Oleh: Sudaryatno Sudirham Open Course Fungsi dan Grafik Oleh: Sudaryatno Sudirham

Pengantar Dalam pelajaran ini disajikan bahasan tentang fungsi dan grafik sebagai tahap awal dalam mempelajari kalkulus Bahasan dibatasi pada fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

Cakupan Bahasan Pengertian Tentang Fungsi Fungsi Linier Gabungan Fungsi Linier Mononom dan Polinom Bangun Geometris Fungsi Trigonometri Gabungan Fungsi Sinus Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik Fungsi dalam Koordinat Polar

Pengertian Tentang Fungsi BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi

Pengertian Tentang Fungsi Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur Pernyataan secara umum ditulis disebut peubah tak bebas nilainya tergantung x disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang dalam pelajaran ini nilai x dibatasi pada nilai bilangan nyata Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi

Pengertian Tentang Fungsi Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi rentang terbuka a b a < x < b a dan b tidak termasuk dalam rentang rentang setengah terbuka a b a  x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak rentang tertutup a b a  x  b a dan b masuk dalam rentang

Pengertian Tentang Fungsi Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku sumbu-y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 P[2,1] Q[-2,2] R[-3,-3] S[3,-2] y x IV I II III sumbu-x Bidang terbagi dalam 4 kuadran Kuadran I, II, III, dan IV Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam koordinat [x, y]

Pengertian Tentang Fungsi Kurva dari Suatu Fungsi Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y x -1 1 2 3 4 dst. y -0,5 0,5 1,5 Δx Δy -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 -1 3 4 x y R P Q Kurva Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva:

Pengertian Tentang Fungsi Kekontinyuan Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

Pengertian Tentang Fungsi Contoh-1.1. y x y = u(x) 1 Terdefinisikan di x = 0 y = 1/x y x -1 1 -10 -5 5 10 Tak terdefinisikan di x = 0

Pengertian Tentang Fungsi Simetri Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; 2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. 4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Pengertian Tentang Fungsi Contoh-1.2. -6 -3 3 6 y = 0,3x2 y = 0,05x3 y2 + x2 = 9 x y tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y tidak berubah bila x diganti x tidak berubah jika: x diganti x x dan y diganti dengan x dan y x dan y dipertukarkan y diganti dengan y

Pernyataan bentuk implisit Pengertian Tentang Fungsi Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit Pernyataan fungsi bentuk eksplisit: dapat diubah ke bentuk eksplisit Pernyataan bentuk implisit Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y -8 -4 4 8 -2 2 x y

untuk setiap nilai peubah-bebas Pengertian Tentang Fungsi Fungsi Bernilai Tunggal Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas Contoh-1.3. 4 8 -1 1 2 3 x y 0,8 1,6 1 2 x y -1,6 -0,8 1 2 x y 2 4 -4 -2 x y -0,8 0,8 1 2 3 4 x y

untuk setiap nilai peubah-bebas Pengertian Tentang Fungsi Fungsi Bernilai Banyak Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas Contoh-1.3. -10 -5 5 10 1 2 3 x y -2 -1 1 2 3 x y

Pengertian Tentang Fungsi Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

Pengertian Tentang Fungsi Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol  Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar x P  r y rsin rcos

BAB 2 Fungsi Linier

Fungsi Linier Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari  sampai +. Contoh-2.1. x - 4 5 y y = 4

Fungsi Linier Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0] garis lurus melalui [0,0] Δx Δy 1 2 -1 3 4 x y kemiringan garis lurus Contoh-2.2. -6 -4 -2 2 4 6 8 -1 1 3 x y y = 0,5x y = x y = 2x y = -1,5 x m > 0 m < 0

titik potong dengan sumbu-y titik potong dengan sumbu-x Fungsi Linier Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus pergeseran ke arah sumbu-x pergeseran ke arah sumbu-y 8 y = 2x y  2 = 2x -4 -2 2 4 6 8 10 -1 1 3 x y y y = 2x 6 4 titik potong dengan sumbu-y y =2(x–1) 2 -1 1 2 3 x 4 -2 titik potong dengan sumbu-x -4 kurva tergeser sebesar b ke arah sumbu-y positif kurva tergeser sebesar a ke arah sumbu-x positif Bentuk umum persamaan garis lurus

Fungsi Linier Contoh-2.3. y memotong sumbu y di 4 -4 -2 2 4 6 8 -1 1 3 x y memotong sumbu y di 4 memotong sumbu x di 2 Persamaan garis: atau

