KONVOLUSI DISKRIT

Konvolusi Konvolusi diskrit antara dua sinyal x(n) dan h(n) dapat dirumuskan sebagai berikut:

Konvolusi Komputasi tersebut diselesaikan dengan merubah indeks waktu diskrit n menjadi k dalam sinyal x[n] dan h[n]. Sinyal yang dihasilkan x[k] dan h[k] selanjutnya menjadi sebuah fungsi waktu diskrit k. Langkah berikutnya adalah menentukan h[n-k] dengan h[-k] merupakan pencerminan dari h[k] yang diorientasikan pada sumbu vertikal dan h[n-k] merupakan h[-k] yang digeser ke kanan dengan sejauh n. Saat pertama kali hasil perkalian x[k]h[n-k] terbentuk, nilai pada konvolusi x[n]*h[n] pada titik n dihitung dengan menjumlahkan nilai x[k]h[n-k] sesuai rentang k pada sederetan nilai integer tertentu.

Contoh Dua buah isyarat diskrit x(n) dan h(n) mempunyai representasi sebagai berikut: x(n) = 1, n = -1,0,1 0, n lainnya sedangkan, 1, n=1 h(n) = 2, n=2 carilah y(n) = x(n)*h(n)

Penyelesaian: Untuk mencari nilai y(n) adalah sebagai berikut: dari rumusan tersebut dibutuhkan x(k) dan h(n-k). Nilai x(k) didapat dengan mengganti indeks n menjadi k. x(k) = 1 k = -1,0,1 0, k lainnya Sedangkan h(n-k) adalah sebagai berikut : 1 k = n-1 h(n-k) = 2, k = n-2 h(n)h(n-k) 0, n lainnya

Nilai h(n) dievaluasi untuk setiap n a) Untuk n= -1 x(k) = (k+1) + (k) + (k-1) h(-1-k)= h[-(k+1)] = 2(k+3) + (k+2) y(-1) = .... + x(-3)h(-3) + x(-2)h(-2)+ x(-1)h(-1)+x(0)h(0)+.... y(-1) = 0 Untuk n= -2 -∞ , Maka y(n) = 0

b) Untuk n= 0 x(k) = (k+1) + (k) + (k-1) h(0-k) = h(-k) = 2(k+2) + (k+1) y(0) = .... + x(-2)h(-2) + x(-1)h(-1) + x(0)h(0) + x(1)h(1).... = ...+ (0)(2) + (1)(1) + (1)(0) + (1)(0) +.... y(0) = 1  

c) Untuk n= 1 x(k) = (k+1) + (k) + (k-1) h(1-k) = h[-(k-1)] = 2(k+1) +(k) y(1) = ... + x(-2)h(-2) + x(-1)h(-1) + x(0)h(0) + x(1)h(1) + x(2)h(2) +.... y(1) = ...+ (0)(0) + (1)(2) + (1)(1)+(1)(0) + (0)(0) +.... y(1) = 3

d) Untuk n= 2 x(k) = (k+1) + (k) + (k-1) h(2-k) = h[-(k-2)] = 2(k) + (k-1) y(2) = .... + x(-2)h(-2) + x(-1)h(-1) + x(0)h(0) + x(1)h(1) + x(2)h(2) +.... y(2) = ...+ (0)(0) + (1)(0) + (1)(2) + (1)(1) + (0)(0) +.... y(2) = 3

Untuk n= 3 x(k) = (k+1) + (k) + (k-1) h(3-k) = 2(k-1) + (k-2) y(3) = ... x(-2)h(-2) + x(-1)h(-1) + x(0)h(0) + x(1)h(1) + x(2)y(2) + x(3)h(3) +.... y(3) = ...+ (0)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(2) + (0)(1) + (0)(0)... y(3) = 2  

Untuk n= 4 x(k) = (k+1) + (k) + (k-1) h(4-k) = 2(k-2) + (k-3) y(4) = .... x(-2)h(-2) + x(-1)h(-1) + x(0)h(0) + x(1)h(1) + x(2)h(2) + x(3)h(3) +.... y(4) = ...+ (0)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (0)(2) + (0)(1).... y(4) = 0 Untuk n=5 ∞ y(n) = 0

