DISTRIBUSI TEORETIS Tujuan : Setelah mempelajari tentang distribusi teoretis ini, diharapkan mahasiswa mampu: Menjelaskan arti beberapa jenis distribusi teoretis, seperti distribusi binomial, distribusi poisson, distribusi hipergeometrik, distribusi multinomial, distribusi normal. Memahami aplikasi berbagai jenis distribusi tersebut dalam menyelesaikan berbagai permasalahan.

PENGERTIAN DAN JENIS-JENIS DISTRIBUSI TEORETIS. 1.Pengertian Distribusi Teoretis. Distribusi teoretis atau distribusi probabilitas teoretis adalah suatu daftar yang disusun berdasarkan probabilitas dari peristiwa-peristiwa bersangkutan, atau distribusi yang frekuensinya diperoleh secara matematis (perhitungan).

Contoh Distribusi Teoretis : Sebuah mata uang logam dengan permukaan I=A dan permukaan II=B dilemparkan ke atas sebanyak 3 kali. Buatkan distribusi teoretisnya dan gambarkan grafiknya.

2. Jenis-Jenis Distribusi Teoretis Berdasarkan bentuk variabelnya, distribusi teoretis dibedakan atas 2 jenis, yaitu : a. Distribusi Teoretis Diskrit. b. Distribusi Teoretis Kontinu.

a. Distribusi Teoretis Diskrit. Distribusi teoretis diskrit adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random diskrit dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut. Contoh : Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola biru dan 2 bola kuning. Secara acak dimabil 3 bola. Tentukan distribusi probabilitas X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning yang terambil.

Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson. Distribusi yang tergolong ke dalam distribusi teoretis diskrit antara lain : Distribusi Binomial. Distribusi Hipergeometrik Distribusi Poisson.

b. Distribusi Teoretis Kontinu Distribusi Teoretis kontinu adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random kontinu dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut. Distribusi probabilitas dari variabel random kontinu disebut juga densitas atau fungsi densitas (kepadatan) dari variabel random.

Distribusi yang tergolong distribusi teoretis kontinu, antara lain : Distribusi Normal. Distribusi X2 Distribusi F Distribusi t.

DISTRIBUSI BINOMIAL Pengertian dan Ciri-ciri Distribusi Binomial. Distribusi Binomial adalah suatu distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen. Misal : Ya-tidak, Sukses-Gagal, Kepala-Ekor, Baik-Buruk.

Ciri-ciri Distribusi Binomial Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa. Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah setiap percobaan. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi dalam percobaan lainnya. Jumlah percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

Contoh : Seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan berganda, setiap pertanyaan memiliki 5 alternatif jawaban. Jika dalam menjawab pertanyaan, mahasiswa tersebut berspekulasi, maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah : - menjawab benar, P(B) = 1/5 - menjawab salah, P(S) = 1 – 1/5 = 4/5

2. Rumus Distribusi Binomial a. Rumus Binomial suatu peristiwa. Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan. P(X = x) = b (x ; n, p ) = nCx . px . qn-x dimana : nCx = koefisien binomial x = banyaknya peristiwa sukses. n = banyaknya percobaan. p = probabilitas peristiwa sukses q = 1 – p ( probabilitas peristiwa gagal)

Contoh : a. Mata dadu 5 muncul 1 kali. Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari peristiwa berikut : a. Mata dadu 5 muncul 1 kali. b. Mata dadu genap muncul 2 kali. c. Mata dadu 2 dan 6 muncul 4 kali.

b. Probabilitas Binomial Kumulatif. Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.

Contoh : Sebanyak mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas : a. paling banyak 2 orang lulus. b. yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang. c. paling sedikit 4 di antaranya lulus.

3. Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Binomial. Rata-rata (  ) = n . p Varians ( 2) = n . p . q Simpangan Baku () =

DISTRIBUSI POISSON 1. Pengertian Distribusi Poisson Distribusi Poisson termasuk distribusi teoretis yang memakai variabel random diskrit. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X, yaitu banyaknya percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.

2. Rumus Distribusi Poisson Dimana : = rata-rata distribusi = 0, 1, 2, 3, …. e = konstanta 2, 71828

3. Rata-rata, Varians, dan Simpangan baku distribusi Poisson E(X) =  =  = n . p Varians: E(X - )2 =  2 = n . P Simpangan Baku :  =  n . p

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK. Pengertian Distribusi Hipergeometrik. Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan 2 kejadian yang berkomplemen, seperti distribusi binomial.

Perbedaan Distribusi Binomial dan Distribusi Hipergeometrik, adalah : Perbedaan utama antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah : Pada distribusi binomial pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian. Pada distribusi hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.

2. Rumus Distribusi Hipergeometrik p(x)= probabilitas x sukses dalam n percobaan n = jumlah percobaan N = jumlah elemen dalam populasi r = jumlah elemen dalam populasi yang sukses

Contoh: Dari penelitian golongan darah mahasiswa pada sebuah universitas, diketahui bahwa dari 10 mahasiswa terdapat: 2 mahasiswa bergolongan darah A, 5 mahasiswa bergolongan darah B, 3 mahasiswa bergolongan darah O. Apabila diambil 5 orang mahasiswa, berapa probabilitas 1 orang bergolongan darah A, 2 orang B dan 2 orang O.

Distribusi Normal 1. Pengertian dan ciri-ciri Distribusi normal adalah salah satu distribusi teoretis dari variabel random kontinu. Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang mensyaratkan variabel yang diukur harus kontinu. Misal : tinggi badan, berat badan, skor IQ, jumlah curah hujan, dll.

Karakteristik distribusi normal. Distribusi normal memiliki dua parameter yaitu  dan  yang masing-masing membentuk lokasi dan distribusi. Titik tertinggi kurva normal berada pada rata-rata. Distribusi normal adalah distribusi yang simetris. Simpangan baku mementukan lebarnya kurva. Total luas daerah di bawah kurva normal adalah 1.

Jika jarak dari masing-masing nilai x diukur dengan simpangan baku , maka : dapat ditulis sebagai berikut : P ( - 1  X   + 1) = ± 68 % P ( - 2  X   + 2) = ± 95 % P ( - 3  X   + 3) = ± 99 %

Distribusi Normal Baku Untuk mengubah distribusi normal menjadi distribusi normal baku adalah dengan mencari variabel Z yang didapat sbb : Bila x berada di antara x1 dan x2, maka variabel acak z akan berada di antara z1 dan z2, dimana :