ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM GP DALIYO Daliyo

Logika Predikat Inerpretasi Pendahuluan Daliyo Ingat bahwa formula hanyalah string dp karakter-karakter, dan tak mempunya arti yang tetap. Jika logika digunakan untuk membukti kan pernyataan tentang “dunia nyata”, maka interpretasi dp bahasa tersebut harus diberikan. Daliyo

Logika Predikat Inerpretasi 1). Definisi. Pendahuluan Daliyo 1). Definisi. Suatu interpretasi dp suatu FoL L adakah suatu quadruple dp bentuk < |A|,RelA, FunA, ConA > ; dimana 1). |A| adl domain dp interpretasi, himpunan tak kosong dimana variabel dp L menjelejahi. 2). RelA = [ RA : R adl suatu predicate dengan n-tempat (n-parameter) dp L dan RA adl suatu relasi n-tempat pada |A| yang diasign pada R.] 3). FunA = [fA : f adl suatu simbol fungsi n-tempat (n-parameter) dp L dan fA adl suatu fungsi n-tempat pada |A| yang diasign pada f] 4). ConA = [cA : c adl suatu simbol tetapan dp L dan cA adl suatu elemen yang berbeda dp |A| diasign pada c] Daliyo

Logika Predikat Inerpretasi 1). Contoh. Pendahuluan Daliyo 1). Contoh. Andaikan dipunyai suatu FoL dengan alpabet sebagai berikut : Variabel x,y, . . . ; Simbol tetapan c ; Simbol fungsi 2-tempat g(x,y) ; Predikat R(x,y) , Q(x,y); Ia mempunyai satu fungsi dan dua predikat. Daliyo

Logika Predikat Inerpretasi 1). Contoh. Pendahuluan Kita pandang dua interpretasi yang berbeda dp bahasa tersebut diatas . Interpretasi 1. Interpretasi bahasa tersebut diatas adalah A ; dimana 1). |A| adl himpunan dp integer. 2). RA (x,y) adalah relasi “ x = y” pada |A|; QA (x,y) adalah relasi “ x < y” pada |A| ; 3). gA (x,y) = x.y (hasil kali x dengan y) ; 4). cA = 0; Logika Predikat Inerpretasi Pendahuluan Daliyo

Logika Predikat Inerpretasi 1). Contoh. Daliyo 1). Contoh. Misalkan diberikan formula dp FoL sebagai berikut : (x)(y)((Q(x,y)  (Qx,c)  R(x,c))) → (Q(c,g(x,y))  R(c,g(x,y)))) Arti daripada formula tersebut adl “ Untuk semua integer x dan y, jika y lebih kecil dp x dan x lebih kecil atau samadengan 0 maka x .y adl lebih besar atau sama dengan 0” atau “ Untuk setiap integer x dan y, jika y<x dan x =< 0 maka x.y >= 0 ” yg bernilai benar.

Logika Predikat Inerpretasi 1). Contoh. Pendahuluan Daliyo 1). Contoh. Interpretasi 1. Interpretasi bahasa tersebut diatas adalah A ; dimana 1). |B| adl himpunan dp integer. 2). RB (x,y) adalah relasi “ x  y (mod 3)” pada |B|; QB (x,y) adalah relasi “ x+1  y (mod 3)” pada |B| ; 3). gB (x,y) = x + y ; 4). cB = 2; Formula berikut (x)(y)((Q(x,y)  (Qx,c)  R(x,c))) → (Q(c,g(x,y))  R(c,g(x,y)))) dengan interpretasi diatas menjadi : Daliyo

Logika Predikat Inerpretasi 1). Contoh. Pendahuluan Daliyo 1). Contoh. (x)(y)((Q(x,y)  (Qx,c)  R(x,c))) → (Q(c,g(x,y))  R(c,g(x,y)))) dengan interpretasi diatas menjadi : “ Untuk setiap x dan y dalam {0, 1, 2} jika y + 1  x (mod 3) dan (x + 1  2 (mod 3) atau x  2 (mod 3)) , maka 2 + 1  x + y (mod 3) atau 2  x + y (mod 3)” dan ini formula yg salah untuk interpretasi diatas. Daliyo Daliyo

