TEORI ANTRIAN

TEORI ANTRIAN Pengertian Teori antrian adalah studi matematikal dari kejadian atau garis tunggu dari nasabah (satuan) yg memerlukan layanan (fasilitas layanan). Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan nasabah yg datang tidak bisa segera mendapat-kan layanan disebabkan kesibukan pelayanan.

Contoh dalam kehidupan sehari-hari 1. Deretan mobil yg berhenti karena traffic light. 2. Antrian dari permintaan telepon pada switch board. 3. Antrian loket bioskop, kereta api, kasir bank, dermaga pelabuhan, jalan tol, bandara udara. 4. Antrian mobil pada pompa bensin, truk-truk yg menunggu muatan, kedatangan pesanan pd gudang, dll.

Konsep Dasar Teori Antrian 1. Tujuan adalah meminimumkan total dua biaya yaitu : biaya langsung penyediaan fasilitas pelayanan dan biaya tidak langsung yg timbul karena nasabah harus menunggu untuk dila- yani. 2. Elemen-elemen sistem antrian a. Sumber Masukkan : adalah kumpulan orang-orang (nasabah) atau barang yang datang atau dipanggil pada suatu sistem yg dilayani.

Kumpulan orang-orang (nasabah) atau brg boleh berhingga atau tidak berhingga. b. Proses Masukkan : adalah proses terjadinya antrian akibat kedatangan satuan-satuan orang atau barang. Secara teori, waktu ke- datangan antara satuan-satuan dengan satu- an berikutnya dianggap acak dan bebas (biasanya menggunakan distribusi Poisson). Mekanisme layanan terdiri 3 aspek : (1). Tersedianya pelayanan.

Mekanisme pelayanan tidak selalu terse- (2). Kapasitas Pelayanan dia setiap saat. (2). Kapasitas Pelayanan Kapasitas dari mekanisme pelayanan di- ukur berdasarkan jumlah langganan yang dapat dilayani secara bersama-sama. (3). Lamanya Pelayanan Lamanya pelayanan adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani seorang lang- ganan atau satu satuan.

Berdasarkan ketiga sifat-sifat tersebut di atas membentuk bermacam-macam sistem antrian, yaitu : (1). Singel Channel-Single Phase artinya: hanya ada satu jalur memasukki sistem pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Contoh : - Antrian pelanggan dari seorang tukang cukur, pembelian tiket kereta api yang di- layani oleh satu loket, layanan pelanggan oleh satu pelayan toko.

Gbr. Single Channel-Single Phase Sumber Masukkan Sistem Antrian Keluaran Populasi Fasilitas Pelayanan (S) Antrian (M) Nasabah yang dilayani Nasabah/Individu Gbr. Single Channel-Single Phase

(2). Single Channel Multiphase : satu jalur dengan dua atau lebih pelayanan yang di- laksanakan secara berurutan. Contoh : - Pencucian mobil, tukang cat mobil (3). Multi Channel Single Phase : ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. - Pembelian tiket yg dilayani lebih dari satu loket, potong rambut dgn bbrp tukang potong

Gbr. Single Channel Multiphase Sumber Masukkan Sistem Antrian Keluaran Nasabah/Individu M S M S Nasabah/Individu yg Telah dilayani Keterangan : M = Antrian S = Fasilitas Pelayanan (Server) Gbr. Single Channel Multiphase

Gbr. Multi Channel Singel Phase Sumber Masukkan Sistem Antrian Keluaran S Nasabah/Individu M Nasabah/Individu yg Telah dilayani S Keterangan : M = Antrian S = Fasilitas Pelayanan (Server) Gbr. Multi Channel Singel Phase

(4). Multi Channel Multi Phase : banyak jalur dan banyak fasilitas pelayanan. Contoh : - Pelayanan herregestrasi mahasiswa - Pelayanan pasien di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan, sampai pembayaran. Selain empat bentuk sistem antrian di atas sering juga terjadi bentuk sistem campuran (mixed arrangements) yg merupakan campuran dari dua atau lebih sistem antrian di atas.

