Peluang Bersyarat dan Kejadian Saling Bebas Definisi Peluang Bersyarat Pertemuan Kelima Peluang Bersyarat dan Kejadian Saling Bebas Definisi Peluang Bersyarat Kaidah Penggandaan Kejadian Saling Bebas Dalil Peluang Total Dalil Bayes

Peluang Bersyarat Peluang bersyarat (Conditional probability) digunakan untuk menyatakan peluang untuk suatu kejadian bila kejadian lain telah terjadi Misalnya bila diketahui bahwa jumlah mata dadu setimbang yang muncul dari dua kali lemparan adalah 9, berapa peluang munculnya mata dadu 6 pada lemparan pertama? Berapa peluang seseorang yang memang sakit dinyatakan negatif oleh suatu tes kesehatan? Jadi, pada suatu percobaan, kita tahu bahwa hasilnya adalah anggota dari gugus B. Kemudian kita ingin menentukan peluang hasil tersebut juga merupakan anggota gugus A. Notasi yang digunakan adalah P(A|B). PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/10/2017

Peluang Bersyarat (cont’d) Ilustrasi - 1 Perhatikan pelemparan dadu setimbang. Jika diketahui bahwa hasilnya adalah mata dadu genap, berapa peluang yang muncul adalah mata dadu 6? Dalam kasus ini hanya ada tiga kemungkinan hasil yaitu muncul mata dadu 2, 4, dan 6. Karena ada tiga kemungkinan yang memiliki peluang sama (ingat dadunya setimbang) maka P(muncul mata dadu 6|mata dadu genap) = 1/3 PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/10/2017

Peluang Bersyarat (cont’d) Ilustrasi di atas memberikan ide bahwa pada kasus diskret dengan peluang sama untuk setiap kejadian dasar asalkan n(B) > 0 Atau pada kasus umum asalkan P(B) > 0

Peluang Bersyarat (cont’d) Ilustrasi - 2 Perhatikan pelemparan sekeping uang logam setimbang 3 kali (ada 8 kemungkinan kejadian yang peluangnya sama). Misalkan A = {gambar lebih sering muncul daripada angka} dan B = {lemparan pertama menghasilkan gambar}. Dengan asumsi Gambar = H, Angka = T Maka B = {HHH, HHT, HTH, HTT} and AB = {HHH, HHT, HTH} Karena ada 8 kemungkinan dengan peluang yang sama, P(B) = 4/8 and P(AB) = 3/8. Dengan demikian P(A|B} = (3/8) / (4/8) = ¾ PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/10/2017

Peluang Bersyarat (cont’d) Formula peluang bersyarat juga dapat ditulis sebagai asal P(B) > 0

Peluang Bersyarat (cont’d) Ilustrasi - 3 Jika ada pesawat datang, radar mampu mendeteksi secara tepat dengan peluang 0.99. Jika tidak ada pesawat, radar salah mendeteksi (menyatakan ada pesawat) dengan peluang 0.1. Asumsikan bahwa peluang sebuah pesawat asing masuk ke wilayah kita sebesar 0.05. Tentukan besarnya peluang false alarm (tidak ada pesawat, radar mendeteksinya) dan kesalahan deteksi (ada pesawat, tapi radar menyatakan tidak ada). Misalkan A adalah kejadian pesawat asing memasuki wilayah dan R adalah kejadian radar mendeteksi adanya pesawat Berdasarkan keterangan diperoleh P(A) = 0.05,P(R|A) = 0.99 dan P(R|Ac) = 0.1 Yang ingin dicari adalah P(RAc) dan P(RcA) P(false alarm) = P(RAc) = P(Ac)P(R|Ac) = 0.95 x 0.1 = 0.095; dan P(salah deteksi) = P(Rc A) = P(A)P(Rc|A) = 0.05 x 0.01 = 0.0005 PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/10/2017