Logika Predikat Konsisten, Inkonsisten, Valid, dan Konsekuensi Logis Daliyo Definisi. Formula G disebut konsisten jhj ada interpretasi I yg menyebabkan evaluasi G menjadi 1 (benar). Jika formula G adl benar dalam inter pretasi I, maka I adl model untuk G dan I memenuhi G. Daliyo Definisi. Formula G disebut inkonsisten jhj tidak terdapat interpretasi yg me menuhi G. Atau dengan kata lain , formula G selalu diinterpretasi kan salah. Daliyo daliyo

Logika Predikat Konsisten, Inkonsisten, Valid, dan Konsekuensi Logis Daliyo Definisi. Formula G adl valid jhj (jika dan hanya jika) setiap interpretasi untuk G memenuhi G Daliyo daliyo daliyo Definisi. Formula G adl konsekuensi logis dari formula F1, F2, . . . , Fn jika dan hanya jika untuk setiap interpretasi I, interpretasi formula F1F2 . . . . Fn benar didalam I, dan G pun benar didalam I. Daliyo daliyo daliyo

Logika Predikat Konsisten, Inkonsisten, Valid, dan Konsekuensi Logis Daliyo Contoh Buktikan : 1). (x)P(x)  (y)(P(y)) adl inkonsisten 2). (x)P(x)  (y)P(y) adl valid 3). P(a) → ((x)P(x)) adl konsisten 4). (x)P(x)  (y)(P(y)) adl valid Solusi 1). Asumsikan ada interpretasi I yg memenuhi (x)P(x)  (y)(P(y)) Berarti pada I ada y = s yg menyebabkan P(s) adl benar berarti P(s) adl salah, jadi P(s)  P(s) = 0, jadi terjadi kontradiksi berati asumsi didrop yaitu tak ada interpretasi I yg memenuhi formula tersebut.

Logika Predikat Konsisten, Inkonsisten, Valid, dan Konsekuensi Logis Daliyo Solusi 2). Asumsikan ada interpretasi I yg memenuhi (x)P(x)  (y)P(y) berarti pada I ada y = s yg menyebabkan P(s) adl benar, berarti juga P(s) adl benar, maka formula (x)P(x)  (y)P(y) dapat dipastikan benar jadi 2). Valid.

Logika Predikat Konsisten, Inkonsisten, Valid, dan Konsekuensi Logis Daliyo 3). Asumsikan interpretasi I memenuhi : P(a) → ((x)P(x)) , ma ka : a). Pada I terdapat x = s dimana P(s) = 0 (salah), sehingga P(s) = 1 (benar). Ketika nilai P(a) = 0 maupun P(a) = 1, formula akan bernilai benar b). Pada I terdapat x = t dimana P(t) = 1 (benar), sehingga P(t) = 0 (salah). Ketika nilai P(a) = 0 , formula akan bernilai benar, sedangkan jika P(a) = 1, maka formula akan bernilai salah

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Definisi. Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Definisi. Suatu Formula dikatakan dibetulkan/ditegakkan (rectified) jhj tidak ada variabel yg sekaligus bebas (free) dan terikat (bound), dan masing-masing kemunculan dp suatu kuantor menggunakan variabel yang berbeda. Suatu formula dikatakan dalam bentuk normal prenex jika dan hanya jika formula tersebut berbentuk : (Q1x1)(Q2x2) . . . (Qnxn) (M). dimana Qi  {,} , i = 1, 2, . . . , n, dan M tidak memuat kuantor. (Q1x1)(Q2x2) . . . (Qnxn) disebut prefiks dan M disebut matriks dari formula F.