Fungsi Linier Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik y x 8 y 6 [x2,y2] 4 [x1,y1] 2 -1 1 2 x 3 -2 -4 Contoh-2.4. -4 -2 2 4 6 8 -1 1 3 x y [1,4] [3,8] persamaan garis: atau atau atau atau

Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1 maupun y2. Fungsi Linier Perpotongan Garis Lurus Dua garis: dan Koordinat titik potong P harus memenuhi: Contoh-2.5. -30 -20 -10 10 20 30 -5 5 y x y2 y1 P Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1 maupun y2. xP yP Titik potong:

Fungsi Linier Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a Contoh-2.7. Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V  anoda katoda l Kuat medan listrik: Gaya pada elektron: gaya fungsi linier dari V Percepatan pada elektron: percepatan fungsi linier dari Fe Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?

Fungsi Linier Contoh-2.8. Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan. gaya panjang tarikan konstanta pegas Contoh-2.9. Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan. G dan R adalah tetapan konduktansi resistansi panjang konduktor kerapatan arus resistivitas Luas penampang konduktor

Fungsi Linier Contoh-2.10. Peristiwa difusi: materi menembus materi lain xa x Ca Cx materi masuk di xa materi keluar di x x Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materi Ca dan Cx bernilai konstan gradien konsentrasi Fluksi materi yang berdifusi ke arah x koefisien difusi Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.

Gabungan Fungsi Linier BAB 3 Gabungan Fungsi Linier

Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0 Gabungan Fungsi Linier Fungsi Anak Tangga muncul pada x = 0 amplitudo Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0 Fungsi anak tangga satuan Fungsi anak tangga secara umum Contoh-3.1. -4 5 x y 1 - 4 5 x y Fungsi anak tangga tergeser Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif

Gabungan Fungsi Linier Fungsi Ramp Fungsi ini baru muncul pada x = 0 karena ada faktor u(x) yang didefinisikan muncul pada x = 0 (fungsi anak tangga) kemiringan Fungsi ramp tergeser: Fungsi ramp satuan : kemiringan a = 1 Contoh-3.2. 1 2 3 4 5 6 -1 x y y1 = xu(x) y2 = 2xu(x) y3 = 1,5(x-2)u(x-2)

Gabungan Fungsi Linier Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan menghilang pada x2 > x1 Contoh-3.3. lebar pulsa y1=2u(x-1) 2 1 y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2) -1 1 2 3 x 4 -1 -2 perioda x y y2 = 2u(x2) Deretan Pulsa:

Gabungan Fungsi Linier Perkalian Ramp dan Pulsa pulsa hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya maka y juga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja ramp Contoh-3.4. y2 = {u(x)-u(x-b)} y1 = mxu(x) y3 = y1 y2 = mx{u(x)-u(x-b)} 2 4 6 8 10 -1 1 3 5 y x b y1=2xu(x) y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)} y3 = y1 y2 2 4 6 8 10 -1 1 3 5 x y

Gabungan Fungsi Linier Gabungan Fungsi Ramp Contoh-3.4. y1= 2xu(x) y2= 2(x2)u(x2) y3= 2xu(x)2(x2)u(x2) y -8 -4 4 8 12 1 2 3 5 x Kemiringan yang berlawanan membuat y3 bernilai konstan mulai dari x tertentu y1=2xu(x) y2= 4(x2)u(x2) y3= 2xu(x)4(x2)u(x2) -10 -5 5 10 15 1 2 3 4 x y y2 lebih cepat menurun dari y1 maka y3 menurun mulai dari x tertentu

Pulsa ini membuat y3 hanya bernilai dalam selang 1 x  3 Gabungan Fungsi Linier y1= 2xu(x) y2= 4(x-2)u(x-2) y3= {2xu(x)4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} -10 -5 5 10 15 1 2 3 4 x y Pulsa ini membuat y3 hanya bernilai dalam selang 1 x  3

BAB 4 Mononom dan Polinom

Mononom

Mononom Mononom Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn Mononom Pangkat Dua: Karena x2  0,maka jika k > 0  y > 0 jika k < 0  y < 0 Contoh-4.1. y = x2 y = 3x2 y = 5x2 y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 x -100 -80 -60 -40 -20 - 5 4 3 2 1 y x y memiliki nilai minimum y memiliki nilai maksimum

Mononom Pergeseran kurva mononom pangkat dua y3 = 10(x2)2 + 30 y 50 100 -5 -3 -1 1 3 5 x y Pergeseran ke arah sumbu-y positif y1 = 10x2 y2 = 10(x2)2 Pergeseran ke arah sumbu-x positif

