PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI

Percobaan Random Seringkali pada sebuah percobaan, hasilnya tidak dapat diprediksikan secara pasti, tetapi himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi dapat diketahui. Jika percobaan ini dapat diulang di bawah kondisi yang sama, maka percobaan ini disebut percobaan random.

Ruang Sampel Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari percobaan random disebut ruang sampel Titik sampel adalah : elemen dari ruang sampel

Contoh : -Pelemparan suatu mata uang. Jika pelemparan ini dilakukan berulang-ulang dibawah kondisi yang sama, maka percobaan ini adalah contoh dari percobaan random, dengan ruang sampelnya adalah {M,B} atau C = {M,B} - Percobaan yang dilakukan ahli pertanian untuk mengetahui efek dari pupuk tertentu terhadap hasil panen padi varitas tertentu.

Kejadian Misalkan C menyatakan sebuah ruang sampel, dan C menyatakan subset dari C atau C C . Himpunan C disebut kejadian. Jadi kejadian adalah subset dari ruang sampel atau subset dariC . Kejadian C disebut terjadi apabila hasil dari percobaan random ada di C.

Contoh : Pelemparan sebuah dadu C ={muka1,muka2,…,muka6} Misalkan C ={muka1,muka3,muka5} Kapan kejadian C disebut terjadi? Jika pada saat melempar dadu muncul muka 5, maka kejadian C disebut terjadi. Demikian seterusnya apabila dalam pelemparan berikutnya yang muncul adalah muka1,atau muka3 atau muka5, maka kejadian C disebut terjadi.

Probabilitas dari Suatu Kejadian C atau P(C) Misalkan terdapat N pengulangan dalam suatu percobaan random. Dalam hal ini dapat dihitung berapa kali kejadian C terjadi, misalkan n kali. Rasio n/N disebut frekuensi relatif dari kejadian C di dalam N pengulangan dari suatu percobaan random. Jika N bertambah besar, maka berdasarkan pengalaman, rasio n/N cenderung stabil atau mendekati suatu nilai tertentu, misalnya p. Bilangan p ini yang nantinya menjadi probabilitas dari suatu kejadian C atau P(C), yang nilainya berada di interval [0,1].

Tujuan utama dari adanya teori stat mat adalah menyediakan/membuat model matematika dari percobaan random. Dengan adanya model tersebut maka statistician dapat mengambil kesimpulan mengenai percobaan random yang dilakukannya. Pembuatan model ini membutuhkan teori tentang probabilitas yang didasarkan pada konsep-konsep himpunan dan fungsi himpunan.

Teori Himpunan Himpunan Subset Himpunan Kosong Union (Gabungan) Himpunan Intersection (Irisan) Himpunan Space Komplemen Fungsi Titik Fungsi Himpunan

Fungsi Himpunan Probabilitas Misalkan C menyatakan ruang sampel. Berikut akan didefinisikan fungsi himpunan P sedemikian hingga jika C adalah subset dari C maka P(C) menyatakan probabilitas bahwa hasil dari suatu percobaan berada di C. Sehingga fungsi himpunan P didefinisikan sbb: P : PC [0,1] C P( C )

Apabila fungsi P di atas memenuhi sifat-sifat berikut : 1. P( C ) ≥ 0. 2. P(C1 U C2 ....) = P(C1) + P(C2) +… dimana Ci Cj = Ø, i≠j 3. P(C ) = 1 maka P disebut fungsi himpunan probabilitas.

Suatu fungsi himpunan probabilitas dapat menunjukkan bagaimana probabilitas didistribusikan atas subset-subset C dari ruang sampel C dan untuk selanjutnya disebut distribusi probabilitas.

