Bab 8 TEORI PROBABILITAS

A. HIMPUNAN Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan. Setiap objek yang secara kolektif membentuk himpunan tersebut disebut elemen atau unsur atau anggota dari himpunan tersebut.

Himpunan dilambangkan dengan pasangan kurung kurawal { } dan dinyatakan dengan huruf kapital, seperti A, B, C,… Anggota himpunan ditulis dengan lambang , bukan anggota dengan lambang  Dalam statistik, himpunan dikenal sebagai populasi

Penulisan Himpunan 1. Cara pendaftaran Unsur himpunan ditulis satu persatu / didaftar. Contoh : A = {a,i,u,e,o} 2. Cara pencirian Unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat atau ciri-ciri unsur tersebut. A = { x|x huruf vokal }

Macam-Macam Himpunan 1. Himpunan Semesta (Universum) Lambang : S atau U Himpunan yang memuat seluruh objek pembicaraan. 2. Himpunan kosong Lambang : { } atau Ø Himpunan yang tidak memiliki anggota.

3. Himpunan Bagian Lambang : , A  B Himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain. Rumus : Menghitung banyak himpunan bagian dari suatu himpunan sebesar n adalah 2n. 4. Himpunan Komplemen Lambang : Ac, A’, atau Himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan.

Operasi Himpunan 1. Operasi Gabungan (union) Lambang : A U B atau A + B Gabungan dari himpunan A atau B adalah semua unsur yang terdapat di A atau B sekaligus. 2. Operasi Irisan (interseksi) Lambang : A ∩ B atau AB Irisan dari himpunan A dan B adalah semua unsur yang sama di dalam A dan B. 3. Operasi Selisih Lambang : A – B atau A ∩ Bc Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk di dalam B.

Diagram Venn A A Gabungan (A B) Selisih ( A – B = A|B ) A B Irisan (A  B) Pelengkap/ complement (Ac = Ā=A’) S A B S A B

Beberapa Aturan dalam Himpunan 1. Hukum Komutatif A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A 2. Hukum Asosiatif (A U B) U C = A U (B U C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. Hukum Distributif A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

n(AUBUC)= n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC) Hukum Identitas A ∩ S = A A ∩ Ø = Ø Hukum Komplementasi A ∩ Ac = Ø A U Ac = S n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) n(AUBUC)= n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC) n(A) = jumlah anggota himpunan A

B. PERMUTASI Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu. Klasifikasi Permutasi : 1. Permutasi dari n objek tanpa pengembalian a. Permutasi dari n objek seluruhnya Rumus : nPn = n! b. Permutasi sebanyak r dari n objek Rumus : c. Permutasi melingkar Rumus : (n-1)!

2. Permutasi dari n objek dengan pengembalian Permutasi dari n objek yang sama nPr = nr

C. KOMBINASI Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut. HUBUNGAN PERMUTASI DENGAN KOMBINASI atau

D. PROBABILITAS Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang bersifat random (acak). Probabilitas memiliki batas-batas nilai yaitu dari 0 sampai 1 (0P1) Jika P = 0 peristiwa tidak akan terjadi Jika P = 1 peristiwa tersebut pasti terjadi Jika 0 < P < 1, peristiwa tersebut dapat/tidak dapat terjadi

PENDEKATAN PERHITUNGAN PROBABILITAS Pendekatan Klasik Perhitungan probabilitas dengan pendekatan kalsik diperoleh dari hasil bagi banyaknya peristiwa A dengan seluruh peristiwa yang mungkin. Rumus : keterangan : P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A x = peristiwa yang dimaksud n = banyak peristiwa yang mungkin

Pendekatan Frekuensi relatif Perhitungan probabilitas dengan pendekatan frekuensi relatif ditentukan melalui percobaan. Dari suatu percobaan yang dilakukan sebanyak n kali, kalau nilai n makin besar mendekati tak hingga maka nilai k/n cendrung konstan mendekati nilai tertentu. Nilai tertentu inilah peluang kejadian A keterangan : P(A) = probabilitas peristiwa A k = frekuensi peristiwa A n = banyaknya peristiwa terjadi

Pendekatan Subjektif Probabilitas dengan pendekatan subjektif diperoleh dengan melihat tingkat kepercayaan individu didasarkan pada peristiwa masa lalu yang berupa terkaan saja. Contoh: Menebak skor/hasil pertandingan Menduga kemungkinan hari hujan Menetapkan kandidat suatu kelompok berdasarkan kriteria tertentu

BEBERAPA ATURAN PROBABILITAS Peristiwa Saling Lepas adalah jika kedua atau lebih peristiwa tidak terjadi secara bersamaan.

2. Peristiwa Tidak Saling Lepas adalah jika kedua atau lebih peristiwa tidak terjadi secara bersamaan.

3. Peristiwa Saling Bebas (independen) adalah terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. Probabilitas marginal (tidak bersyarat) Probabilitas peristiwa yang tidak ada hubungan dengan peristiwa lain. Probabilitas gabungan Probabilitas bersyarat

4. Peristiwa Tidak Saling Bebas (independen) adalah terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. Probabilitas marginal (tidak bersyarat) Probabilitas peristiwa yang tidak ada hubungan dengan peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi.

Probabilitas gabungan Probabilitas terjadinya dua atau lebih peristiwa secara berurutan(bersamaan) dan saling mempengaruhi. Probabilitas bersyarat Probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi dan saling mempengaruhi.

5. Probabilitas dengan Pendekatan Kombinasi

TEOREMA BAYES Teorema Bayes adalah teorema yang menjelaskan bahwa probabilitas dihitung berdasarkan informasi yang diperoleh dari hasil observasi. i = 1,2,3,…,n

Pada kaidah Bayes terdapat beberapa bentuk probabilitas: Probabilitas Prior, yaitu probabilitas yang tersedia P(Ai) Probabilitas Bersyarat, yaitu probabilitas suatu peristiwa yang didahului peristiwa lain  P(Xi/Ai) Probabilitas Ganda, yaitu gabungan probabilitas  ∑P(Ai).P(Xi/Ai) Probabilitas Posterior, yaitu probabilitas yang diperbaiki dengan adanya informasi tambahan  P(Ai/Xi)

Harapan Matematika (Ekspektasi Matematis) Ekapektasi Matematis adalah jumlah dari semua hasil perkalian antara nilai variabel random dengan probabilitas yang bersesuaian dengan nilai tersebut.