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Contoh. Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Contoh. Formula (x)( P(x) → Q(y)  (x)Q(x) ) adl formula yg tidak terbetulkan/tertegakkan (not rectified) karena terdapat dua kemun culan dp kuantor yg menggunakan variabel yang sama yaitu x. Selanjutnya (x)( P(x) → Q(y)  (y)Q(y) ), dimana kemuncul an dp kuantor menggunakan variabel yg berbeda; tetapi ia juga su atu formula yg tak terbetulkan karena y adl sekaligus variabel be bas dan terikat dp formula (perhatikan variabel bebas tak dapat di renamed jika diinginkan untuk tetap equivalen). Tetapi (x)( P(x) → Q(y)  (z)Q(z) ) adl formula yg terbetul kan (rectified) , tetapi belum dalam bentuk pernex. Formula (x)(z)( p(x) → Q(y)  Q(z) ) berbentuk Prenex.

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Teorema. (Bentuk Prenex) Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Teorema. (Bentuk Prenex) Untuk sebarang formula X, terdapatlah suatu formula Y dlm bentuk Prenex sedemikian sehingga X  Y. Suatu formula logika predikat perlu dibawa atau dikonversikan untuk menjadi bentuk Prenex. (Ingat Bentuk Prenex merupakan awal untuk membawa ke Bentuk Clausal yang merupakan bagian penting dalam pemrograman logis (Logic Programming). Adapun prosedurnya adal sebagai berikut :

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Prosedur : PrenForm (Konversi ke Bentuk Prenex) (Arindhama Singh) Input : Suatu formula X Output : Suatu formula bentuk prenex yg ekuivalen dng X. Langkah : 1). Eliminasikan ↔ dengan hukum A ↔ B  (A → B)  ( B → A) pada semua subformula dp X. 2). Rename variabel-variabel terikat untuk membenarkan/ menegak kan (rectify) X ( Sesudah langkah ini , X diasumsikan sudah menja di suatu formula yg telah dibenarkan / rectified formula. ) 3). Pindahkan  kedepan predikat dengan menggunakan ekuivelensi berikut : A  A ; (A  B)  A  B ; (A  B)  A  B xA  x(A) ; xA  xA ; (A→ B)  A  B

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex 4). Tarik keluar kuantor-kuantor dengan menggunakan komutativitis dp  dan , dan ekuivalensi. ( x tak muncul dalam B sebagai formula yang dibenarkan/ditegakan (rectified) : xA → B  x(A → B) ; xA → B  x(A → B) B → xA  X(B → A) ; B → xA  x(B → A) xA  B  x(A  B) ; xA  B  x(A  B) xA  B  x(A  B) ; x(A  B)  x(A  B) Contoh Ubahlah ke bentuk prenex formula : A = z(Pxy → y(Qy  Ryz))  (Qx → xSx) Solusi :

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Karena tak ada konektif ↔ pada A; jadi kita rectify A dengan menamakan kembali variabel terikat jika diperlukan. Variabel y dan x keduanya adlaha variabel bebas dan juga terbatas di A. Namakan kembali variabel terikat tersebut yaitu y sebagai v dan x sebagai u. Maka formula adl : B = z(Pxy → v(Qv  Rvz))  (Qx → uSu) Jelaslah bahwa B telah di”rectify” . Mulai memindahlan  dekat ke predikat, dengan menggunakan ekuivalensi didapat : C = z(Pxy → v( Qv  Rvz))  (Qx → uSu)

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex C = z(Pxy → v( Qv  Rvz))  (Qx → uSu) Selanjutnya, tarik kuantor ke kiri dng menggunakan ekuivalensi, dida pat : G = uzv ( (Pxy →  Qv  Rvz)  (Qu → Su) ) Ini adl bentuk prenex dengan prefix uzv dan matriks : (Pxy →  Qv  Rvz)  (Qu → Su)

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Prosedur : Konversi ke Bentuk Prenex (Burke dan Foxley) Diberikan suatu formula predikat logika A : 1). Pertama tentukan nama dp variabel bebasnya dalam formula. Jika ada sebarang variabel terikat dp A yang sama dengan sebarang variabel bebas dp A, maka gantilah variabel terikat dengan variabel yg tak muncul dimana-mana dalam A untuk membuat mereka berbeda. Contoh : xA(x) → (B(x)  yC(y)  yD(y) (dimana A,B,C, dan D adl predikat dan x dan y adl variabel), maka x variabel bebas , maka x diganti dng z sehingga didapat : zA(z) → (B(x)  yC(y)  yD(y)

