Teori Antrian/Queuing Theory Models

Antrian Antrian timbul karena orang/sesuatu material/bahan tiba di suatu fungsi service atau pelayanan/proses produksi lebih cepat dibandingkan waktu mereka dilayani Hal ini terjadi karena konsumen datang dalam rentang waktu yang tidak tentu dan waktu pelayanan setiap konsumen juga tidak konstan.  Sehingga antrian secara kontinuitas menjadi bertambah dan berkurang panjangnya dan kadang-kadang kosong dalam jangka panjang sesuai dengan frekuensi kedatangan konsumen yang tidak tentu/acak (random).

Struktur Sistem Antrian 1 2 3 Garis tunggu atau antrian Pelanggan masuk ke dalam sistem antrian Pelanggan keluar dari sistem n Fasilitas pelayanan Sistem antrian

Contoh Sistem Antrian Sistem Antrian/Garis Tunggu Fasilitas Pelayanan Lapangan terbang Pesawat menunggu di landasan Landasan pacu Bank Nasabah (orang) Kasir/teller Pencucian mobil Mobil Tempat pencucian mobil Bongkar muat barang Kapal dan truk Fasilitas bongkar muat Sistem komputer Program komputer CPU, printer, dll Bantuan pengobatan darurat Orang Ambulance Perpustakaan Member Pegawai perpustakaan

Car Wash Example

Komponen Sistem Antrian (1) Populasi masukan (input populasi) Distribusi kedatangan Constant arrival distribution Arrival pattern random Disiplin pelayanan FCFS (first come, first served) LCFS (last come, first served) Prioritas Fasilitas pelayanan Single channel Multiple channel

Komponen Sistem Antrian (2) Distribusi pelayanan Berapa banyak pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktu Berapa lama setiap pelanggan dapat dilayani Kapasitas sistem pelayanan Terbatas Tidak terbatas Karakteristik sistem lainnya: reneging atau pengingkaran

Notasi Dalam Sistem Antrian n = jumlah pelanggan dalam sistem Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan waktu μ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem Lq = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian 1/ μ = waktu rata-rata pelayanan 1/ λ = waktu rata-rata antar kedatangan S = jumlah fasilitas pelayanan Suatu ciri menarik dari Poisson adalah bahwa jika banyaknya kedatangan per satuan waktu mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata tingkat kedatangan λ, maka waktu antar kedatangan (inter arrival time) akan mengikuti distribusi eksponensial negatif dengan rata-rata 1/λ.

Single Channel Model (M/M/1) M pertama: rata-rata kedatangan yang mengikuti distribusi probabilitas Poisson M kedua: tingkat pelayanan yang mengikuti distribusi probabilitas Poisson 1: jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem atau satu saluran

Asumsi M/M/1 Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas Populasi input tidak terbatas Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti distribusi Poisson Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS Hanya ada satu fasilitas layanan dan Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson (λ < μ) Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

Contoh Soal UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. hitunglah: Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian Mobil antri menunggu pelayanan s 1 pompa bensin melayani 25 mobil per jam Kedatangan mobil, 20 per jam Mobil Keluar UD ABC Fasilitas Pelayanan

Jawaban Soal Diketahui: λ = 20, μ = 25 p = λ / μ = 20/25 = 0.80 Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan 20% dari waktunya (1-p) untuk istirahat L = λ / (μ – λ) = 20 / (25-20) = 4, atau L = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4 Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam sistem Lq = λ2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2 Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraan W = 1 / (μ – λ) = 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menit Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit Wq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau 9.6 menit Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9.6 menit

Asumsi M/M/S Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas Populasi input tidak terbatas Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti distribusi Poisson Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS Ada beberapa fasilitas pelayanan (S) Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson (λ < sμ) Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

Contoh Soal Suatu rental komputer mempunyai tiga pengetik. Setiap pengetik dapat mengetik rata-rata 6 surat/jam. Jika surat-surat yang masuk rental tersebut sebanyak 15 surat/jam, tentukan: Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan? Jumlah rata-rata surat yang diharapkan dalam antrian? Jumlah surat yang diharapkan menunggu dalam sistem? Waktu yang diharapkan oleh setiap surat selama dalam antrian ? Waktu yang diharapkan oleh setiap surat untuk menunggu dalam sistem? surat menunggu dalam antrian untuk diketik s 3 saluran pelayanan surat datang (rata-rata 15 surat per jam) Surat selesai diketik Sistem : (M/M/3) λ = 15 s = 3 µ = 6