Teorema 1 Untuk setiap C subset dariC , P(C) = 1 – P(C*) Bukti : Misalkan C = C C* dan C C* = Ø. Berdasarkan sifat 1 dan 2 dari fhp, maka : P(C )= P(C C*) 1 = P(C ) + P(C*) atau P(C ) = 1 - P(C*)

Teorema 2 Probabilitas dari himpunan kosong adalah nol atau P(Ø) = 0. Bukti: Dari teorema 1, ambil C = Ø maka C* = C Jadi P(Ø) = 1 – P(C ) = 1 – 1 = 0

Teorema 3 Jika C1 dan C2 adalah subset-subset dari C sedemikian hingga C1 C2, maka P(C1) ≤ P(C2). Bukti: C2 = C1 (C1* C2) dan C1 (C1* C2) = Ø Berdasarkan sifat 2 dari fhp,diperoleh: P(C2 ) = P(C1 (C1* C2) ) P(C2 ) = P(C1 ) + P (C1* C2) , P (C1* C2) 0 Jadi, P(C1 ) P(C2 ).

Teorema 4 Setiap C subset dari C, 0 ≤ P( C ) ≤ 1. Bukti: Karena Ø C C,maka dari teorema 3 diperoleh : P(Ø ) ≤ P(C ) ≤ P(C ) 0 ≤ P( C ) ≤ 1

Teorema 5 Jika C1 dan C2 adalah subset-subset dari C maka P(C1 U C2) = P(C1)+P(C2) – P(C1 C2) Bukti: C1 C2 dan C2 dapat dinyatakan sbb: C1 C2 = C1 (C1* C2) dan C2 = (C1 C2 ) (C1* C2) Karena C1 (C1* C2) = Ø dan (C1 C2 ) (C1* C2 )=Ø

maka berdasarkan sifat 2 dari fhp, diperoleh: P ( C1 C2) = P (C1 (C1* C2 )) P ( C1 C2) = P (C1 ) + P (C1* C2 ) (1) dan P (C2 ) = P((C1 C2 ) (C1* C2)) P (C2 ) = P(C1 C2 ) + P (C1* C2) (2) Dengan mengurangkan (2) dari (1), didapat: P ( C1 C2) - P (C2 ) = P (C1 ) - P(C1 C2 ) Jadi P ( C1 C2) = P (C1 ) +P (C2 ) - P(C1 C2 )

Contoh: Misalkan C adalah ruang sampel dimana elemen-elemennya merupakan hasil pelemparan 2 buah dadu. C = {(1,1),…,(1,6),(2,1),…,(2,6),…,(6,1),…,(6,6)} Misal masing-masing elemen tersebut atau C1 = {(1,1)}, C2={(1,2)},…, C36 = {(6,6)} probabilitasnya atau P(C1 )= dst. Misal D1 = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1)} dan D2 = {(1,2),(2,2),(3,2)} maka P(D1 )= ,P(D2 )= P (D1 D2 )= 0

P(D1 D2 ) = P(D1 ) + P(D2 ) - P (D1 D2 ) = + - 0 =

Mutually Exclusive Events, Mutually Exclusive Events and Exhaustive, Equally Likely Misalkan C adalah ruang sampel dan misal C1, C2,… adalah subset-subset dari C. Apabila C1, C2,… tidak saling beririsan maka C1, C2,… disebut mutuallly disjoint sets. Karena C1, C2,… adalah kejadian maka C1, C2,… disebut juga mutually exclusive sets atau mutually exclusive events. Apabila C = C1 C2 … dan C1, C2,… adalah mutually exclusive events maka menurut sifat 2 fhp, diperoleh P(C )=P(C1 )+P(C2) + … atau P(C1 )+P(C2) + … = 1. Kalau berlaku demikian maka C1, C2,… disebut mutually exclusive events and exhaustive. Misalkan C = C1 C2 … Ck dimana C1, C2,…Ck mutually exclusive events and exhaustive. Misalkan P(Ci) = 1/k,i = 1,2..,k Apabila C1, C2,…Ck memenuhi sifat-sifat tersebut maka C1, C2,…Ck disebut equally likely.