GRAF Matematika Diskrit

Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut Representasi : Objek : noktah, bulatan atau titik Hubungan antar objek : garis D C B A Matematika Diskrit

Definisi Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) Ditulis dengan notasi : G = (V, E) V = himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul Graf trivial adalah : Graf hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi Simpul pada graf dinomori dengan : Huruf (a,b, …,z) atau Bilangan (1, 2, … ) atau Huruf dan bilangan (a1, a2, …. ) Sisi yang menghubungkan simpul u dan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u,v) atau dinyatakan dengan e1, e2, …. Sehingga dapat ditulis : e = (u,v) Matematika Diskrit

Contoh 1 G1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E : 3 2 4 Graf sederhana Matematika Diskrit

Contoh 2 G2 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E : E = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4)} = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} Himp. Ganda 1 3 2 4 e2 e5 e1 e4 e7 e3 e6 Pada G2 : sisi e3 = (1,3) dan sisi e4 = (1,3) dinamakan sisi ganda (multiple edges atau paralel edges) Graf ganda Matematika Diskrit

Contoh 3 G3 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E : = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8} Himp. Ganda 1 3 2 4 e2 e5 e1 e4 e7 e3 e6 e8 Pada G3 : e8 = (3,3) dinamakan gelang atau kalang (loop) Graf semu Matematika Diskrit

Jenis-jenis Graf Berdasarkan ada atau tidaknya gelang : Graf sederhana (simple graph) Graf tidak mengandung gelang maupun sisi ganda Sisi adalah pasangan tak terurut (unordered pairs) Graf tak-sederhana (unsimple graph) Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang Ada 2 macam graf tak-sederhana : Graf ganda (multigraph) Graf yang mengandung sisi ganda, sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah Graf semu (pseudograph) Graf yang mengandung gelang (loop), sisi graf semu terhubung ke dirinya sendiri Matematika Diskrit

Jenis-jenis Graf (Cont.) Berdasarkan orientasi arah pada sisi : Graf tak-berarah (undirected graph) Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah Urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan Graf berarah (directed graph atau digraph) Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah Biasanya disebut dengan busur (arc) Busur (u,v) : Simpul u = simpul asal (initial vertex) Simpul v = simpul terminal (terminal vertex) Matematika Diskrit

Jenis-jenis Graf (Cont.) Sisi Sisi ganda Sisi gelang Graf sederhana Tak berarah Tidak Graf ganda Ya Graf semu Graf berarah Berarah Graf ganda-berarah Matematika Diskrit

Kardinalitas graf adalah : Dinyatakan dengan : Jumlah simpul pada graf Dinyatakan dengan : n = |V| Jumlah sisi dinyatakan dengan : m = |E| Matematika Diskrit

Terminologi (Istilah) Dasar Adjacent (bertetangga) Incident (bersisian) Isolated vertex (simpul terpencil) Null graph atau empty graph (graf kosong) Degree (derajat) Path (lintasan) Cycle (siklus) atau circuit (sirkuit) Connected (terhubung) Subgraph (upagraf) dan Komplemen Upagraf Spanning subgraph (upagraf merentang) Cut – set Weigted graph (graf berbobot) Matematika Diskrit

Adjacent (bertetangga) Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Contoh : simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3 tetapi simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4 1 3 2 4 Matematika Diskrit

Incident (bersisian) Untuk sembarang sisi e = (u,v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v Contoh : sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3, sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4 tetapi sisi (1,2) tidak bersisian dengan simpul 4 1 3 2 4 Matematika Diskrit

Isolated vertex (simpul terpencil) Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. Dapat juga dinyatakan bahwa simpul terpencil adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul lainnya Contoh : Simpul 5 adalah simpul terpencil 5 4 3 2 1 Matematika Diskrit

Null graph atau empty graph (graf kosong) Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong disebut sebagai graf kosong Ditulis sebagai : Nn , n = jumlah simpul Contoh : graf di atas adalah graf kosong N5 1 2 4 3 5 Matematika Diskrit

Degree (derajat) Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut Notasi : d(v)  menyatakan derajat simpul v Contoh : d(1) = d(4) = 2 d(2) = d(3) = 3 Sisi terpencil adalah simpul dengan d(v) = 0 karena tidak satupun sisi yang bersisian dengan simpul tersebut Sisi gelang (loop) dihitung berderajat dua Jika terdapat g buah gelang dan e buah sisi bukan gelang yang bersisian dengan simpul v maka derajat simpul v adalah : d(v) = 2g + e 1 3 2 4 Matematika Diskrit

Degree (derajat) Simpul yang berderajat satu disebut anting-anting (pendant vertex) Pada graf berarah, derajat simpul v dinyatakan dengan din(v) dan dout(v), dalam hal ini : din(v) = derajat masuk (in-degree) = jumlah busur yang masuk ke simpul v dout(v) = derajat keluar (out-degree) = jumlah busur yang keluar dari simpul v Dan d(v) = din(v) + dout(v) Matematika Diskrit