Koordinat titik potong antara kurva Mononom Mononom Pangkat Genap pada umumnya Contoh-4.2. Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncak y2 = 2x4 y3 = 2x6 y1 = 2x2 1 2 3 y -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 x Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k] Koordinat titik potong antara kurva 2 4 6 8 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 y = x6 y = 3x4 y = 6x2 y x Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y

Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0] Pangkat ganjil terendah: linier -3 -2 -1 1 2 3 -1.5 -0.5 0.5 1.5 y = 2x y = 2x5 y = 2x3 y x Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan titik belok Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1,k] Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]

Mononom Mononom Pangkat Tiga y y x x Mononom pangkat tiga Pergeseran ke arah sumbu-y positif y = 10(x2)3 + 100 -500 -400 -300 -200 -100 100 200 300 400 500 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y x -600 -400 -200 200 400 600 -5 -3 -1 1 3 5 x y = 10x3 y y = 10(x2)3 Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0] Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu-x positif

Polinom

Polinom, Pangkat Dua Polinom Pangkat Dua y y x x -150 150 -10 x = 15/2 10 y y1=2x2 x y3=13 y2=15x -150 150 -10 10 Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: Perpotongan dengan sumbu-x

Penambahan komponen y3 = 13 memberikan: Polinom, Pangkat Dua y4 = 2x2+15x x y -150 150 -10 sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13 10 y4 = 2x2+15x 15/2 x y -150 150 -10 sumbu simetri 15/4 10 Sumbu simetri dari Penambahan komponen y3 = 13 memberikan: memotong sumbu-x di: Koordinat titik puncak:

Polinom, Pangkat Dua Polinom Pangkat Dua secara umum y = ax2 +bx +c y x -50 Pergeseran ke arah kiri sumbu-x Sumbu simetri: Pergeseran ke arah negatif sumbu-y

Polinom, Pangkat Tiga Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua -2000 2000 -10 10 y x y1 = 4x3 -2000 2000 -10 10 x y y1 y2 Penjumlahan: y3 = y1 + y2 Mononom pangkat tiga (y1) Dan Polinom pangkat dua (y2) y3 memotong sumbu-x di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien y1

Polinom, Pangkat Tiga Kasus: a terlalu positif Kasus: a kurang positif -2000 2000 -10 15 y1 y2 y3 = y1+y2 2000 -10 10 y2 y1 y3 = y1 + y2 -2000 Kasus: a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah x negatif Hanya ada satu titik potong di x positif Kasus: a kurang positif Penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong sumbu-x di 2 titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x negatif

Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat Polinom, Pangkat Tiga y3 = y1 + y2 -2000 2000 -10 15 -2000 -10 15 2000 y2 y1 y3 = y1 + y2 a < 0 Kurva y3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat

BAB 5 Bangun Geometris

Bangun Geometris, Karakteristik Umum Simetri jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Bangun Geometris, Karakteristik Umum Nilai Peubah Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks Contoh-5.1. Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0 Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang

Bangun Geometris, Karakteristik Umum Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y Contoh-5.2. Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,1] xy = 1 Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y

tidak boleh < 0 agar x(x1) > 0 Bangun Geometris, Karakteristik Umum Asimptot Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot Contoh-5.3. tidak boleh < 0 agar x(x1) > 0 haruslah x < 0 atau x > 1 Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva -4 4 y x

Bangun Geometris, jarak antara dua titik Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka Contoh-5.4. -4 -2 2 4 6 8 -1 1 3 x y [1,4] [3,8]

Bangun Geometris, Parabola Bentuk kurva disebut parabola [0,0] y x y=kx2 P[x,y] Q[0,p] R[x,p] P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-y y = p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR Q disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya

Bangun Geometris, Parabola Contoh-5.4. Parabola dapat kita tuliskan Direktrik: Titik fokus: Q[0,(0,5)]

Bangun Geometris, Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut titik pusat lingkaran Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [0.0] Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu-x dan sejauh b ke arah sumbu-y Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b)

Bangun Geometris, Lingkaran Contoh-5.5. -1 0,5 1 [0,0] x y r = 1 r

Kedua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips Bangun Geometris, Elips Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan Kedua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x y kwadratkan sederhanakan kwadratkan

Bangun Geometris, Elips X[x,y] P[-c, 0] Q[c, 0] x y [a,0] [a,0] [0,b] [0,b] sumbu panjang = 2a sumbu pendek = 2b Elips tergeser 1 -1 2 x y

Dalam segitiga PXQ, selisih (XPXQ) < PQ Bangun Geometris, Hiperbola Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan X(x,y) P[-c,0] Q[c,0] y x kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan Dalam segitiga PXQ, selisih (XPXQ) < PQ  2c < 2a  c2  a2 = b2 persamaan hiperbola

Bangun Geometris, Hiperbola +  X(x,y) -c c y x [-a,0] [a,0] Kurva tidak memotong sumbu-y Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = a dan x = a

Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Bangun Geometris, Kurva Berderajat Dua Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah Persamaan parabola: Lingkaran: F = 1 Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini

Bangun Geometris, Kurva Berderajat Dua Perputaran Sumbu Koordinat Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x P[-a,-a] Q[a,a] y x -5 5 x y Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x, Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x.

