PROPORSI (LOGIKA MATEMATIKA) Betha Nurina Sari,S.Kom

Logika Logika: sistem yg didasarkan atas proposisi. Proposisi: pernyataan yang bernilai benar atau salah, tapi tidak kedua-duanya. Kita katakan bahwa nilai kebenaran dari suatu proposisi adalah benar (T) atau salah (F). Berkorespondensi dengan 1 dan 0 dalam dunia digital.

PROPORSI ITU APA? Proposisi-proposisi merupakan pernyataan-pernyataan yang ada di dalam suatu argumen Pernyataan-pernyatan tersebut mempunyai properti yaitu suatu nilai benar atau salah

PROPORSI ITU APA? Proposisi: setiap pernyataan yang bernilai benar atau salah. Tidak bisa bernilai kedua-duanya atau nilai lainnya. Misal pernyataan “Program komputer ini memiliki bug” adalah proposisi yang bernilai benar atau salah.

“Gajah lebih besar daripada kucing.” Contoh Proposisi “Gajah lebih besar daripada kucing.” Ini suatu pernyataan ? yes Ini suatu proposisi ? yes Apa nilai kebenaran dari proposisi ini ? true

“1089 < 101” Ini pernyataan ? yes Ini proposisi ? yes Contoh Proposisi (2) “1089 < 101” Ini pernyataan ? yes Ini proposisi ? yes Apa nilai kebenaran dari proposisi ini ? false

“y > 15” Ini pernyataan ? yes Ini proposisi ? no Contoh proposisi (3) “y > 15” Ini pernyataan ? yes Ini proposisi ? no Nilai kebenarannya bergantung pada nilai y, tapi nilai ini tidak spesifik. Kita katakan tipe pernyataan ini adalah fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

“Bulan ini Februari dan 24 < 5.” Contoh proposisi (4) “Bulan ini Februari dan 24 < 5.” Ini pernyataan ? yes Ini proposisi ? yes Nilai kebenaran dari proposisi tersebut ? false

“Jangan tidur di kelas.” Contoh proposisi (5) “Jangan tidur di kelas.” Ini pernyataan ? no Ini permintaan. Ini proposisi ? no Hanya pernyataan yang dapat menjadi proposisi.

“Jika gajah berwarna merah, Contoh proposisi (6) “Jika gajah berwarna merah, mereka dapat berlindung di bawah pohon cabe.” Ini pernyataan ? yes Ini proposisi ? yes Apa nilai kebenaran proposisi tersebut ? probably false

“x < y jika dan hanya jika y > x.” Contoh proposisi (7) “x < y jika dan hanya jika y > x.” Ini pernyataan ? yes Ini proposisi ? yes … sebab nilai kebenarannya tidak bergantung pada nilai x dan y. Apa nilai kebenaran dari proposisi tsb ? true

Menggabungkan proposisi Seperti dalam contoh sebelumnya, satu atau lebih proposisi dapat digabung membentuk sebuah proposisi majemuk (compound proposition). Selanjutnya, notasi proposisi diformalkan dengan menggunakan alfabet seperti p, q, r, s, dan dengan memperkenalkan beberapa operator logika.

SEJENAK TENTANG PROPORSI ... 1. Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan proposisi? Apakah jawabanmu ini sudah benar, Andri? Andri pergi kuliah 4 adalah bilangan prima Andri, pergilah ke sekolah sekarang juga!

SEJENAK TENTANG PROPORSI ... 2. Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang berupa proposisi atomik dan yang berupa proposisi majemuk? Setiap orang Indonesia kaya raya Andri dan Dewi sama-sama kaya raya Andri kaya raya atau banyak hartanya

Sejenak tentang proporsi.... 3. Beri nilai konstanta proposisional T atau F pada pernyataan berikut: Yogyakarta ibukota negara Indonesia Angka 8 adalah angka genap Jepang berbentuk negara republik Hari ini hari Senin

Tabel Kebenaran Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi- proposisi yang sederhana

Tabel Kebenaran Setiap perangkai logika memiliki nilai kebenaran masing-masing. Perangkai logika yang digunakan: Perangkai Simbol Dan (and)  Atau (or)  Bukan (not)  Jika…maka… (if…then.../implies)  Jika dan hanya jika (if and only if) 

Operator Logika Negasi (NOT) Konjungsi - Conjunction (AND) Disjungsi - Disjunction (OR) Eksklusif Or (XOR) Implikasi (JIKA – MAKA) Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA)

Operator Uner, Simbol:  Negasi (NOT) Operator Uner, Simbol:  P P true false

Operator Biner, Simbol:  Conjunction (AND) Operator Biner, Simbol:  P Q PQ true false

Operator Biner, Simbol:  Disjunction (OR) Operator Biner, Simbol:  P Q PQ true false

Operator Biner, Simbol:  Exclusive Or (XOR) Operator Biner, Simbol:  P Q PQ true false

Implikasi (JIKA - MAKA) Implikasi p  q adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar dan q salah, dan bernilai benar jika lainnya. false true PQ Q P

Implikasi p  q Jika p, maka q Jika p, q p mengakibatkan q p hanya jika q p cukup untuk q Syarat perlu untuk p adalah q q jika p q ketika p q diakibatkan p q setiap kali p q perlu untuk p Syarat cukup untuk q adalah p

Contoh Implikasi Implikasi “Jika hari ini hari Jumat maka 2+3 > 7.” bernilai benar untuk semua hari kecuali hari Jumat, walaupun 2+3 > 7 bernilai salah. Kapan pernyataan berikut bernilai benar? “Jika hari tidak hujan maka saya akan pergi ke Malang.”

Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA) Operator Biner, Simbol:  P Q PQ true false

Tautologi dan Kontradiksi Tautologi adalah pernyataan yang selalu benar. Contoh: R(R) (PQ)(P)(Q) Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST. Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.

Tautologi dan Kontradiksi (2) Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah. Contoh: R(R) ((PQ)(P)(Q)) Negasi dari suatu tautologi adalah suatu kontradiksi, negasi dari kontradiksi adalah suatu tautologi.

Konversi, Kontrapositif, & Invers q  p disebut konversi dari p  q q  p disebut kontrapositif dari p  q p  q disebut invers dari p  q

Ekspresi Logika Contoh 4. Ubah ke dalam ekspresi logika: “Anda mempunyai akses internet hanya jika anda mahasiswa Teknik Informatika STT RRI atau anda bukan mahasiswa STT RRI” Solusi. Misal a : “Anda punya akses internet” m: “Anda mhs Teknik Informatika STT RRI” f : “Anda mhs STT RRI” a  (m   f)

EKIVALEN LOGIK P(k,q,…) = Q(p,q,…) Dua proposisi P(p,q,…) dan Q(p,q,….) disebut ekivalen logic bila keduanya mempunyai tabel kebenaran yang sama P(k,q,…) = Q(p,q,…) p q p q q  p (p q) ( q  p) p  q T F

Proposisi berikut adalah ekivalen logik ALJABAR PROPOSISI Proposisi berikut adalah ekivalen logik p  p  p p  p  p (p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r) p  q  q  p p  q  q  p p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  f  p p  t  p p  t  t p  f  f p  ~ p  t p  ~ p  f ~~p p ~t  f, ~ f  t ~(p q)  ~ p  ~ q ~(p  q)  ~ p  ~ q

HUKUM-HUKUM ALJABAR PROPOSISI Proposisi berikut adalah ekivalen logik P  P  P Hukum Idem (P  Q)  R  P  (Q  R) Hukum Asosiatif P  Q  Q  P Hukum Komutatif P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) Hukum Distributif P  F  P Hukum Identitas P  T  T P  ~ P  T Hukum Komplemen ~~P P ~(P Q)  ~ P  ~ Q Hukum De Morgan

HUKUM-HUKUM ALJABAR PROPOSISI Hukum Idem P  P  P Hukum Asosiatif (P  Q)  R  P  (Q  R) Hukum Komutatif P  Q  Q  P Hukum Distributif P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) Hukum Identitas P  F  P P  T  T Hukum Komplemen P  ~ P  T ~~P P Hukum De Morgan ~(P Q)  ~ P  ~ Q

IMPLIKASI LOGIK Misalkan P(p,q,…) dan Q(p,q,….)adalah proposisi. Maka tiga kondisi di bawah ini adalah ekivalen ~ P(p,q,…)  Q(p,q,…) adalah tautologi P(p,q,…)  ~ Q(p,q,…) adalah kontradiksi P(p,q,…)  Q(p,q,…) adalah tautologi Suatu proposisi P(p,q,…) disebut implikasi logik ke proposisi Q(p,q,….) dinyatakan dengan : P(p,q,…)  Q(p,q,….) Bila satu dari ketiga kondisi di atas berlaku

SOAL LATIHAN PROPORSI Gunakan variabel proposisional A untuk “Andri kaya raya” dan B untuk “Andri hidup bahagia”. Lalu ubah pernyataan berikut menjadi bentuk logika: (1) Andri tidak kaya (2) Andri kaya raya dan hidup bahagia (3) Andri kaya raya atau tidak hidup bahagia (4) Jika Andri kaya raya, maka ia hidup bahagia (5) Andri hidup bahagia jika dan hanya jika ia kaya raya

SOAL LATIHAN PROPORSI 2. Beri variabel proposisional terserah Anda, dan ubah pernyataan berikut menjadi bentuk logika! (1) Jika Andri ada di Malioboro, maka Dewi juga ada di Malioboro (2) Pintu rumah Dewi berwarna merah atau coklat (3) Berita itu tidak menyenangkan (4) Andri akan datang jika ia mempunyai kesempatan (5) Jika Dewi rajin kuliah, maka ia pasti pandai

SOAL LATIHAN PROPORSI 3. Jawab pertanyaan berikut dengan tabel kebenaran! (1) Apakah nilai kebenaran dari AA? (2) Apakah nilai kebenaran dari AA dan AA? (3) Apakah AB mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan BA? (4) Apakah (AB)C mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan A(BC)?