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex 2). Semua variabel terikat dibuat berbeda ; jika ada sebarang dua variabel bebas yang sama, satu harus diganti namanya agar berbeda dengan variabel benas dan juga dengan variabel terikat lainnya. Dari hasil terakhir contoh diatas maka didapat : zA(z) → (B(x)  yC(y)  wD(w) 3). Kita inginkan untuk memindahkan operator negasi kedalam, sehingga operator tersebut bekerja pada predeikat. Semua kuantor yang didahului oleh  dapat dipindahkan kekiri dp konektive  dengan aturan sebagai berikut : a). Gantilah sutau (sub)formula dr bentuk xA(x) dng xA(x) b). Gantilah suatu (sub(formula dr bentuk xA(x) dng xA(x) Dari contoh didapat : zA(z) → (B(x)  yC(y)  wD(w)

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex 4). Kita inginkan untuk memindahkan semua kuantor kedepan dp formula. Semua kuantor dapat dipindahkan kekiri melewati konektif diadika dengan aturan sbb : (a). Gantilah (sub)formula dari bentuk A → xB dng x(A → B) (b). Gantilah (sub)formula dari bentuk A → xB dng x(A → B) (c). Gantilah (sub)formula dari bentuk xA → B dng x(A → B) (d). Gantilah (sub)formula dari bentuk xA → B dng x(A → B) (e). Gantilah (sub)formula dari bentuk xA  B dng x(A  B) (f). Gantilah (sub)formula dari bentuk xA  B dng x(A  B)

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Catatan : (a). dan (b). keduanya memerlukan x tak muncul bebas da lam A, sedang (e) dan (f) memerlukan bahwa x tak mucul bebas dalam B. Hal ini agar tak ada nama variabel terkuantifikasi berbenturan dng sua tu nama variabel bebas (langkah 1) dan tak ada dua nama variabel yg terkuantifikasi berbenturan (langkah 2) Pada contoh diatas : zA(z) → (B(x)  yC(y)  wD(w) menjadi zA(z) → yw ( B(x)  C(y)  D(w)) Dan dengan sturan (c) z( A(z) → yw ( B(x)  C(y)  D(w))) Akhirnya dng (b) dua kali : z yw(A(z) → ( B(x)  C(y)  D(w))).

Logika Predikat Bentuk Clausal Daliyo Logika Predikat Bentuk Clausal Suatu literal adl suatu formula atomik ( a positive literal) atau nega si dp suatu formula atomik ( a negative literal) Suatu clauses adalah suatu formula berbentuk : x1x2 . . . xn(L1L2 . . . Lm), dimana setiap Li adl suatu literal dan x1, x2 , . . . , xn adl semuanya variabel-variabel yg muncul dala L1L2 . . . Lm  Suatu formula predikat adl Bentuk Clausal jika ia adl suatu konjung si dp clauses.

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Contoh. Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Contoh. 1). (x)(y)(P(x,y)  Q(y)) 2). (x)(y)(P(x,y) ↔ Q(y)) 3). (x)(y)(z)(Q(x,y) → R(z)) Andaikan F formula yang mengandung variabel bebas x. Untuk menekankan bhwa x adl variabel bebas dalam F, formula F dinotasi kan dengan F[x]. Andaikan G formula yg tak mengandung variabel x, maka : (Q(x))F[x]  G = (Q(x)(F[x])  G). (Q(x))F[x]  G = (Q(x))(F[x]  G) ((x)F[x] = (x)(F[x]) ((x)F[x] = (x)(F[x])

Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex Andaikan F[x] dan H[x] dua formula yg mengandung x, maka : (x)F[x]  (x)H[x] = (x)(F[x]  H[x]) (x)F[x]  (x)H[x] = (x)(F[x]  H[x]) Tetapi : (x)F[x]  (x)H[x]  (x)(F[x]  H[x]) (x)F[x]  (x)H[x]  (x)(F[x]  H[x])

Daliyo Logika Predikat Bentuk Normal Prenex