Contoh Derajat setiap simpul : din(a) = 2 ; dout(a) = 1 din(b) = 2 ; dout(b) = 3 din(c) = 1 ; dout(c) = 2 din(d) = 2 ; dout(d) = 1 Pada graf berarah G = (V,E) selalu berlaku hubungan : Sehingga : b d a c Matematika Diskrit

Path (lintasan) Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal vo ke simpul tujuan vn di dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk vo, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (vo, v1), e2 = (v1, v2), …, en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G Lintasan sederhana (simple path) : Jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya sekali) Lintasan tertutup (closed path) : Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama Lintasan terbuka (opened path) : Lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama Panjang lintasan : Jumlah sisi dalam lintasan tersebut Matematika Diskrit

Contoh Lintasan 1,2,4,3 adalah lintasan sederhana dan terbuka Lintasan 1,2,4,3,1 adalah lintasan sederhana dan tertutup Lintasan 1,2,4,3,2 bukan lintasan sederhana tetapi lintasan terbuka Lintasan 1,2,4,3 memiliki panjang lintasan = 3 Matematika Diskrit

Cycle (siklus) atau circuit (sirkuit) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus Sirkuit sederhana (simple circuit) : jika setiap sisi yang dilalui berbeda Contoh : Lintasan 1,2,3,1  sirkuit sederhana Lintasan 1,2,4,3,2,1  bukan sirkuit sederhana karena sisi (1,2) dilalui 2 kali Matematika Diskrit

Connected (terhubung) Graf tak-berarah G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v (yang juga harus berarti ada lintasan dari u ke v) Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya terhubung (graf tak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya) Graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang simpul sembarang vi dan vj di G terhubung kuat Matematika Diskrit

Contoh 2 3 5 4 1 Graf di samping merupakan graf terhubung kuat karena untuk sembarang sepasang simpul di dalam graf terdapat lintasan Graf di samping merupakan graf terhubung lemah karena tidak semua pasangan simpul mempunyai lintasan dari dua arah 2 3 5 4 1 Matematika Diskrit

Subgraph (upagraf) dan Komplemen Upagraf Misalkan G = (V,E) adalah sebuah graf. G1 = (V1, E1) adalah upagraf (subgraph) dari G jika V1  V dan E1  E Komplemen dari upagraf G1 terhadap G adalah graf G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E - E1 dan V2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya 2 3 5 4 1 6 2 3 5 1 6 Upagraf dari G1 Graf G1 3 5 4 1 Komplemen dari upagraf yang bersesuaian Matematika Diskrit

Contoh Tentukan komponen terhubung dari G = (V,E) dimana V = {a,b,c,d,e,f} dan E = {(a,d),(c,d)} Penyelesaian : simpul a bertetangga dengan d sedangkan simpul d bertetangga dengan c, ini berarti a juga terhubung dengan c. Simpul b,e dan f merupakan simpul terpencil. Sehingga ada : G1 = (V1, E1) dengan V1 = {a,c,d} dan E1 = {(a,d),(c,d)} G2 = (V2, E2) dengan V2 = {b} dan E2 = { } G3 = (V3, E3) dengan V3 = {e} dan E3 = { } G4 = (V4, E4) dengan V4 = {f} dan E4 = { } Dan V1  V2  V3  V4 = V E1  E2  E3  E4 = E G1  V2  V3  V4 =  d c e b a f Matematika Diskrit

Spanning subgraph (upagraf merentang) Upagraf G1 = (V1, E1) dan G = (V,E) dikatakan upagraf merentang jika = V1 = V (yaitu G1 mengandung semua simpul dari G) 2 3 5 4 1 2 3 5 4 1 2 3 1 Bukan upagraf merentang dari G Graf G Upagraf merentang dari G Matematika Diskrit

Cut – set Cut set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung Cut set selalu menghasilkan 2 buah komponen terhubung Nama lain : jembatan (bridge) adalah himpunan sisi apabila dibuang dari graf menyebabkan graf tersebut tidak terhubung (menjadi 2 buah komponen terhubung) Matematika Diskrit

Contoh Sisi (1,2) dibuang, graf tetap terhubung Himpunan {(1,2),(1,5),(3,5),(3,4)} adalah cut-set 1 2 4 3 6 5 1 2 4 3 6 5 Sisi (1,2) dibuang, graf tetap terhubung Jika sisi (1,2) dan (1,5) dibuang, graf tetap terhubung Jika sisi dari himpunan {(1,2),(1,5),(3,5),(3,4)} dibuang, graf tidak terhubung  cut-set Cut-set terjadi pada himpunan : {(1,2),(1,5),(3,5),(3,4)} {(1,2),(2,5)} {(1,3),(1,5),(1,2)} {(2,6)} Matematika Diskrit

