjadi bilangan?

Definisikan suatu fungsi X yang memetakan ruang sampel C ke himpunan bilangan riil, atau X : C Daerah hasil dari fungsi X dinotasikan dengan A , sehingga dapat ditulis X(C ) = A . Fungsi X ini dinamakan variabel random. Apabila A merupakan himpunan diskrit yaitu himpunan yang elemen-elemennya berhingga atau tak berhingga tapi dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan bilangan bulat, maka X dinamakan variabel random diskrit. Apabila A berupa interval atau gabungan dari beberapa interval maka X dinamakan variabel random kontinu. Note : Nilai dari X dinotasikan dengan x .

Contoh : Pada pelemparan koin, ruang sampelnya C = {c;c adalah muka atau c adalah belakang}. Misalkan X : C sedemikian hingga X(c) = 0 jika c adalah muka = 1 jika c adalah belakang X disebut fungsi bernilai riil yang didefinisikan pada ruang sampel C dan nilai dari fungsi X adalah A = {0,1}. Dalam perhitungan selanjutnya, yang digunakan adalah A bukan lagi C.

Misalkan terdapat suatu fungsi X yang didefinisikan pada ruang sampel C sedemikian hingga X( c ) = x R .Sehingga ruang nilai dari X adalah A = . . Apabila C merupakan himpunan bilangan riil maka A = C. Apabila C C berhubungan dengan A A, yaitu maka dimana menyatakan probabilitas kejadian A. Notasi lain = = P(A). : probabilitas yang diinduksi oleh X

Akan ditunjukkan bahwa memenuhi definisi fhp. 1. . Jadi . 2. Misalkan A1 dan A2 subset dari A yang tidak beririsan atau . Misalkan . Berarti . Jadi atau . Karena A1 dan A2 disjoint sets, maka C1 dan C2 juga disjoint sets. Jadi = Sehinnga . Secara umum : apabila

3. Berarti. Jadi terbukti bahwa adalah fhp 3. . Berarti . Jadi terbukti bahwa adalah fhp. Contoh: Sebuah mata uang dilempar 2 kali dan akan diamati jumlah muka yang muncul. Ruang sampel / C = {c; c adalah MM,MB,BM atau BB} Misalkan X adalah variabel random yang menyatakan banyaknya muka yang muncul. Jadi, X(c) = 0, jika c adalah BB = 1, jika c adalah BM atau MB = 2, jika c adalah MM Ruang nilai dari X adalah A = {0,1,2} atau A = {x; x = 0,1,2} .

Misalkan A = {1}, berapakah P(A) ? A = {1} berhubungan dengan C = {c; c adalah BM atau MB}, sehingga P(A) = P( C ) = 2/4. Atau dapat ditulis : Karena A = {1}, maka P(A) = Pr(X A) = Pr(X = 1) = 2/4. Akan ditentukan Pr(X=0) atau Pr(X=2). Misalkan C1= {c; c adalah BB} C2= {c; c adalah MB} C3={c;c adalah BM} C4={c;c adalah MM} Dimisalkan bahwa C1,C2,C3 dan C4 equally likely atau P(Ci)=1/4, i = 1,2,…,4 .

Karena X : banyaknya muka yang muncul, maka : Kejadian A1 = {0} terjadi jhj kejadian C1 terjadi Kejadian A2 = {1} terjadi jhj kejadian C2 atau C3 terjadi Kejadian A3 = {2} terjadi jhj kejadian C4 terjadi Jadi Pr(X=0) = P(C1) = ¼ Pr(X=1) = = P(C2) + P(C3) = 2/4 Pr(X=2) = P(C4) = ¼ Dalam bentuk tabel atau rumus: atau x 1 2 Pr(X = x) 1/4 1/2

Probability Density Function (pdf) Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan dari A ke himpunan bilangan riil R, atau . Pengaitan untuk fungsi f harus memenuhi : 1. 2. 3. , dimana P(A) adalah fhp dan A A . Apabila ketiga syarat di atas terpenuhi, maka f disebut pdf (probability density function) atau pmf (probability mass function) dari variabel random diskrit X.

Contoh : Dari contoh sebelumnya ,misalkan dimana A={0,1,2}. - A1={0}, P(A1)= = Pr(X=0) = f(0) Karena Pr(X=0) = ¼, maka f(0) = ¼ - A2={1}, P(A2) = =Pr(X=1) = f(1) Karena Pr(X=1) = ½, maka f(1) = ½ - A3={2}, P(A3)= = Pr(X=2) = f(2) Karena Pr(X=2) = ¼, maka f(2) = ¼ Jadi,

VARIABEL RANDOM KONTINU DAN pdf Apabila A merupakan interval atau gabungan dari beberapa interval, maka X yang memetakan dari C ke A disebut variabel random kontinu. Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke himpunan bilangan riil R, atau yang pengaitannya memenuhi : 1. 2. 3. , dimana P(A) adalah fhp dan A A . Apabila ketiga hal di atas dipenuhi maka f disebut pdf (probability density function) dari variabel random kontinu X.

Jika A = {a} maka P (A) = = Pr(X=a) = = 0 Berarti jika X variabel random kontinu maka Pr(X=a) = 0 dan Pr(a < X< b) = . Contoh : Misalkan P(A) adalah fhp dari X dimana , dimana f(x) adalah pdf dari X yang didefinisikan sbb : Misalkan A1 ={x : 0 < x < 1}, A2={x : 2 < x < 3}, maka P(A1)= dan P(A2)= . Karena maka

FUNGSI DISTRIBUSI (Cumulative Distribution Function/cdf) Misalkan diberikan suatu fungsi F yang didefinisikan pada himpunan bilangan riil R. Fungsi ini memetakan dari himpunan bilangan riil R ke himpunan bilangan riil R,yaitu : dengan pengaitan dimana X variabel random dan P adalah fhp. Fungsi yang didefinisikan di atas disebut fungsi distribusi (cdf) dari variabel random X yang mempunyai distribusi tertentu. Untuk variabel random diskrit : Untuk variabel random kontinu :

Catatan : Jika X variabel random kontinu, maka pdf dari X yaitu f(x) mempunyai paling banyak berhingga titik-titik diskontinu di dalam suatu interval berhingga. Hal ini berarti : 1. Fungsi distribusi F(x) kontinu dimana-mana. 2. Turunan dar F(x) terhadap x ada dan sama dengan pdf f(x) di setiap titik dimana f(x) kontinu, atau F’(x) = f(x). Jika X variabel random diskrit, maka pdf dari X yaitu f(x) bukanlah turunan dari F(x) terhadap x pada Lebesgue measure, tetapi f(x) adalah turunan dari F(x) terhadap x pada counting measure (Radon - Nykodym). Turunan sering disebut density, karena itulah f(x) yang merupakan turunan dari F(x) terhadap x disebut probability density function.

Contoh: Misalkan X variabel random diskrit yang mempunyai pdf sbb : Tentukan fungsi distribusi (cdf) dari X dan grafiknya !

Misalkan X variabel random kontinu yang mempunyai pdf Tentukan fungsi distribusi (cdf) dari X dan gambarkan!

Tugas untuk latihan : Soal no. 1.47,1.48,1.49,1.50,1.69