MATEMATIKA BISNIS HIMPUNAN

Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek dan didefinisikan dgn jelas. Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota, atau elemen, atau unsur. Simbol himpunan : A, B, C, P, Q, R, X, Y atau Z (dengan huruf kapital) Simbol anggota suatu himpunan : a, b, c, p, q, r, x, y atau z.

p ∈ A berarti obyek p merupakan anggota (unsur atau elemen) dari himpunan A p ∉ A berarti obyek p BUKAN anggota (unsur atau elemen) dari himpunan A

Penyajian sebuah himpunan dapat dituliskan dengan dua macam cara yaitu : 1. Cara daftar 2. Cara kaidah

Cara daftar Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota suatu himpunan. Contoh : HIMPUNAN A YANG BERISI EMPAT BILANGAN ASLI PERTAMA DAPAT DITULIS SEBAGAI A = {1, 2, 3, 4}

Cara Kaidah Cara kaidah ialah dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek-obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya. Notasi : {x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Lanjutan… Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan : Bagian di kiri tanda ‘ | ‘ melambangkan elemen himpunan Tanda ‘ | ‘ dibaca dimana atau sedemikian sehingga Bagian di kanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan Setiap tanda ‘ , ‘ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan.

Contoh : A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, dinyatakan sebagai A = {x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5 } atau dalam notasi yang lebih ringkas : A = {x | x ∈ P, x < 5} yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebgai B = {x | x adalah himpunan bilangan genap positif lebih kecil atau sama dengan 8} B = { x | x/2 ∈ P, 2 ≤ x ≤8} yang ekuivalen dengan B = {2, 4, 6, 8}

JENIS-JENIS HIMPUNAN : Himpunan Semesta Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Simbol himpunan semesta : S atau U. Himpunan Kosong Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : ∅ atau { } Contoh : E = {x | x < x}, maka n(E) = 0 P = {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka n(P) = 0

Lanjutan… Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A Notasi : A ⊆ B Contoh : {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5}

Lanjutan… Himpunan yang Sama Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap B merupakan elemen A. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka dikatakan A tidak sama dengan B. Notasi : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A

Contoh Himpunan yang Sama dan Tidak Sama : Jika A = {0, 1} dan B = {x | x(x-1) = 0}, maka A = B Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A = B Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka A ≠ B

Lanjutan… 5. Himpunan yang saling lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Contoh : Jika A = {x | x ∈ P, x < 8} dan B = {10, 20, 30,…}, maka A // B

OPERASI HIMPUNAN : 1. Gabungan (Union) A U B = {x| x Є A atau x Є B} 2. Irisan (Intersection) A ∩ B = {x| x Є A dan x Є B} 3. Selisih A - B = A|B {x| x Є A tetapi x Є B} 4. Pelengkap (Complement) Ā atau Ac= {x| x Є U tetapi x Є A} = U – A

DIAGRAM VENN : Gabungan ( A U B ) A B U Irisan U A B

DIAGRAM VENN : Selisih ( A – B = A|B ) A B U Pelengkap / complement (Ac atau Ā) A U B

Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan Kaidah Idempoten A U A = A b. A ∩ A = A Kaidah Asosiatif ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) Kaidah Komutatif A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A Kaidah Distributif a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

Lanjutan ............ Kaidah Identitas a. A U Ø = A b. A ∩ Ø = Ø c. A U U = U d. A ∩ U = A Kaidah Kelengkapan a. A U Ā = U b. A ∩ Ā= Ø c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø = U Kaidah De Morgan a. (A U B)= Ā ∩ B b. (A ∩ B) = Ā U B

Latihan Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika : U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : (a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B (b) B – A (d) A U B (f) B ∩ Ā

BAB II SISTEM BILANGAN

Dalam matematika, bilangan-bilangan yang ada dapat digolongkan sebagaimana terurai di dalam skema berikut ini. Bilangan Nyata Irrasional Rasional Bulat Asli Pecahan Khayal

2.1 Hubungan Perbandingan antar Bilangan Pada sistem bilangan riil atau nyata, berlaku salah satu dari 4 tanda ketidaksamaan berikut : < (kurang dari) > (lebih dari) ≤ (kurang dari atau sama dengan) ≥ (lebih dari atau sama dengan) Sedangkan pada sistem bilangan khayal atau kompleks berlaku salah satu dari 2 sifat, yaitu = dan ≠

2.2 Operasi Bilangan (1) KAIDAH KOMUTATIF (2) KAIDAH ASOSIATIF a + b = b + a a x b = b x a (2) KAIDAH ASOSIATIF (a + b) + c = a + (b + c) (ab) c = a (bc) (3) KAIDAH PEMBATALAN a + c = b + c ac = bc ( c ≠ 0) (4) KAIDAH DISTRIBUTIF a(b + c) = ab + ac (5) UNSUR PENYAMA a + 0 = a a . 1 = a (6) KEBALIKAN a + (-a) = 0 a x 1/a = 1

