Pendahuluan Dalam pembahasan yang lalu, kita telah memperkenalkan root locus yaitu suatu metode yang menganalisis performansi lup tertutup suatu sistem kontrol yang memberikan pengetahuan mengenai poles dan zeros yang dimiliki sistem tersebut. Kita telah menemukan bahwa root locus adalah suatu diagram yang sederhana yang menunjukkan lintasan-lintasan sepanjang pergerakan poles lup tertutup jika kita memvariasikan beberapa parameter persamaan karakteristik lup tertutup (paling sering divariasikan adalah penguatan lup terbuka). Kita juga menelaah analisis vektor kompleks yang mendasari pengembangan teori root locus. Dalam pembahasan ini, kita akan mendefinisikan keadaan-keadaan spesifik (properties) root locus yang memungkinkan kita untuk secara cepat membuat sketsa lintasan-lintasan yang dilalui oleh poles lup tertutup. Dalam pembahasan mendatang kita akan mendefinisikan aturan-aturan dasar yang digunakan untuk membuat sketsa diagram root locus. Kita akan menyampaikan beberapa contoh dalam rangka mengilustrasikan titik-titik utama.

9.2 Keadaan-keadaan spesifik (properties) Root Locus Dengan mengetahui keadaan-keadaan spesifik root locus memungkinkan kita untuk membuat sketsa yang cepat untuk sistem-sistem dengan ordo yang lebih tinggi. Untuk fungsi alih lup tertutup akan memberikan persamaan karakteristik : Persyaratan sudut sebesar kelipatan ganjil 180o dikatakan sebagai kriteria sudut root locus. Secara ekivalen, sebuah titik s dalam bidang s merupakan pole lup tertutup jika dan dan

Jika kriteria sudut dipenuhi, berdasarkan persamaan (3) Bentuk ini dikatakan sebagai kriteria penguatan (gain) root locus. Contoh 9.1 Untuk sistem contoh dalam pembahasan yang lalu Teliti sebuah pole lup tertutup dan tunjukkan bahwa kriteria sudut dan penguatan (gain) dipenuhi Solusi Dengan mensubstitusikan s = -9,4721 untuk s dan K = 5 akan dihasilkan Dengan mensubstitusikan kombinasi pole lup tertutup yang lain dengan penguatan (gain) yang bersesuaian akan diperoleh hasil yang sama

Dengan memvisualisasikan secara grafis maka pengertian persamaan 6 akan lebih jelas. Konsep bilangan kompleks akan digunakan terhadap contoh di bawah. - Kriteria sudut - Kriteria penguatan (gain) Contoh 9.2 sistem dan pemetaan pole zero-nya

Solusi: Untuk sistem ini, fungsi alih lup terbukanya adalah Fungsi alih lup tertutup Gc(s) adalah

Jika suatu titik s merupakan pole lup tertutup dengan nilai penguatan K maka persamaan-persamaan (7) dan (6) harus dipenuhi. Pikirkan suatu titik s = -2+j3. Jika titik ini berada di root locus maka sudut-sudut pole dikurangi sudut-sudut zero harus sama dengan kelipatan ganjil 180o. Representasi vektor G(s)|s= 2+j3 Dalam diagram diperlihatkan

Oleh karena itu -2+j3 bukan merupakan root locus atau -2+j3 bukan merupakan pole lup tertutup untuk suatu penguatan K. Jika perhitungan-perhitungan ini diulangi untuk titik maka sudut-sudutnya berjumlah 180o. Oleh karena itu titik adalah titik di root locus dengan suatu penguatan K tertentu. Untuk mendapatkan gain (penguatan), dengan menggunakan persamaan (6) dan (7) Dengan menggunakan diagram sudut di atas dengan titik -2+j3 digantikan oleh penguatan K dihitung sebagai Oleh karena itu titik adalah sebuah titik di root locus dengan penguatan sebesar 0.33

