BAGIAN - 8 Teori Probabilitas

Probabilitas Pengertian Probabilitas adalah besarnya kemungkinan terjadinya suatu peristiwa Nilai probabilitas: dari 0 sampai dengan 1 Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 0 menunjukkan bahwa peristiwa tersebut pasti tidak akan terjadi Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 1 menunjukkan bahwa peristiwa tersebut pasti akan terjadi

BEBERAPA ISTILAH Events: satu atau lebih kemungkinan hasil dari melakukan suatu tindakan Experiment: Suatu tindakan yang menghasilkan akan menghasilkan peristiwa (event). Sample space: Kumpulan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan (experiment). Contoh: Jika kita melempar sebuah mata uang satu kali, maka tentukan mana yang disebut experiment, event, dan sample space?

Tiga Pendekatan Pendekatan Klasik Pendekatan ini didefinisikan: Secara simbolis: Jika a adalah banyaknya peristiwa A dan b adalah banyaknya peristiwa bukan A, maka pobabilitas peristiwa A dapat dinyatakan sebagai berikut:

Lanjutan …. Pendekatan Frekuensi Relatif Pendekatan Subyektif Observasi dari suatu kejadian dg banyak percobaan Proporsi suatu kejadian dlm jk panjang pada saat kondisi stabil Pendekatan Subyektif Pendekatan ini berdasarkan kepercayaan seseorang dalam membuat pernyataan probabilitas suatu peristiwa.

Aturan-aturan probabilitas Simbol probabilitas P(A) = probabilitas kejadian A akan terjadi Probabilitas marjinal Probabilitas yang hanya ada 1 peristiwa Contoh: Probabilitas seorang peserta memperoleh gelar juara 1 dari 20 peserta dalam suatu turnamen

Lanjutan…. Diagram Venn Mutually exclusive events Nonmutually exclusive events A A B B

Hukum Penjumlahan Mutually Exclusive Events Probabilitas di mana 2 atau lebih peristiwa/kejadian/hasil tidak dapat terjadi secara bersamaan P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B) Contoh: Misalnya dalam sebuah kelompok mahasiswa beranggotakan Ani, Budi, Candra, dan Eko. Berapa probabilitas terpilih menjadi ketua kelompok adalah: a. Ani b. Budi atau Eko P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)

Lanjutan…. Non Mutually Exclusive Events Probabilitas di mana dua atau lebih kejadian dapat terjadi bersama-sama P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) Contoh: Jika sebuah kartu remi diambil sebuah kartu secara acak, maka berapa probabilitas kartu yang terambil adalah kartu yang: berangka 8. berangka 5 atau yang bergambar hati P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

Kasus 1: Aturan Penjumlahan Suatu survey dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap 3 produk yang dihasilkan perusahaan, yaitu produk A, B, dan C. Responden diminta untuk menjawab pertanyaan mengenai produk mana yang pernah ia beli. Berdasarkan sampel sebanyak 70 responden di daerah tersebut diperoleh informasi sebagai berikut: 30 responden menyatakan pernah membeli A 20 responden menyatakan pernah membeli B 25 responden menyatakan pernah membeli C 7 responden menyatakan pernah membeli A dan B 11 responden menyatakan pernah membeli A dan C 8 responden menyatakan pernah membeli B dan C 3 responden menyatakan pernah membeli A dan B dan C

a. pernah membeli barang A atau C b. pernah membeli barang B atau C Lanjutan soal Berdasarkan sampel hasil survey tersebut, tentukan probabilitas seorang responden: a. pernah membeli barang A atau C b. pernah membeli barang B atau C c. pernah membeli barang A atau B atau C d. tidak pernah membeli barang A atau B atau C.

Kasus 2: Aturan Penjumlahan Suatu perusahaan melakukan survey mengenai pendapat konsumen terhadap produk yang ia hasilkan. Data berikut ini menunjukkan pendapat responden terhadap produk tersebut. Jika dipilih seorang responden secara random, tentukan probabilitas bahwa ia: remaja atau berpendapat sangat puas dewasa atau remaja dewasa atau berpendapat kurang puas.

Hukum Perkalian Independent Events: peristiwa yang satu tidak berhubungan dengan peristiwa yang lain Marginal Probability Probabilitas sederhana dari terjadinya suatu peristiwa P(A) Contoh: Jika kita melempar sebuah dadu sebanyak 1 kali, berapa probabilitas muncul sisi dadu yang bermata dua?