Kaidah Penggandaan Ilustrasi – 1 Misalkan kita mengambil secara acak 3 kartu dari seperangkat kartu bridge yang terdiri atas 52 kartu. Berapa peluang tidak satupun dari ketiganya adalah kartu hati? Andaikan A1 adalah kejadian kartu pertama bukan hati A2 adalah kejadian kartu kedua bukan hati dan A3 adalah kejadian kartu ketiga bukan hati Maka yang dicari adalah P(A1A2 A3) dan didapatkan dari P(A1A2 A3) = P(A1) . P(A2|A1) . P(A3|A1 A2)

Kaidah Penggandaan (cont’d) PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/10/2017

Kaidah Penggandaan (cont’d) Ilustrasi - 2 Terdapat 16 orang siswa pada suatu kelas, 12 perempuan dan 4 laki-laki. Kelas tersebut dibagi menjadi 4 kelompok yang masing- masing terdiri atas 4 orang. Berapa peluang setiap kelompok memiliki tepat seorang siswa laki-laki? JAWABAN. Andaikan didefinisikan kejadian-kejadian berikut: A1 = {laki-laki pertama dan kedua berada pada grup yang berbeda} A2 = {laki-laki pertama, kedua, dan ketiga berada pada grup yang berbeda} A3 = {laki-laki pertama, kedua, ketiga, dan keempat berada pada grup yang berbeda} PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/10/2017

Kaidah Penggandaan (cont’d) Jelas yang ditanyakan adalah P(A3) Namun perhatikan bahwa P(A3) = P(A1A2 A3) Dengan demikian P(A3) = P(A1A2 A3) = P(A1) . P(A2|A1) . P(A3|A1 A2) Mari kita hitung nilai peluang masing-masing PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/10/2017

Kaidah Penggandaan (cont’d) A1 adalah kejadian laki-laki pertama dan kedua berada pada grup yang berbeda. Andaikan kita tetapkan posisi salah satunya. Maka siswa yang kedua memiliki 15 tempat yang mungkin, dan 12 diantaranya berbeda grup dengan siswa laki- laki yang pertama. Jadi P(A1) = 12/15 Sekarang asumsikan bahwa siswa laki-laki pertama dan kedua sudah berada pada kelompok yang berbeda. Untuk laki-laki yang ketiga ada 14 tempat, dan 8 tempat untuk kelompok yang berbeda. Jadi P(A2|A1) = 8/14 Selanjutnya orang keempat punya 13 tempat kosong, dan 4 diantaranya berbeda grup dengan tiga lainnya. Jadi P(A3|A1 A2) = 4/13 Dengan demikian peluang yang dicari adalah 12/15 x 8/14 x 4/13 PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/10/2017

Kaidah Peluang Total Perhatikan gambar berikut Jika B adalah sebuah kejadian, dan A1, …, An membentuk partisi bagi ruang contoh  (saling terpisah dan membagi habis ), maka B dapat dituliskan sebagai gabungan dari irisan B dengan setiap Ai yaitu B = (BA1)  (BA2)  …  (BAn)

Kaidah Peluang Total (cont’d) Dengan demikian peluangnya adalah P(B) = P(BA1) + P(BA2) + … + P(BAn) Dan karena P(BAi)=P(Ai) P(B|Ai) maka P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) + … + P(An) P(B|An) Persamaan di atas dikenal dengan kaidah peluang total

Kaidah Peluang Total (cont’d) Ilustrasi – 1 Andaikan jika harga saham hari ini naik, maka peluang besok harganya naik adalah 0.8, dan peluang harga esok hari turun adalah 0.2. Jika harga hari ini turun, maka peluang esok hari naik adalah 0.6 dan turun esok hari 0.4. Diketahui harga hari ini mengalami kenaikan. Berapa peluang pada hari ke-3 berikutnya harga saham akan mengalami kenaikan?