Rangkuman : Keadaan-keadaan spesifik (properties) root locus Diketahui poles dan zeros dari suatu fungsi alih lup terbuka KG(s)H(s), suatu titik di bidang-s akan berada dalam root locus dengan suatu penguatan K tertentu jika sudut-sudut zeros dikurangi sudut-sudut poles yang semua diambil dari titik yang diseleksi dalam bidang-s akan berjumlah (2r+1)180o. Lebih jauh lagi, penguatan K di titik yang sudut-sudutnya berjumlah (2r+1)180o didapatkan dengan membagi hasilkali panjang-panjang (lengths) poles dengan hasilkali panjang-panjang zeros. 9.3 Aturan-aturan untuk membuat sketsa root locus Root locus sebuah sistem dapat dipetakan dengan menjelajahi seluruh bidang-s dan mendapati semua titik yang memiliki sudut-sudut yang jika dijumlahkan akan merupakan kelipatan ganjil 180o. Akan tetapi hal ini akan menjemukan tanpa bantuan komputer. Meskipun demikian kriteria sudut dapat digunakan untuk membuat sketsa root locus tanpa upaya yang diperlukan untuk memetakan (plot) root locus. Sekali sebuah sketsa diperoleh maka selanjutnya kita hanya perlu memetakan titik-titik Root Locus yang menjadi perhatian kita dalam sumbu riil. 9.3.1 Jumlah cabang (Aturan 1) Jumlah cabang sama dengan jumlah poles lup tertutup yang secara bersamaan sama dengan jumlah poles lup terbuka. Sebuah cabang adalah sebuah lintasan yang dilalui oleh sebuah pole lup tertutup tunggal.

9.3.2 Simetri Persamaan polinomial karakteristik lup tertutup dari suatu sistem yang dapat diandalkan akan memiliki koefisien-koefisien yang riil. Suatu polinomial dengan koefisien-koefisien yang riil hanya dapat memiliki akar-akar (roots) yang riil atau kompleks. Jika poles berbentuk kompleks, mereka akan selalu berwujud sebagai pasangan konyugasi kompleks. Oleh karena itu akan simetris di sekitar sumbu riil. 9.3.3 Segmen-segmen sumbu riil Kriteria sudut dapat digunakan untuk menentukan di mana (di suatu tempat) poles lup tertutup dapat dilokasikan di sumbu riil.

Kontribusi Sudut di Sumbu Di suatu titik P1, P2, P3 atau P4 - Kontribusi angular tiap-tiap pole atau zero kompleks lup terbuka adalah nol - Kontribusi poles atau zeros riil lup terbuka terhadap sebelah kiri adalah nol - Sudut kontribusi bergantian antara 0o dan 180o. - Sudut sebesar 180o untuk daerah-daerah di sumbu riil yang berada di sebelah kanan sejumlah ganjil poles dan / atau zeros. Aturan 3: Root Locus yang terdapat di sumbu riilRoot locus di sumbu riil yang terletak di sebelah kiri sejumlah ganjil poles dan / atau zeros yang terhingga (finite). Contoh Root Locus di sumbu riil bidang-s Ketika aturan ini diterapkan ke sistem contoh maka kita dapatkan bahwa root locus terletak di sumbu riil antara dua buah zeros di -4 < s < -3 dan antara dua buah poles -2 < s < -1

9.3.4 Titik-titik awal dan akhir (Aturan 4) Fungsi alih lup tertutup dapat dinyatakan dengan titik awal ketika titik akhir ketika Root locus berawal dari poles lup terbuka G(s)H(s) dan berakhir di zeros lup terbuka G(s)H(s) yang terhingga (finite) maupun tak berhingga (infinite)

9.3.5 Perilaku Asimptotik Pikirkan sebuah sistem dengan fungsi alih Untuk sistem ini, terdapat tiga poles yang berhingga di s = 0, -1 dan -2 dan tidak ada zeros yang berhingga (finite). Bagaimana kita mengaplikasikan aturan 4 di kasus ini? Kita berada dalam persoalan khas matematika dengan menemukan konsep poles dan zeros yang tak berhingga (infinite). Jika suatu fungsi ketika s kita katakan bahwa fungsi tersebut memiliki pole di titik yang berhingga. Hal yang serupa jika suatu fungsi 0 ketika s kita katakan bahwa fungsi memiliki zero di tak berhingga (infinite). Setiap fungsi alih memiliki jumlah poles dan zeros yang sama, jika kita menyertakan zeros di tak berhingga (infinite). Oleh karena itu, fungsi dalam Persamaan (15) mengandung 3 poles yang berhingga (finite) dan 3 zeros yang tak berhingga (infinite). Untuk mengilustrasikan hal ini misal s kemudian Persamaan (15) menjadi Tiap-tiap s dalam penyebut menyebabkan fungsi alih lup KG(s)H(s) menjadi nol ketika s mendekati tak berhingga maka pers.(16) memiliki 3 zeros di infinite

