Aljabar Linier Pertemuan 1

Jadwal Kuliah Sistem Penilaian Hari : Rabo jam : 15.30 UTS 30 % UAS 30 % Tugas 40 %

Silabus Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Invers Matriks Bab IV Sistem Persamaan Linear Bab V Sistem Persamaan Linear Homogen Bab VI Matlab (SPL) Bab VII Vektor Bab VIII Perkalian Vektor Bab IX Ruang Vektor Bab X Proses Gram Schmidt Bab XI Transformasi Linier Kernel Bab XII Nilai Eigen , Vektor Eigen Bab XIII MATLAB

Sub Pokok Bahasan 1 1. Matriks dan Operasinya Sub Pokok Bahasan – Matriks dan Jenisnya – OperasiMatriks – Operasi Baris Elementer –Sifat OperasiMatriks Beberapa Aplikasi Matriks – Representasi image (citra) – Chanel/Frequency assignment – Operation Research dan lain-lain.

Pengertian Matrix Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom. 2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang. 3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom. Notasi yang digunakan Atau Atau  

Matriks A = Notasi Matriks Baris ke -1 Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n) Kolom ke -2 Matrix A berukuran (ordo) m x n Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan sama (notasi A = B) Jika untuk setiap i dan j

Jenis Matriks (i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol Sifat-sifat : A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 A*0=0, begitu juga 0*A=0. (ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut. Contoh : Matriks berukuran 2x2 A =

Jenis Matriks (iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol. Contoh :   (iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1. Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A

Jenis Matriks (v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu. Contoh :   A= (vi) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0. A =

(Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0. A= (viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri. Contoh : A = =

(ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0 Contoh :

Beberapa Sifat Matriks Transpose : (A+B)T = AT + BT (AT) T = A TRANSPOSE MATRIKS Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT. Beberapa Sifat Matriks Transpose : (A+B)T = AT + BT (AT) T = A k(AT) = (kA)T (AB)T = BT AT

Operasi Matrix • Penjumlahan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkan Contoh = a. b.

Operasi Matrix • Pengurangan Matriks Syarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkan Contoh = a. b.

Operasi Matrix Perkalian Matriks • Perkalian Skalar dengan Matriks Contoh : • Perkalian Matriks dengan Matriks Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn

Hukum Perkalian Matriks : Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C Tidak Komutatif, A*B  B*A Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan (i) A=0 dan B=0 (ii) A=0 atau B=0 (iii) A0 dan B0 Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain. Contoh : OBE 1 OBE2

OBE3

Definisi yang perlu diketahui : – Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. – Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. – Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. – Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

OBE Sifat matriks hasil OBE : 1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama). 2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan. 3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah. 4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol. Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 (Proses Eliminasi Gauss) Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss-Jordan)