BAB 6 Fungsi Trigonometri

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan Fungsi Trigonometri, Pengertian-Pengertian Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan Fungsi Cosecan O P Q  -1 1 [0,0] x y r = 1 P’ - Fungsi sinus Fungsi Tangent Fungsi Cosinus Fungsi Cotangent Fungsi Secan

Fungsi Trigonometri, Relasi-Relasi sin  -1 1 [0,0] x y  cos cos cos cos sin sin sin sin cos Karena

Fungsi Trigonometri, Relasi-Relasi Contoh-6.1:

pergeseran fungsi cosinus sejauh /2 ke arah sumbu-x positif Fungsi Trigonometri, Normal Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y x y -1 1   2 2 perioda perioda -1 1 x y 2   pergeseran fungsi cosinus sejauh /2 ke arah sumbu-x positif Contoh:

Fungsi Trigonometri, Normal -3 -2 -1 1 2 3 -3/4 -/2 /4 /2 3/4 -/4 Fungsi Tangent Rentang: -/4 < tan < /4 /4 < tan < 3/4 dst. Lebar rentang: /2 asimptot -3 -2 -1 1 2 3 -3/4 -/2 -/4 /4 /2 3/4 Fungsi Cotangent Rentang: 0 < tan < /2 -/2 < tan < 0 dst. Lebar rentang: /2

Fungsi Trigonometri, Normal -3 -2 -1 1 2 3 -1,5 - -0,5 0,5  1,5 Fungsi Secan Rentang: -/2 < tan < /2 /2 < tan < 3/2 dst. Lebar rentang:  asimptot Fungsi Cosecan -3 -2 -1 1 2 3 -1,5 - -0,5 0,5  1,5 Rentang: 0 < tan <  -< tan < 0 dst. Lebar rentang: 

Fungsi Trigonometri, Inversi Sinus Inversi Sudut y yang sinusnya = x x y -1 1   2 2 y x 1 -0,5 -0,25 0,25 0,5 -1 -0,5 0,5 1 x y Kurva nilai utama -/2 < sin-1x </2 -1 < x < 1 Kurva lengkap

Fungsi Trigonometri, Inversi Cosinus Inversi x y -1 1   0,25 0,5 0,75 1 -1 -0,5 0,5 1 x y y x 1 Kurva nilai utama 0 < cos-1x <  -1 < x < 1 Kurva lengkap

Fungsi Trigonometri, Inversi Tangent Inversi -3 -2 -1 1 2 3 -1,5 - -0,5 0,5  1,5 y x -0,5 -0,25 0,25 0,5 -10 -5 5 10 x y y x 1 Kurva nilai utama Kurva lengkap

Fungsi Trigonometri, Inversi Cotangent inversi dengan nilai utama y x 1 0,5 1 -10 -5 5 10 y x Kurva nilai utama

Fungsi Trigonometri, Inversi Secan Inversi dengan nilai utama 0,25 0,5 0,75  -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y y x 1 Kurva nilai utama

Fungsi Trigonometri, Inversi Cosecan Inversi dengan nilai utama y -0,5 -0,25 0,25 0,5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y x 1 Kurva nilai utama

BAB 7 Gabungan Fungsi Sinus

Tiga besaran karakteristik fungsi sinus Gabungan Fungsi Sinus Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus sudut fasa frekuensi siklus amplitudo Selain frekuensi siklus, f0, kita mengenal juga frekuensi sudut, 0, dengan hubungan

Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: Gabungan Fungsi Sinus Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan perioda Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: T0 -A A t y T0 -A A t y Ts Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi periodik walaupun tidak berbentuk sinus.

Gabungan Fungsi Sinus Contoh-6.1. Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya y y = 3 cos 2f0t -4 4 -5 15 t y = 1 + 3 cos 2f0t - 5 1 Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan

Gabungan Fungsi Sinus Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh banyak komponen sinus yang terlibat Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f0 disebut komponen fundamental Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f0 Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f0 Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f0 dst. Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah

Gabungan fungsi sinus membentuk gelombang persegi Contoh-6.2. Gabungan fungsi sinus membentuk gelombang persegi a). sinus dasar (fundamental). b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada harmonisa ke-21.

