TEORI ANTRIAN Suatu antrian ialah garis tunggu dari nasabah yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fa- silitas layanan). Antri adalah kejadian yang biasa dalam kehidupan sehari-hari seperti menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api, me- nunggu pada pompa bensin, pada pintu tol, ketika akan keluar dari super market dan lain-lain. Sekarang ini teori antrian banyak diterapkan dalam bidang bisnis (bank, super market), industri (pelayan- an ATM, penyimpanan), transportasi (pelabuhan udara, pelabuhan laut, jasa pos) dan lain-lain.

KOMPONEN PROSES ANTRIAN Komponen dasar proses antrian adalah kedatangan, pelayanan dan antri. Komponen-komponen ini disaji- kan pada gambar berikut ini. Sumber Kedatangan Antrian Fasilitas Keluar pelayanan (1). Kedatangan Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misal orang, mobil, atau panggilan telepon untuk dilayani. Unsur ini sering dinamakan proses input.

(2). Pelayanan Pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Contohnya : jalan tol dapat terdiri dari beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari dari satu pelayan dalam satu fasi- litas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop. Disamping itu, perlu diketahui cara pelayanan dirampungkan, yang kadang-kadang merupakan proses rendom. (3). Antri Inti dari analisa antrian adalah antri itu sendiri. Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat

Kedatangan dan proses pelayanan. Penentuan antrian lain yang penting disiplin antri. Disiplin antri adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani, misalnya : datang awal dilayani dulu (FCFS = First Come First Served atau FIFO = First In First Out), yang tiba terakhir yang lebih dulu keluar (LCFS = Last Come First Out atau LIFO = Last In First Out), panggilan didasarkan pada peluang secara random (SIRO = Service In Random Order), prioritas pelaya- nan diberikan kepada mereka yang mempunyai prio- ritas lebih tinggi dibandingkan dengan mereka yang mempunyai prioritas lebih rendah (PS = Priority Served). Jika tidak ada antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan fasilitas.

STRUKTUR DASAR PROSES ANTRIAN (1). Satu Saluran Satu Tahap (Single Channel-Single Phase) Antrian Pelayan Keluar (2). Banyak Saluran Satu Tahap (Multi Channel- (Single Phase) Antrian Pelayan Keluar

(3). Satu Saluran Banyak Tahap (Single Channel- Multi Phase) Antrian Pelayan Pelayan Keluar (4). Banyak Saluran Banyak Tahap (Multi Channel- Antrian Pelayan Pelayan Keluar

NOTASI MODEL ANTRIAN 1. Pn = Probabilitas n pengantri dalam sistem 2. L = Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem 3. Lq = Rata-rata banyaknya pengantri dlm antrian 4. W = Rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayan) 5. Wq = Rata-rata waktu antri 6. I = Proporsi waktu menganggur pelayan Banyaknya analisa antrian akhirnya sampai pada per- tanyaan bagaimana merancang fasilitas pelayanan atau berapa tingkat pelayanan yg seharusnya disedia kan. Jika variabel adalah tingkat pelayanan, maka model hrs mengidentifikasi hubungan antara tingkat

pelayanan dengan parameter dan variabel-variabel yg relevan. Kriteria evaluasi dari model adalah : Total Expected Cost. Hubungan variabel (tingkat pelayanan dengan kriteria evaluasi (total expected cost) ditunjukkan pada gambar berikut.

Total Cost merupakan jumlah dari biaya pelayanan dan biaya menunggu. Biaya Pelayanan : Jika tingkat pelayanan ditambah, biaya pelayanan akan bertambah. Contohnya jika dibuka dua loket, biaya akan bertambah sebesar gaji untuk penjaga loket yang kedua. Jika tingkat pelayanan bertambah, waktu menganggur pelayan diharapkan bertambah, sehingga pada tingkat pelayanan tertentu, biaya pe- layanan dalam masalah antrian hanya memasukkan biaya waktu menganggur pelayan. Adanya waktu me- nganggur merupakan opportunity cost karena tidak mengalokasikan pelayan kegiatan produktif yang lain.

Umumnya terdapat hubungan terbalik antara tingkat Biaya Menunggu Umumnya terdapat hubungan terbalik antara tingkat pelayanan dan waktu menunggu. Namun sangat sulit menyatakan secara eksplisit biaya menunggu per unit waktu. Biaya menunggu dapat diduga secara seder- hana sebagai biaya kehilangan keuntungan bagi pengu saha atau turunnya produktivitas bagi pekerja. Sehingga model antrian dapat dirumuskan sbb : Minimumkan : E[Cs] = I.Ci + W.Cw Keterangan : E[Cs] = Total Expected Cost utk tingkat pelayanan S I = Waktu menganggur pelayanan yg diharapkan Ci = Biaya menganggur pelayan per unit waktu W = Waktu menunggu yg diharapkan utk semua kedatangan Cw = Biaya menunggu pengantri per unit waktu

