BAB 10 ALJABAR PROPOSISI KALIMAT DEKLARATIF(Statements) KATA PENGHUBUNG (Connectives) KONJUNGSI (Conjunction) DISJUNGSI (Disjunction) NEGASI (Negation) CONDISIONAL BICONDISIONAL BOOLEAN POLYNOMIAL TABEL KEBENARAN (Truth Table) TAUTOLOGI (Tautology) KONTRADIKSI (Contradiction) EKIVALEN LOGIC (Logical Equivalence) ALJABAR PROPOSISI (Algebra of Proposition) IMPLIKASI LOGIK (Logical Implication)

KALIMAT DEKLARATIF Dinyatakan dengan huruf-huruf p, q, r Sifat dasar dari kalimat deklaratif adalah : Bisa Benar (True, T) atau Salah (False, F) T dan F disebut harga kebenaran (Truth Value) Tidak bisa keduanya (benar dan juga salah) p = “Amir sakit” q = “Amir sudah tua” (statements) r = “ Kemana kamu pergi “ (bukan statement) Kalimat deklaratif dapat digabungkan dengan berbagai kata-kata penghubung menjadi pernyatan komposit Amir sakit atau Amir sudah tua Amir sakit dan Amir sudah tua Harga kebenaran dari suatu pernyataan komposit tergantung pada harga kebenaran dari masing-masing pernyataan penyusunnya

KONJUNGSI Diketahui pernyataan-pernyataan p dan q Konjungsi menggunakan kata penghubung  Pernyataan komposit dengan konjungsi ditulis p  q Amir sakit dan Amir sudah tua A  B = {x | x  A  x  B } Harga kebenaran dari pernyataan komposit hanya benar (T) bila harga kebenaran dari kedua pernyataan penyusunnya benar p q p  q F T

DISKONJUNGSI Diketahui pernyataan-pernyataan p dan q Diskonjungsi menggunakan kata penghubung  Pernyataan komposit dengan konjungsi ditulis p  q Amir sakit atau Amir sudah tua A  B = {x | x  A  x  B } Harga kebenaran dari pernyataan komposit hanya salah (F) bila harga kebenaran dari kedua pernyataan penyusunnya salah p q p  q T F

NEGASI Diketahui suatu pernyataan p Negasi menggunakan kata penghubung ~ Negasi dari suatu pernyataan ditulis ~ p Amir tidak (not) sakit Harga kebenaran dari negasi suatu pernyataan selalu berlawanan dengan harga kebenaran dari pernyataan asalnya p ~ p T F

KONDISIONAL Diketahui pernyataan-pernyataan p dan q Condisional menggunakan kata penghubung  Pernyataan komposit dengan kondisional ditulis p  q Bila Amir sakit maka Amir sudah tua Bila p maka q (if p then q) Harga kebenaran dari pernyataan komposit selalu benar (T) kecuali jika p benar dan q salah p q p  q T F

BIKONDISIONAL Diketahui pernyataan-pernyataan p dan q Condisional menggunakan kata penghubung  Pernyataan komposit dengan kondisional ditulis p  q Bila Amir sakit jika dan hanya jika Amir sudah tua p jika dan hanya jika q (p if and only if q)  p iff q Harga kebenaran dari pernyataan komposit hanya benar (T) bila p dan q mempunyai harga kebenaran yang sama p q p  q T F

POLINOMIAL BOOLE Dalam aljabar biasa (ordinary algebra) suatu polinomial dibentuk menggunakan operasi-operasi penjumlahan, perkalian dan perbedaan dari variabel-variabel x dan y f(x,y)= x x – x  y + y  y  y + x  x = 2 x2 – xy + y3 g(x,y) = (x-y)  (x+y) = x2 - y2 f(2,3) = 2 2 – 2  3 + 3  3  3 + 2  2 = 4 – 6 + 27 + 4 = 29 g (3,1) = (3-1)  (3+1)=2  4 = 8 Operasi-operasi dapat juga dilakukan pada polinomial f(x,y) – g(x,y) f(x,y)  g(x,y) Bila variabelnya adalah pernyataan-pernyataan maka polinomial yang dibentuk dengan berbagai kata penghubung disebut polinomial Boole (Boolean polynomial) f(p,q) = ~ p  (p  q) g(p,q) = (p  ~ q)  q f(p,q)  g(p,q) = [~ p  (p  q)] [(p  ~ q)  q]

PROPOSISI DAN TABEL KEBENARAN Suatu proposisi yang dinyatakan dengan : P(p,q,….), Q(p,q,….), ……atau P,Q,…. Adalah polinomial Boole dalam variabel p,q,…. Untuk menentukan harga kebenaran dari suatu proposisi dapat digunakan Tabel Kebenaran (Truth Table) Tabel kebenaran dari Proposisi ~ (p  ~q) adalah : p q ~q p ~q ~ (p  ~q) T F

Caralain untuk menentukan tabel kebenaran ~ (p  ~q) F Langkah 1 p q ~ (p  q) T F Langkah 1 2

p q ~ (p  q) T F Langkah 1 3 2 p q ~ (p  q) T F Langkah 4 1 3 2

TAUTOLOGI DAN KONTARDIKSI Suatu proposisi P(p,q,…) disebut tautologi bila selalu benar untuk sembarang pernyataan po, qo,…. p ~p p  ~p T F Suatu proposisi P(p,q,…) disebut kontradiksi bila selalu salah untuk sembarang pernyataan po, qo,…. p ~p p  ~p T F

(p  q)  (q  r)  (p  r) adalah tautologi F Langkah 1 2 3 4

EKIVALEN LOGIK Dua proposisi P(p,q,…) dan Q(p,q,….) disebut ekivalen logic bila keduanya mempunyai tabel kebenaran yang sama P(k,q,…) = Q(p,q,…) p q p q q  p (p q) ( q  p) p  q T F

ALJABAR PROPOSISI Proposisi berikut adalah ekivalen logik p  p  p (p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r) p  q  q  p p  q  q  p p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  f  p p  t  p p  t  t p  f  f p  ~ p  t p  ~ p  f ~~p p ~t  f, ~ f  t ~(p q)  ~ p  ~ q ~(p  q)  ~ p  ~ q

HUKUM-HUKUM ALJABAR PROPOSISI Proposisi berikut adalah ekivalen logik P  P  P Hukum Idem (P  Q)  R  P  (Q  R) Hukum Asosiatif P  Q  Q  P Hukum Komutatif P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) Hukum Distributif P  F  P Hukum Identitas P  T  T P  ~ P  T Hukum Komplemen ~~P P ~(P Q)  ~ P  ~ Q Hukum De Morgan

Hukum Idem P  P  P Hukum Asosiatif (P  Q)  R  P  (Q  R) Hukum Komutatif P  Q  Q  P Hukum Distributif P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) Hukum Identitas P  F  P P  T  T Hukum Komplemen P  ~ P  T ~~P P Hukum De Morgan ~(P Q)  ~ P  ~ Q

IMPLIKASI LOGIK Misalkan P(p,q,…) dan Q(p,q,….)adalah proposisi. Maka tiga kondisi di bawah ini adalah ekivalen ~ P(p,q,…)  Q(p,q,…) adalah tautologi P(p,q,…)  ~ Q(p,q,…) adalah kontradiksi P(p,q,…)  Q(p,q,…) adalah tautologi Suatu proposisi P(p,q,…) disebut implikasi logik ke proposisi Q(p,q,….) dinyatakan dengan : P(p,q,…)  Q(p,q,….) Bila satu dari ketiga kondisi di atas berlaku