BAB I HIMPUNAN KULIAH KE 1

A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah objek. Objek-objek yang mengisi atau membentuk himpunan disebut anggota atau unsur, atau elemen. Objek-objek suatu himpunan sangat bervariasi; bisa berupa orang-orang tertentu, hewan-hewan tertentu, tanam-tanaman tertentu, benda-benda tertentu, dsb. Dalam penyajian secara umum himpunan dilambangkan dengan huruf-huruf besar seperti A, B, C, P, Q, R, X, Y, Z. sedangkan objek-objek yg menjadi anggota himpunan dilambangkan dengan huruf kecil seperti a, b, c, p, q,r, x, y atau z.

1. Penulisan matematis (notasi) p X A berarti bahwa objek p adalah merupakan anggota (atau unsur, atau elemen) dari himpunan A. Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggota dari himpunan B, dengan perkataan lain p X A juga p X B, maka A disebut himpunan bagian (subset) dari B. Notasi : A T B berarti A merupakan himpunan bagian dari B Dua buah himpunan dikatakan sama atau sederajat apabila semua anggota dari himpunan yang satu juga merupakan anggota-anggota bagi himpunan yang lain. Dengan perkataan lain jumlah dan jenis anggota kedua himpunan sama.

Notasi: A = B berarti A sama dengan himpunan B, yakni jika dan hanya jika AT B serta B T A Pernyataan bantahan atau ingkaran terhadap p X A, A T B dan A = B masing-masing ditulis dengan notasi p  A, A  B dan A  B, dengan demikian notasi: p  A artinya objek p bukan merupakan anggota himp. A. A  B artinya A bukan merupakan himpunan bagian dari B A  B artinya himpunan A tidak sama dengan himpunan B.

B. Penyajian Himpunan Penyajian sebuah himpunan dapat dituliskan dengan 2 macam cara, cara daftar dan cara kaidah. Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh objek yang menjadi anggota suatu himpunan; Contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5} Berarti himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, 4, dan 5

Adapun cara kaidah ialah dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari objek-objek yang menjadi anggota himpunan tersebut; contoh: A = {x; 0  x  6} Berarti himpunan A beranggotakan objek x, dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam. Atau dapat juga ditulis : A {x; 1 ≤ x ≤ 5} Berarti himpunan A beranggotakan objek x yang harganya paling sedikit = 1 dan paling banyak = 5

C. Himpunan Universal dan Himpunan Kosong Setiap himpunan tertentu dianggap terdiri dari beberapa himpunan bagian yang masing-masing mempunyai anggota. Himpunan “besar” tadi dinamakan himpunan universal, atau sering disebut himpunan saja, dan dilambangkan dengan notasi U. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai 1 anggotapun biasanya dilambangkan dengan notasi {} atau . Secara teoritis, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan apapun.

Berdasarkan adanya konsep himpunan universal yang merupakan induk bagi semua himpunan, dan himpunan kosong yang merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan, maka terhadap setiap himpunan tertentu (misalkan A) berlaku ketentuan :  T A T U. Contoh: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {0, 1, 2, 3, 4} B = {5, 6, 7, 8, 9} C = {0, 1, 2, 3, 4} Kesimpulan yang bisa ditarik: x X U dimana 0 ≤ x  9 y X A dimana 0  y  4 z X B dimana 5  z  9 y X C dimana 0  y  4

A T U B T U C T U A = C A K C B  C y X A dan juga y X C, maka A T C dan C T A Atau dapat juga ditulis A  C y  B z  A z  C  A   B   C   U  A  U   B  U   C  U

D. Operasi Himpunan 1. Gabungan (union) Gabungan himpunan A dan himpunan B, ditulis dengan notasi A  B, adalah himpunan yang beranggotakan objek-objek milik A atau milik B A  B = {x; x X A atau x X B} Gambar Diagram Venn A  B = bagian yang di arsir

2. Irisan (Intersection) Irisan dari himpunan A dan himpunan B ditulis dengan notasi A  B adalah himpunan yang beranggotakan objek milik A maupun objek milik B secara bersama- sama A  B = {x; x X A dan x X B} Diagram Venn = bagian yang diarsir

3. Selisih Selisih himpunan A dan himpunan B ditulis dengan notasi A – B atau A|B, adalahj himpunan yang beranggotakan objek-objek milik A yang bukan milik B. A – B  A|B = {x; x X A tetapi x  B} Diagram Venn A – B = bagian yg diarsir

4. Pelengkap (complement) Pelengkap dari sebuah himpunan A, ditulis dengan notasi A, adalah himpunan yang beranggotakan objek-objek yang tidak dimiliki oleh A. Dengan kata lain A adalah selisih antara himpunan universal U dengan himpunan A, Diagram Venn A = bagian yg diarsir