Asumsi-asumsi Teori Antrian 1. Model antrian adalah model probabilistik (stokas- tik) karena unsur-unsur tertentu proses antrian yg dimasukkan dlm model adalah variabel rendom. Variabel random ini sering digambarkan dengan distribusi probabilitas. Asumsi yg biasa digunakan dalam distribusi keda- tangan (banyaknya kedatangan per unit waktu) adalah distribusi Poisson : r = banyaknya kedatangan P(r) = probabilitas r kedatangan A = tingkat kedatangan rata-rata e = logaritma natural= 2,71828

(2). Distribusi Waktu Pelayanan Waktu pelayanan dalam proses antrian dapat juga se suai dengan salah satu bentuk distribusi. Asumsi yg biasa digunakan bagi distribusi waktu pelayanan adlh distribusi eksponensial negatif, sehingga jika waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial negatif, maka tingkat pelayanan mengikuti distribusi Poisson. Rumus fungsi kepadatan probabilitas eksponensial negatif adalah : t = waktu pelayanan F(t) = probabilitas kepadatan yg berhubungan dengan t U = tingkat pelayanan rata-rata 1/U = Waktu pelayanan rata-rata

(3). Dalam teori antrian, pada umumnya pengantri diasumsikan dilalayani berdasarkan FCFS. (4). Sistem yang digunakan dalam teori antrian adlh keadaan keseimbangan atau disebut dengan Stady State. Ini berarti ciri-ciri operasi seperti panjang antrian dan rata-rata waktu menunggu akan memiliki nilai konstan setelah sistem berjalan selama suatu periode waktu. (5). Tingkat pelayanan U harus melebihi tingkat ke- datangan pengantri A. Jika tidak, antrian akan makin panjang sehingga tak ada solusi keseimba- ngan. Hubungan antara tingkat kedatangan A dan tingkat pelayanan U serta panjang antrian yg diharapkan ditunjukkan pada gbr berikut.

0 0,1 0,2 0,3 1,0 A/U Panjang Antrian

MODEL ANTRIAN (M / M / 1) Pada model ini kedatangan dan keberangkatan meng- ikuti distribusi Poisson dengan tingkat A dan U. Terdapat satu pelayan, kapasitas pelayanan dan sumber kedatangan tak terbatas. Ini adalah model antri yang paling sederhana dan merupakan model yg akan dibahas. Untuk menentukan semua ukuran prestasi atau ciri- ciri operasi, dapat dilakukan dengan mudah setelah diperoleh Pn, yaitu probabilitas n pengantri dalam sistem. Melalui penurunan matematik yang cukup panjang, dalam kondisi steady state diperoleh : Pn = (1 - R). Rn, dimana (R=A/U) 1 , n=1,2,3,…….

Bertolak dari rumus itu dapat diperoleh ciri-ciri ope- rasi lain : (1). Probabilitas terdapat k atau lebih pengantri dlm sistem adalah : Pn k = Rk. (2). Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem : (3). Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri (4). Rata-rata waktu menunggu dalam sistem :

(5). Rata-rata Waktu Antri : (6). Proporsi waktu menganggur pelayan : I = 1 - R Contoh: Penumpang kereta api pada loket dengan tingkat rata-rata 20 per jam. Secara rata-rata setiap pe- numpang dilayanan 2 menit. Setelah sistem berada dalam steady state, carilah : a. P4 b. L c. Lq d. W e. Wq

Penyelesaian : Tingkat kedatangan rata-rata A= 20 per jam, dan tingkat pelayanan rata-rata U = 30 per jam (60/2= 30), sehingga R = 2/3 (atau A/U = 20/30 = 2/3). a. P4 = (1 - R). R4 = (1 - 2/3). (2/3)4 = 16/192 R 2/3 b. L = ------ = -------- = 2 penumpang 1 - R 1 - 2/3 R2 4/9 c. Lq = ----- = ------- = 1,33 penumpang 1-R2 1-4/9 d. W = 1/(U-A) = 1/(30-20) = 1/10 jam = 6 menit

e. Wq = A/(U(U-A)) = 20/((30)(30-20)) = 4 menit Misalkan kepala stasiun mengetahui dengan menggan ti penjaga loket yang ada dengan penjaga yang ter- ampil, waktu pelayanan berkurang dari rata-rata 2 menit per penumpang menjadi 1,5 menit per penum- pang (40 penumpang per jam). Namun upah penjaga terampil adalah Rp 600 per jam, yang berarti dua kali upah penjaga yang ada. Kepala stasiun juga mem- perkirakan biaya menunggu adalah Rp 500 per menit. Haruskah kepala stasiun mengganti penjaga yang ada dengan penjaga yang lebih terampil ?