Kaidah Peluang Total (cont’d) Andaikan Ni adalah kejadian pada hari ke-i harganya naik Ti adalah kejadian pada hari ke-i harganya turun Yang ditanyakan adalah P(N3) P(N3) = P(N2) P(N3|N2) + P(T2) P(N3|T2) = P(N2) 0.8 + P(T2) 0.6 P(N2)= P(N1) P(N2|N1) + P(T1) P(N2|T1) = P(N1) 0.8 + P(T1) 0.6 P(T2)= P(N1) P(T2|N1) + P(T1) P(T2|T1) = P(N1) 0.2 + P(T1) 0.4 P(N1) = 0.8 P(T1) = 0.2 dengan memasukkan nilai P(N1) dan P(T1) maka akan diperoleh nilai peluang yang dicari.

Dengan menyatakan keduanya dalam bentuk P(BAi) diperoleh Kaidah Bayes A1, …, An membentuk partisi bagi ruang contoh  dengan P(Ai) 0, dan B adalah sebuah kejadian. Maka kita bisa menuliskan Dengan menyatakan keduanya dalam bentuk P(BAi) diperoleh sehingga

Kaidah Bayes (cont’d) dengan mengganti P(B) menggunakan kaidah peluang total maka diperoleh kaidah Bayes

JAWAB. Yang ingin dicari adalah P(A|R) Kaidah Bayes (cont’d) Ilustrasi – 1 Kembali ke kasus radar pesawat. Diketahui bahwa P(A) = 0.05 P(R|A) = 0.99 dan P(R|Ac) = 0.1. Jika diketahui bahwa radar mendeteksi adanya pesawat, berapa peluang pesawat tersebut benar-benar telah memasuki wilayah yang bersangkutan? JAWAB. Yang ingin dicari adalah P(A|R)

Kejadian Saling Bebas (cont’d) Kejadian A dikatakan saling bebas dengan kejadian B, jika P(AB) = P(A) P(B) Dapat ditunjukkan bahwa jika A bebas terhadap B, maka B juga bebas terhadap A

Kejadian Saling Bebas Ilustrasi - 1 Perhatikan pelemparan dadu bersisi-4 setimbang sebanyak 2 kali. Jika A adalah kejadian mendapatkan mata dadu 2 pada pelemparan pertama dan B adalah kejadian mendapatkan mata dadu 3 pada pelemparan kedua. Maka A= {(2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4)} dan B = {(1; 3), (2; 3), (3; 3), (4; 3)} Dengan demikian P(A) = 4/16 = ¼ dan P(B) = 4/16 = ¼ Karena AB = {(2; 3)} maka P(AB) = 1/16 = P(A)P(B) maka kejadian A dan B saling bebas PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/10/2017

Kejadian Saling Bebas (cont’d) Ilustrasi – 2 Masih dengan percobaan yang sama. Misalkan A adalah kejadian nilai maksimum mata dadu yang muncul dari dua kali lemparan adalah 2. Kejadian B adalah kejadian nilai minimum mata dadu yang muncul dari dua kali lemparan adalah 2 Maka A = {(1; 2); (2; 2); (2; 1)}, B = {(2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 2); (4; 2)} P(A) = 3/16, and P(B) = 5/16. Selanjutnya, AB = {(2; 2)}, sehingga P(AB) = 1/16  P(A)P(B). Maka kejadian A dan B tidak saling bebas PHK A2 Departemen Statistika IPB 2009 4/10/2017

Kejadian Saling Bebas (cont’d) Kumpulan kejadian A1, A2, …, An dikatakan saling bebas jika untuk sembarang anak gugus S  {1, 2, …, n} berlaku Perhatikan bahwa untuk tiga kejadian, kesalingbebasan harus memenuhi empat persamaan berikut Perlu dicermati bahwa pemenuhan tiga persamaan pertama tidak berimplikasi pada persamaan terakhir, dan sebaliknya. Lihat halaman berikutnya

Kejadian Saling Bebas (cont’d)

Kejadian Saling Bebas (cont’d)

Minggu Depan… Peubah Acak