Sehingga y(n) = [ 1 3 3 2 ] Untuk lebih jelasnya konvolusi dapat diselesaikan dengan metoda grafis pada slide selanjutnya

x[n] -1 -2 n 1 -3 3 2 h[n] -1 -2 n 1 -3 3 2 2

Langkah 1: x(k) x[n] -1 -2 n 1 -3 3 2 x[k] -1 -2 k 1 -3 3 2 Nilai x(k) didapat dengan mengganti indeks n menjadi k. x[n] -1 -2 n 1 -3 3 2 x[k] -1 -2 k 1 -3 3 2

Langkah 2 : h(n-k) h[n] -1 -2 n 1 -3 3 2 2 h[-k] -1 -2 k 1 -3 3 2 2 Nilai h(n-k) didapat dengan melakukan pencerminan h(k)  h(-k), kemudian rubah h(-k)  h(n-k) h[n] -1 -2 n 1 -3 3 2 2 h[-k] -1 -2 k 1 -3 3 2 Percerminanh(k) k= -1  h(-1)=1 k= -2  h(-2)=2 2 h(-k) bergeser ke kiri atau kekanan sejauh n k= n-1  h(n-1) k= n-2  h(n-2) h[n-k]= h[-(k+n)] n-1 n-2 k 1 -3 3 2 2

Langkah 3 : Perkalian dan penjumlahan x(k) dengan h(n-k) -1 -2 k 1 -3 3 2 h[n-k] n-1 n-2 k 1 -3 3 2 2  Kemudian evaluasi untuk semua nilai n

Untuk n= -1 x[k] -1 -2 k 1 -3 3 2 h[n-k] n-1 n-2 k 1 -3 3 2 2 Perkalian x[k] dan h[n-k] untuk n = -1 Kemudian jumlahkan Maka, y(n) = 0 Untuk n=-2  n= -∞ y(n) = 0 h[n-k] n-1 n-2 k 1 -3 3 2 2 h[n-k]=h[-1-k]=h[-(k+1)] -1 -2 k 1 -3 3 2 n=-1

Untuk n= 0 x[k] -1 -2 k 1 -3 3 2 n=0 h[n-k]=h[0-k]=h[-k] -1 -2 k 1 -3 Perkalian x[k] dan h[n-k] untuk n = 0 Kemudian jumlahkan Maka, y(n) =1 n=0 h[n-k]=h[0-k]=h[-k] -1 -2 k 1 -3 3 2

Untuk n= 1 x[k] -1 -2 k 1 -3 3 2 Perkalian x[k] dan h[n-k] untuk n = 1 Kemudian jumlahkan Maka, y(n) = 3 n=1 h[n-k]=h[1-k]=h[-(k-1)] -1 -2 k 1 -3 3 2

Untuk n= 2 x[k] -1 -2 k 1 -3 3 2 Perkalian x[k] dan h[n-k] untuk n = 2 Kemudian jumlahkan Maka, y(n) = 3 n=2 h[n-k]=h[2-k]=h[-(k-2)] -1 -2 k 1 -3 3 2

Untuk n= 3 x[k] -1 -2 k 1 -3 3 2 Perkalian x[k] dan h[n-k] untuk n = 3 Kemudian jumlahkan Maka, y(n) = 2 n=3 h[n-k]=h[3-k]=h[-(k-3)] -1 -2 k 1 -3 3 2

Untuk n= 4 x[k] -1 -2 k 1 -3 3 2 n=4 h[n-k]=h[4-k]=h[-(k-4)] -1 -2 k 1 Perkalian x[k] dan h[n-k] untuk n = 4 Kemudian jumlahkan Maka, y(n) = 0 Untuk n=5  ∞ y(n)=0 n=4 h[n-k]=h[4-k]=h[-(k-4)] -1 -2 k 1 -3 3 2

y[n] -1 -2 n 1 -3 3 2 3 3 2 4 Sehingga y(n) = [ 1 3 3 2 ]

Mudah Bukan ??????