Lanjutan…. Joint Probability untuk peristiwa yang independen Simbol joint probability: P(A dan B) = P(AB) = P(A). P(B) P(A B C) = P(A) . P(B) . P(C) Contoh: Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola hijau. Jika dari kotak tersebut diambil sebuah bola berturut-turut sampai 3 kali pengambilan dengan pengembalian, tentukan probabilitas akan terambil bola hijau, biru, dan merah masing-masing satu buah?

Lanjutan…. Conditional probability Probabilitas yang terjadinya dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya. Untuk peristiwa yang independen, prob terjadinya peristiwa B dgn syarat peristiwa A sudah terjadi terlebih dahulu, adalah probabilitas peristiwa B itu sendiri P(B/A) = P(B) Contoh : Brp prob muncul sisi gambar pd koin dg syarat muncul sisi angka pd pelemparan sebelumnya?

Lanjutan… Dependent Events Conditional Probability Suatu kejadian menghasilkan 2 buah kejadian yang saling tergantung satu sama lain. Contoh: Enam puluh persen karyawan perusahaan ABC membaca koran, 45% membaca tabloid, dan 30% membaca keduanya. Berapa probabilitas terpilih seorang karyawan yang membaca koran dengan syarat dia juga membaca tabloid?

Lanjutan….. Joint Probability Probabilitas terjadinya suatu peristiwa dimana terjadinya peristiwa tersebut dipengaruhi oleh terjadinya peristiwa lain. P(A dan B) = P(AB) = P(A). P(B/A) P(A B C) = P(A) . P(B/A) . P(C/AB) Contoh: Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola hitam. Jika dari kotak tersebut diambil sebuah bola berturut-turut sampai 3 kali pengambilan dengan tanpa pengembalian, tentukan probabilitas akan terambil bola hitam, biru, dan merah masing-masing satu buah?

Lanjutan… Marginal Probability Probabilitas sederhana dari suatu kejadian yang dependen

P(AB = P(A/B) . P(B) P(AB = P(B/A) . P(A) P(B/A) . P(A) = P(A/B) . P(B)

Bayes Theorem Pengembangan konsep probabilitas bersyarat. Peristiwa A hanya bisa terjadi jika salah satu dari n peristiwa yang saling asing B1, B2, …, B3 juga terjadi

Contoh Kasus Sebuah perusahaan yang memproduksi ban mobil menggunakan 3 buah mesin dalam proses produksinya. Mesin 1 memproduksi 20% dari total produk, mesin 2 memproduksi 30%, dan mesin 3 menghasilkan 50%. Produk rusak yang dihasilkan mesin 1 sebesar 10%, mesin 2 sebesar 5% dan mesin 3 sebesar 2%. Jika diambil secara random sebuah ban, berapa probabilitas yang terpilih adalah ban yang rusak? Dan jika ban yang terpilih adalah yang rusak, berapa probabilitas ban tersebut dihasilkan oleh mesin 3?

Faktorial, Permutasi, dan Kombinasi n! = n x (n-1) x (n -2) x ….. x 1 Permutasi adalah banyaknya cara untuk menyusun x obyek yang dipilih dari n obyek dengan memperhatikan urutannya Formulasinya: Contoh: Dari 3 calon pemimpin,yaitu A, B, C akan dipilih 2 orang untuk menduduki jabatan ketua dan wakil ketua. Berapa kemungkinan yang dapat terjadi?

Kombinasi Kombinasi adalah banyaknya cara untuk menyusun x obyek yang dipilih dari n obyek dengan mengabaikan urutannya. Formulasinya : Contoh: Jika ada 3 orang pemain bulu tangkis akan dijadikan pemain ganda. Berapa kombinasi yang dapat disusun?

Mathematical Expectations Apabila P adalah probabilitas untuk memperoleh sejumlah Q, maka harapan matematisnya adalah sebesar PQ. Formulasinya: Contoh: Seorang penjual es mendapat laba Rp5000 jika hari panas. Namun ia akan rugi Rp1000 jika hari hujan. Berapa harapan matematikanya jika probabilitas akan turun hujan sebesar 0,4?