Gbr. Multi Channel Multi Phase Sumber Masukkan Sistem Antrian Keluaran S M S Nasabah/Individu M Nasabah/Individu yg Telah dilayani S M S Gbr. Multi Channel Multi Phase

Misal : Toko-toko dengan beberapa pelayan, namun pembayarannya hanya pada seorang kasir (single channel). c. Disiplin Antrian : menunjukkan pedoman kepu-tusan yang digunakan untuk menseleksi individu yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu (prioritas). Ada 5 bentuk disiplin pelayanan : (1). First Come First Served (FCFS) atau First-In First-Out (LIFO), artinya : lebih dulu datang lebih dulu dilayani. Misal : antri beli tiket bios- kop.

(2). Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO) : yg datang terakhir yg lebih dahulu dilayani/keluar. Misal : sistem antrian dalam elevator (lift) untuk lantai yang sama. (3). Service In Random Order (SIRO) : panggil- an didasarkan pada peluang secara random tidak masalah siapa yg lebih dahulu datang. (4). Priority Service (PS) : prioritas layanan di berikan kepada mereka yg mempunyai prioritas lebih rendah.

d. Kepanjangan Pelayanan Banyaknya sistem pelayanan dpt menampung jumlah individu-individu yg relatif besar, tetapi ada beberapa sistem yg mempunyai kapasitas yg terbatas. Bila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlah individu yg dapat dilayani dalam sistem secara nyata, ber-arti sistem mempunyai kepanjangan antrian yg terbatas (finite) dan model antrian terbatas hrs digunakan untuk menganalisis sistem tersebut. Contoh : jumlah parkir atau layanan parkir yg terbatas, jlh tempat tidur yg terbatas di rumah

sakit. Secara umum model antrian terbatas lebih kompleks daripada model antrian yg terbatas. e. Tingkat Pelayanan Waktu yg digunakan untuk melayani individu-individu dalam sistem disebut waktu pelayanan (service time). Waktu ini mungkin konstan, ttp mungkin juga random. Bila distribusi mengikuti distribusi eksponensial, waktu pelayanan (unit/ jam) akan mengikuti distribusi Poisson.

f. Keluar (Exit) Sesudah seseorang (individu) telah selesai di-layani, dia akan keluar dan bergabung pada satu diantara katagori populasi. Dia mungkin akan bergabung dengan populasi awal dan mempunyai probabilitas yg sama untuk mema-suki sistem kembali. Sistem dan Struktur Antrian a. Sistem pelayanan komersial b. Sistem pelayanan bisnis-industri

c. Sistem pelayanan transportasi d. Sistem pelayanan sosial. Model Antrian Dalam pengelompokkan model-model antrian yg berbeda-beda akan digunakan suatu notasi yang disebut Notasi Kendall’s. Notasi variabel dalam model antrian : λ = Tingkat kedatangan rata-rata 1/λ = Waktu antar kedatangan rata-rata μ = Tingkat pelayanan rata-rata

1/μ = waktu pelayanan rata-rata σ = Simpangan baku tingkat pelayanan n = Jumlah individu dlm sistem pd suatu waktu. nq = Jumlah individu rata-rata dalam antrian nt = Jumlah individu dalam sistem tq = Waktu rata-rata dalam antrian tt = Waktu rata-rata dalam sistem S = Jumlah fasilitas pelayanan p = Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan

Q = Kepanjangan maksimum sistem (antrian + ruang pelayanan). Pn = Probabilitas jlh individu dalam sistem P0 = Probabilitas tidak ada individu dlm sistem Pw = Probabilitas menunggu dalam antrian Cs = Biaya pelayanan/satuan waktu per fasilitas pelayanan Cw = Biaya utk menunggu per satuan waktu per individu Ct = Biaya Total = S.Cs + nt. Cw

Gbr. Model Khusus Antrian : M/M/1: FCFS/I/I Flowchart Bentuk Umum Model Antrian Populasi (I/F) Antrian (M/D) Fasilitas Pelayanan (M/1 atau S) Keluaran Sumber Tak Terbatas Tingkat Kedatangan Poisson FCFS Tingkat Pelayanan Poisson Keluar Kepanjangan Antrian (I/F) Gbr. Model Khusus Antrian : M/M/1: FCFS/I/I

Keterangan : M = Tingkat kedatangan dan pelayanan Poisson D = Tingkat kedatangan atau pelayanan Deterministik K = Distribusi Erlang waktu antar kedatangan atau pelayanan S = Jumlah fasilitas layanan I = Sumber populasi atau kepanjangan antrian terbatas Rumus : 1. Jumlah individu rata-rata dalam antrian (nq) :

2. Jumlah individu dalam sistem (antrian dan fasilitas pelayanan (nt) : 3. Waktu rata-rata dalam antrian (tq) : 4. Waktu rata-rata dalam sistem (tt) :

5. Probabilitas tidak ada individu dalam sistem (Pn) : 6. Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan (p) : Contoh Soal-1 : Tuan Akhmad memiliki sebuah restauran yg melayani pelanggannya di dalam mobil mereka. Restauran ini beroperasi sukses selama beberapa bln di kota X.