Jawaban Soal Diketahui: λ = 15, μ = 6, s=3 p = λ / sμ = 15/(3)(6) = 0.833 Bahwa para pengetik akan sibuk mengetik surat selama 83,3% dari waktunya, = 3,5113 jumlah rata-rata surat yang diharapkan dalam antrian adalah sebanyak 3,5113 3. = 6,01124 jumlah rata-rata surat yang diharapkan dalam sistem adalah sebanyak 6,01124

Jawaban Soal = 0,2341 dimana = 0,04494 Jadi waktu rata-rata surat menunggu dalam antrian selama 0,2341 jam

Jawaban Soal = 0,2341 + (1/6) = 0,40075 Jadi waktu rata-rata surat menunggu dalam sistem selama 0,40075 jam

Model Biaya Total

MODEL BIAYA TOTAL TC = SC + WC TC = Biaya total harapan (expected total cost)  per satuan waktu SC = Biaya pelayanan harapan (expected service cost) per satuan waktu WC = Biaya menunggu harapan (expected waiting cost) per satuan waktu

MODEL BIAYA PELAYANAN SC = C1 S C1 = Biaya per Satuan Pelayan per satuan waktu s = Jumlah Server

Model Biaya Menunggu WC = C2 Ls Tergantung pada model antrian C2 = Biaya Menunggu per Pelanggan per satuan waktu Ls = Panjang Antrian Harapan dalam Sistem

CONTOH: MCM cling cuci motor memiliki S pelayan bagian pencucian motor. Masing – masing pelayan mampu mencuci 12 motor / jam, sedangkan pelanggan yang datang rata-rata 20 pelanggan / jam. Model antrian (M/M/s/FCFS/∞/∞). Jika biaya pelayan per unit C1=6/jam (dalam ribuan rupiah, dan biaya menunggu per pelanggan C2= 30/jam. Tentukan jumlah pelayan optimal yang dapat meminimumkan biaya total harapan

Perhitungan: Untuk s=1 l = 20, m = 12 p = λ / sμ = 20/(1)(6) = 1.667 Jawaban ini tidak layak karena nilai p ≥ 1

Perhitungan: Untuk s = 2, l = 20, m = 12

Perhitungan: Untuk s = 3, l = 20, m = 12

Perhitungan: Untuk s = 4, l = 20, m = 12

Perhitungan: Untuk s = 5, l = 20, m = 12

Sam Certo adalah seorang dokter hewan yang mengelola klinik vaksinasi untuk penyakit anjing gila. Sam dapat menyuntik seekor anjing pada setiap 3 menit. Telah diperkirakan bahwa anjing-anjing datang secara terpisah dan acak di sepanjang hari dengan kedatangan 1 anjing setiap 6 menit menurut distribusi poisson. Asumsikan juga bahwa waktu penyuntikan Sam berdistribusi eksponensial. Hitunglah karaktersitik berikut : a.    Probabilitas waktu luang Sam b.    Proporsi waktu sibuk Sam c.    Jumlah anjing yang sedang divaksinasi dan sedang menunggu untuk divaksinasi rata-rata d.    Jumlah anjing yang menunggu untuk divaksinasi rata-rata e.    Waktu tunggu anjing sebelum divaksinasi rata-rata f.     Waktu yang dihabiskan seekor anjing dalam antrian dan divaksinasi rata-rata

Garcia-Golding Recycling Inc Garcia-Golding Recycling Inc. mengumpulkan kaleng aluminium dan botol bekas di New York City. Pengemudi truk saat ini menunggu kurang lebih selama 15 menit sebelum dapat mengosongkan isi truk mereka untuk di daur ulang. Biaya pengumudi truk dan truk untuk menunggu dalam antrian adalah $ 60/jam. Sebuah alat yang baru dapat dibeli untuk memproses muatan truk pada tingkatan yang tetap yaitu 12 truk per jam (berarti 5 menit untuk setiap truk). Truk datang dengan distribusi poisson rata-rata 8 kedatangan per jam. Jika mesin baru ini digunakan, biaya akan didepresiasi sebesar $3 untuk setiap truk yang kosong. Perusahaan mengadakan penelitian di musim panas untuk melakukan analisis berikut untuk mengevaluasi biaya dibandingkan dengan keuntungan membeli mesin baru.