Gabungan Fungsi Sinus Spektrum Lebar Pita Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum. Ada dua spektrum yaitu Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya. Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang amplitudonya sudah dapat diabaikan. Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah Lebar Pita Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisih fmaks dan fmin

Gabungan Fungsi Sinus Contoh-6.3. Frekuensi f0 2 f0 4 f0 Amplitudo 10 f0 2 f0 4 f0 Amplitudo 10 30 15 7,5 Sudut fasa  /2  /2 2 1 2 3 4 5 Sudut Fasa Frekuensi [f0] /2 2 10 20 30 40 1 2 3 4 5 Frekuensi [f0] Amplitudo Spektrum Sudut-fasa Spektrum Amplitudo

Gabungan Fungsi Sinus Deret Fourier Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier fungsi periodik Koefisien Fourier Contoh-6.4. T0 t y

Gabungan Fungsi Sinus Contoh-6.5. T0 A t y Contoh-6.6. T0 A t y

Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik BAB 8 Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik

Fungsi Logaritma Natural

Fungsi Logaritma Natural Bilangan Natural Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e Bilangan e ini, seperti halnya bilangan , adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakang koma, nilainya adalah e = 2,7182818284

Fungsi Logaritma Natural Definisi ln x x t ln x 1/t 1 2 3 4 5 6 y luas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-x yang dibatasi oleh t = 1 dan t = x Kurva y = ln x -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 3 4 x y e y = ln x e = 2,7182818284…..

Fungsi Logaritma Natural Sifat-Sifat

Fungsi Eksponensial

Fungsi Eksponensial Fungsi Eksponensial Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial yang penting adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0 Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t = 0

Fungsi Eksponensial Kurva Fungsi Eksponensial y 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0,5 1,5 2 2,5 3 3,5 4 x y e x e2x Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun mendekati sumbu-x Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a

makin kecil , makin cepat fungsi eksponensial menurun Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah yang dituliskan dengan singkat  = 1/a disebut konstanta waktu makin kecil , makin cepat fungsi eksponensial menurun Pada saat t = 5, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5

Fungsi Eksponensial Gabungan Fungsi Eksponensial A t/

Fungsi Hiperbolik

cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh) Fungsi Hiperbolik Fungsi Hiperbolik Definisi Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh) Untuk sinh x dan cosh x terdapat hubungan sedangkan untuk sin x dan cos x terdapat hubungan:

Fungsi Hiperbolik Fungsi hiperbolik yang lain y = sinh v x = cosh v +  v v = 0 P[x,y] y = sinh v x = cosh v -4 -2 2 4 Fungsi hiperbolik yang lain

Fungsi Hiperbolik Beberapa Identitas

Fungsi Hiperbolik Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 1 2 3 4 y x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 -2 y x x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

BAB 9 Koordinat Polar

Koordinat Polar Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku y P[r,] x y  [0,0] r xP yP

Koordinat Polar Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku dalam koordinat polar b [0,0] a x y P[r,]  r [0,0] a x y P[r,]  r

Koordinat Polar Contoh-9.1. cardioid y y P[r,] P[r,] x x y P[r,] x -3 -2 -1 1 2 3 -5 y x r  P[r,] cardioid  y x -3 -2 -1 1 2 3 -5 5 r P[r,] -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 3 x y  =   = 2  = 3  = 4 r  P[r,] y = 2

Koordinat Polar Persamaan Garis Lurus P[r,] P[r,] P[r,] P[r,] r  y x l1 a P[r,] r  O y x l2 b P[r,]  r  l3 a A O y x  P[r,] r  l4 a O y x  P[r,]

Koordinat Polar Parabola, Elips, Hiperbola Eksentrisitas Parabola: direktriks F D  r k x A B y P[r,] titik fokus Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola. Parabola: Elips: (misal es = 0,5) (misal es = 2) Hiperbola:

Koordinat Polar Lemniskat dan Oval Cassini Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan F1[a,] F2[a,0] P[r,] r   = 0  =   = /2 Misalkan Buat b dan a berrelasi b = ka

Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1 Koordinat Polar Lemniskat Kondisi khusus: k = 1  = 0  =   = /2 -0,6 -0,2 0,2 0,6 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1  = 0  =   = /2 -1 -0,5 0,5 1 -2 2 Kurva dengan a = 1

Koordinat Polar Oval Cassini Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8  = 0  =   = /2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 -2 2

Courseware Fungsi dan Grafik Sekian Terimakasih Sudaryatno Sudirham