1 Matrix & Transformasi Linear TONY HARTONO BAGIO 2004

2 Bab I. Vektor

3 Definisi –Vektor adalah suatu garis yang mempunyai arah. Istilah (Lihat Gambar 1) –Titik Awal Vektor adalah titik A –Titik Ujung Vektor adalah titik B –Garis yang melalui AB disebut garis pembawa NOTASI –AB atau a adalah Notasi Vektor –|AB| atau |a| adalah besar Vektor A B a Gambar 1.

4 Operasi Vektor 1.Penjumlahan Vektor. 1.Jajaran Genjang 2.Segi Tiga 3.Perkalian Skalar misal k = 2, dan vektor = a, perkalian= 2 * a a b R = a + b Gambar 2 a b R = a + b a 2a Gambar 3 Gambar 4

5 Vektor pada 2D & 3D Dimensi Dua (2D)Dimensi Tiga (3D) B(3,1) A(1,2) O(0,0) B(3,1,0) A(1,2,0) T(3,3,3)

6 Dalil Operasi Vektor a + b = b + a( komutatif ) (a + b) + c = a + (b+c)( asosiatif ) k(a + b) = ka + kb( distributif ) a + 0 = a a + (-a) = 0 (k+m)a = ka + ma (km)a = k(ma) = m(ka)

7 Dot Produk Bila a dan b adalah vektor, dan  adalah sudut antara a dan b (0     ) a.b = |a| |b| cos  DEFINISI : Dot Produk a dan b, disajikan sebagai a.b, dibaca “a dot b” merupakan suatu skalar a b 

8 Field (1) K adalah himpunan, –Penjumlahan ( + ) –Perkalian (. ) K adalah Field bila :  K   K dan  K ; K tertutup terhadap operasi ( + ) dan (. )  K  (   K  0 + 

9 Field (2)  K  -  K ; (-   K    K  (   K       K    K  1  =  1 =   0  K    (invers) ;     

10 Dependent vs Independent Himpunan m buah vektor {u 1, u 2, … u m } disebut Linearly Dependent, bila terdapat skalar     m tidak semua bernilai nol sehingga 1 u u 2 + …. m u m = 0 Himpunan m buah vektor {u 1, u 2, … u m } disebut Linearly Independent, 1 u u 2 + …. m u m = 0, hanya terpenuhi bila      m = 0

11 Dependent vs Independent (1) Bila m = 1, himpunan mempunyai 1 anggota, yaitu u maka: Bila u = 0, akan linearly dependent, karena u = 0  0 = 0 utk  0 Bila u  0, akan linearly independent, karena u = 0  0u = 0 utk = 0

12 Contoh [2,3] dan [1,3] adalah linearly independent; Karena 1 [2,3] + 2 [1,3] = [0,0] Atau = = 0 Diperoleh hanya 1 = 2 = 0

13 Kombinasi Linear DEFINISI: Vektor v disebut kombinasi linear dari verktor-vektor {u 1, u 2, … u n } bila terdapat skalar-skalar {     n } sedemikian sehingga : v = 1 u u 2 + …. n u n

14 Contoh 1 Kombinasi Linear a = [2,1,2] ; b = [1,0,3] ; c = [3,1,5] a sebagai kombinasi linear dari b dan c Hitung  dan   yang memenuhi : [2,1,2] =  [1,0,3] +  [3,1,5] atau 2 =  + 3   1 = 0  +   2 = 3  + 5  

15 Contoh 1 Kombinasi Linear (Lanj) Ada 3 persamaan, dengan 2 anu, selesaikan persamaan (1) dan (2), hasilnya  = -1dan   = 1 ; subsitusi ke persamaan (3), ternyata memenuhi, Persamaan yang dicari a = -b + c

16 Contoh 2 Kombinasi Linear p = [2,1,3] ; q = [0,1,2] ; r = [2,2,4] [2,1,3] =  [0,1,2] +  [2,2,4] atau 2 = 0  +2  1 =  +2  3 = 2  +4 

17 Contoh 2 Kombinasi Linear (Lanj) Ada 3 persamaan, dengan 2 anu, selesaikan persamaan (1) dan (2), hasilnya  = -1dan   = 1 ; subsitusi ke persamaan (3), ternyata tidak memenuhi, Jadi p, bukan kombinasi linear dari q dan r

18 Kombinasi Linear (Lanjutan) Kombinasi linear satu vektor v = kelipatan u, yaitu v = u, dengan arah yang sama (sejajar) v dan u disebut koliner (segaris) Kombinasi linear dua vektor v dan u 1, u 2 disebut koplanar (sebidang) uv u1u1 u2u2 1 u 1 2 u 2 v = u