Aturan 5: Root Locus di tak berhingga (infinite)Root locus mendekati garis-garis lurus secara asimtotis pada saat locus mendekati tak berhingga. Lebih jauh, persamaan asimtot diberikan dengan perpotongan sumbu riil 0 dan sudut  sebagai berikut di mana n adalah jumlah poles yang berhingga, m adalah jumlah zeros yang berhingga (dan karena itu n – m adalah jumlah zeros yang tak berhingga), r = 0, 1, 2, .....dan sudut diberikan dalam derajat (degree) relatif terhadap arah positip sumbu riil.

Pola-pola asimtot

Contoh 9.3 Membuat sketsa root locus dengan asimtot Buat sketsa untuk sistem yang ditunjukkan dalam diagram di bawah ini Solusi : Kita mulai dengan menghitung asimtot. Dengan menggunakan Persamaan (17), dengan n jumlah poles sebesar 4 dan m jumlah zeros sebesar 1, titik potong sumbu riil adalah Sudut garis-garis yang berpotongan di titik -4/3 diberikan dengan

Aturan 4 menyatakan bahwa root locus dimulai di poles lup terbuka dan berakhir di zeros lup terbuka. Dalam contoh ini, hanya terdapat satu zero lup terbuka yang berhingga (finite) dan karena itu terdapat n-m zeros lup terbuka yang infinite. Root locus mendekati zeros ini secara asimtotis sepanjang garis-garis yang didefinisikan dengan asimtot. Root locus yang lengkap diperlihatkan dalam diagram berikut, di mana kita juga telah menggunakan aturan-aturan yang lain untuk membuat sketsa root locus. Sebagai contoh, karena aturan 3 maka root locus terletak di sumbu riil untuk -4 < s, -3 < s < -2 dan -1 < s < 0. Perlu dicatat pula bahwa terdapat 4 cabang dan bahwa root locus simetris terhadap sumbu riil.

Rekapitulasi Dalam pelajaran ini kita mengembangkan keadaan-keadaan spesifik root locus yang memungkinkan kita untuk membuat sebuah sketsa cepat root locus untuk sistem-sistem ordo yang lebih tinggi. Keadaan-keadaan spesifik ini diturunkan dari persamaan karakteristik lup tertutup dan dirangkumkan sebagai kriteria sudut dan kriteria penguatan (gain) Berdasarkan keadaan-keadaan spesifik ini, kita dapat mengembangkan lima aturan dasar untuk membuat sketsa root locus. Rangkuman kelima aturan tersebut adalah

- Aturan 1: Jumlah cabang - sama dengan jumlah poles lup tertutup - Aturan 2: Kondisi simetri - root locus adalah simetri terhadap sumbu riil - Aturan 3: Segmen-segmen sumbu riil – suatu titik di sumbu riil berada di root locus jika terdapat sejumlah ganjil poles dan atau zeros lup terbuka di sebelah kanannya. - Aturan 4: Titik-titik awal dan akhir – root locus dimulai dari n poles lup terbuka dan berakhir di m poles zeros dan m – n zeros yang tak berhingga di sistem - Aturan 5: Perilaku asimtotik – Root locus mendekati zeros lup terbuka di tak berhingga secara asimtotis. Asimtot adalah garis-garis lurus yang berpusat di sumbu riil di dan sudut-sudutnya diberikan dengan Kelima aturan di atas adalah sudah cukup untuk kita membuat sketsa root locus untuk suatu sistem yang diberikan dan menentukan secara kualitatif perilaku sistem jika K berubah.