2.3 OPERASI TANDA Operasi Penjumlahan (+a)+(+b)=(+c) (-a)+(-b)=(-c) (+a)+(-b)=(+c) jika |a| > |b| (+a)+(-b)=(-d) jika |a| < |b| (-a)+(+b)=(+c) jika |a| < |b| (-a)+(+b)=(-d) jika |a| > |b|

Operasi Pengurangan (+a)-(+b)=(+c) jika |a| > |b| (+a)-(+b)=(-d) jika |a| < |b| (-a)-(-b)=(+c) jika |a| < |b| (-a)-(-b)=(-d) jika |a| > |b| (+a)-(-b)=(+c) (-a)-(+b)=(-c)

(+) x (+) = (+) (+) : (+) = (+) (+) x (-) = (-) (+) : (-) = (-) Operasi Perkalian dan Pembagian (+) x (+) = (+) (+) : (+) = (+) (+) x (-) = (-) (+) : (-) = (-) (-) x (+) = (-) (-) : (+) = (-) (-) x (-) = (+) (-) : (-) = (+)

2.4 OPERASI BILANGAN PECAHAN Penjumlahan Pecahan dan Pengurangan Pecahan Untuk menjumlah atau mengurangi pecahan-pecahan yang penyebutnya tidak sama. Langkah pertamanya adalah menyamakan penyebutnya terlebih dahulu, yaitu dengan mengubah ke bentuk pecahan yang senilai sehingga penyebut-penyebut pecahan menjadi sama.

5 + 6 15 Penjumlahan Pecahan Contoh : Jawab : Penyebut pecahan-pecahan tersebut disamakan. Diperoleh : 5 + 6 15

9 4 8 = Contoh : 2 Jawab : 2 diubah dahulu menjadi pecahan biasa. Sehingga 8 9 + = 4 X Selanjutnya,

Contoh : 1. 2. 3. 4. 5.

= = Pengurangan Pecahan Contoh : 8 Jawab : 8 diubah dahulu menjadi pecahan biasa. Sehingga 8 = 5 diubah dahulu menjadi pecahan biasa. Sehingga 5 = Selanjutnya, 8

Contoh : 1. 2.

Soal-soal latihan Selesaikanlah ! 1. 6. 4 2. 7. 3. 2 8. 2 4. 5 9. 2 5 10.

2. Kalikan Perkalian Pecahan Langkahnya : Jadikan semua pecahan itu menjadi pecahan biasa. 2. Kalikan Contoh : 1. 2. 3.

Pembagian Pecahan Langkahnya : Jadikan pecahan-pecahan menjadi pecahan biasa semua. Ubahlah menjadi bentuk perkalian, dengan cara bilangan pembagi dibalik. 3. Kerjakan seperti perkalian. Contoh :

Soal-soal latihan Selesaikan ! 1. 5. 2. 6. 3. 2 7. 3 4. 2 8. 4

Pengerjaan Hitung Campuran Untuk mengerjakan hitung campuran perlu diingat lebih dahulu aturan pengerjaannya, yaitu bahwa perkalian dan pembagian lebih kuat dari pada penjumlahan atau pengurangan. Contoh 1 : Contoh 2 :

Contoh 3 : Contoh 4 : Contoh 5 : Contoh 6 :

Soal-soal latihan Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar ! 1. 5. 2 9. 10. 2. 6. 7. 3. 11. 4. 12. 8.

BAB III PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

Pendahuluan = Pada umumnya, simbol akar dapat digunakan untuk a ditulis sebagai a = , dimana n disebut indeks akar dan a disebut bilangan dasar. Jika n = 2, tanda akar ( Pengertian kedua simbol tersebut sama. Bila indeks tidak ditulis, berarti n = 2. Pendahuluan Pada umumnya, simbol akar dapat digunakan untuk a disebut tanda akar, ) digunakan untuk akar kuadrat.

Teorema : Jika a dan b maka dan dan b > 0 maka , m, n bilangan bulat dan n Jika a < 0, m bilangan bulat dan n ganjil maka Tidak didefinisikan apabila n genap. a =

Contoh : (2) (1) ( 3) 8 atau 8 (4) atau (5) = , tidak riil. , tidak riil. = =

Penyederhanaan Akar Kita gunakan faktor prima di dalam penyederhanaan akar. Contoh : 1. 2. 3.

Akar sama Akar Tidak Sama Akar-akar dengan bilangan dasar dan indeks yang sama disebut akar sama. Contoh : dan Akar Tidak Sama Contoh : dan

Hukum distributif digunakan untuk mengoperasikan akar- akar sama seperti mengoperasikan suku-suku dari polinomial. Contoh : 1. 2. 3. 4. + 5. = = = 18 = 6

Soal-soal Latihan Selesaikan : 6. 11. 2. 7. 12. 3. 13. 8. 4. 9. 14. 5. 10. 15.