1. Hitung tingkat kegunaan bagian pelayanan restauran (p) ! Dia sangat prihatin dengan panjangnya garis antrian pada jam-jam makan siang dan makan malam. Bebera-pa langgannya telah mengadu tentang waktu menunggu yang berlebihan. Dia merasa bahwa dia suatu ketika akan kehilangan para pelanggannya. Dia meminta kita untuk menganalisis sistem antrian dengan mengguna-kan teori antrian. Tingkat kedatangan rata-rata langgan-an selama periode puncak adalah 50 mobil per jam. Tingkat kedatangan mengikuti suatu distribusi Poisson. Waktu pelayanan rata-rata 1 menit dengan distribusi eksponensial. Pertanyaan : 1. Hitung tingkat kegunaan bagian pelayanan restauran (p) !

2. Hitung jumlah mobil rata-rata dalam antrian (nq) ! 3. Hitung jumlah mobil rata-rata dalam sistem (nt) ! 4. Hitung waktu menunggu rata-rata dalam antrian (tq) ! 5. Hitung waktu menunggu rata-rata dalam sistem (tt) ! 6. Hitung probabilitas lebih dari satu mobil dalam sistem dan lebih dari empat mobil sistem ! Penyelesaian : Tingkat kedatangan =λ = 50; Waktu pelayanan rata-rata = 1/μ = 1/60 = 1 menit. 1. p = λ/μ = 50/60 = 0,8333, artinya rata-rata bagian pe- layanan sibuk (penggunaan fasilitas pelayanan) ada- lah 83,33 %.

2. 3. 4. 5. 6.

Contoh Soal-2 UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah: Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian

Jawaban Soal Diketahui: λ = 20, μ = 25 p = λ / μ = 20/25 = 0.80 Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan 20% dari waktunya (1-p) untuk istirahat 2. nt = λ / (μ – λ) = 20 / (25-20) = 4, atau nt = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4 Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam sistem 3. nq = λ2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2 Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraan 4. tt = 1 / (μ – λ) = 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menit Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit 5. tq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau 9.6 menit Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9.6 menit

Model : M/M/S Rumus : 1. 4. 2. 5. 3. 6. 7.

Contoh : Bagian kredit pada suatu Bank Swasta di Kota Palembang mempekerjakan 3 (tiga) orang karyawan untuk menangani panggil-an masuk para pedagang. Waktu rata-rata yang dibutuhkan untuk menerima para pedagang adalah 0,5 menit bila tidak diperlukan waktu menunggu . Tingkat pe-layanan mengikuti distribusi eksponensial, karena kondisi-kondisi yang tidak biasa dapat menghasilkan baik waktu pelayanan yang relatif lama ataupun pendek. Selama

periode puncak 8 jam, kantor menerima total 1 periode puncak 8 jam, kantor menerima total 1.750 panggilan (218,75 per jam). Tingkat kedatangan panggilan mengikuti distribusi Poisson. Pertanyaan : 1. Hitung tingkat layanan panggilan per jam (µ) ! 2. Hitung tingkat kegunaan karyawan (ρ) ! 3. Hitung probabilitas tidak ada panggilan !

4. Hitung jumlah pedagang rata-rata me-nunggu untuk dilayani ! 5. Hitung jumlah pedagang dalam sistem ! 6. Hitung waktu rata-rata dalam antrian ! 7. Hitung waktu rata-rata dalam sistem ! 8. Hitung probabilitas untuk menunggu (Pw)! Penyelesaian : (1). 1/µ=0,5; µ=10/5 =2x60 jam = 120 jam λ= 218,75 pedagang per jam

2. Kegunaan layanan (kegunaan karyawan): 3. Hitung probabilitas tidak ada panggilan ! 4. Jumlah pedagang rata-rata menunggu untuk dilayani !

5. Hitung jumlah pedagang dalam sistem ! 6. Waktu rata-rata dalam antrian : 7. Waktu rata-rata dalam sistem : 8. Probabilitas untuk menunggu (Pw) :