Weigted graph (graf berbobot) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot) Bobot pada tiap sisi berbeda-beda tergantung pada masalah yang dimodelkan dengan graf Bobot dapat menyatakan : Jarak antara 2 kota Biaya perjalanan antara 2 kota Waktu tempuh pesan (message) dari sebuah simpul komunikasi ke simpul komunikasi lain Ongkos produksi dll Istilah lain : graf berlabel e b c d a 12 9 8 10 15 14 11 Matematika Diskrit

Complete graph (Graf lengkap) Graf lingkaran Graf Sederhana Khusus Complete graph (Graf lengkap) Graf lingkaran Regular graph (Graf teratur) Bipartite graph (Graf bipartit) Matematika Diskrit

Complete Graph (Graf Lengkap) Adalah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn Setiap simpul pada Kn berderajat n-1 Jumlah sisi : Graf lengkap Kn , 1  n  6 K1 K2 K3 K4 K5 K6 Matematika Diskrit

Graf Lingkaran Adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat 2 Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan : Cn Jika simpul-simpul pada Cn adalah v1, v2, …, vn, maka sisi-sisinya adalah : (v1, v2), (v2, v3), …, (vn-1, vn) dan (vn, v1) Ada sisi simpul dari simpul terakhir, vn, ke simpul pertama, v1 Graf lingkaran Cn , 3  n  6 Matematika Diskrit

Regular graph (Graf teratur) Adalah : graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama Jika derajat setiap simpul adalah r maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r Jumlah sisi pada graf teratur derajat r dengan n buah simpul adalah : Derajat 0 Derajat 1 Derajat 2 Matematika Diskrit

Contoh (1) Grafteratur berderajat 3 dengan 4 buah simpul (i) n = 4, r = 3 (ii) n = 6, r = 3 (iii) n = 8, r = 3 Grafteratur berderajat 3 dengan 4 buah simpul Graf teratur berderajat 3 dengan 6 buah simpul Graf teratur berderajat 3 dengan 8 buah simpul Matematika Diskrit

Contoh (2) Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan setiap simpul berderajat sama yang  3 ? Penyelesaian : Tiap simpul berderajat sama berarti graf teratur e = 12, r  3 Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e = nr/2  n = 2e/r = 2 * 12/r = 24/r Sehingga : r = 3  n = 24/3 = 8  maksimum r = 4  n = 24/4 = 6  minimum r = 6  n = 24/6 = 4  tidak mungkin membentuk graf sederhana r = 8  n = 24/8 = 3  tidak mungkin membentuk graf sederhana r = 12  n = 24/12 = 2  tidak mungkin membentuk graf sederhana r = 24  n = 24/24 = 1  tidak mungkin membentuk graf sederhana Jadi jumlah simpul paling sedikit (minimum) = 6 buah dan paling banyak (maksimum) = 8 buah Matematika Diskrit

Bipartite graph (Graf bipartit) Adalah graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi 2 himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian hingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 Dinyatakan sebagai G(V1, V2) Graf bipartit lengkap (complete bipartite graph) adalah : Jika setiap simpul di V1 bertetangga dengan semua simpul di V2 Dilambangkan dengan Km,n Jumlah sisi : mn V1 V2 Graf bipartit G(V1, V2) Matematika Diskrit

Contoh (1) V1 = {a,b,d} dan V2 = {c,e,f,g} Setiap sisi menghubungkan simpul di V1 ke simpul V2 Sehingga bentuk graf bipartit C6 adalah : a b d c e f g Matematika Diskrit

Graf bipartit lengkap K2,3 , K3,3 dan K2,4 adalah : Contoh (2) Graf bipartit lengkap K2,3 , K3,3 dan K2,4 adalah : K3,3 K2,3 K2,4 Matematika Diskrit

Representasi Graf Adjacency matrix (matriks ketetanggaan) Incidency matrix (matriks bersisian) Adjacency list (senarai ketetanggaan) Matematika Diskrit

Adjacency matrix (matriks ketetanggaan) Adalah matriks dwimatra yang berukuran n x n Jika A = [aij] maka aij = 1  simpul i dan j bertetanggaan Jika aij = 0  simpul i dan j tidak bertetanggaan Matriks ketetanggaan berisi 0 dan 1  matriks nol-satu (zero-one) Matriks ketetanggaan untuk graf sederhana dan tidak berarah selalu simetri Matriks ketetanggaan untuk graf berarah belum tentu simetri (akan simetri jika berupa graf berarah lengkap) Matriks ketetanggaan tidak dapat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mempunyai sisi ganda (graf ganda) Untuk matriks semu, gelang pada simpul vi dinyatakan dengan nilai 1 pada posisi (i,i) di matriks ketetanggaan Matematika Diskrit

Contoh 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 e1 e2 e4 e5 e7 e6 e8 e3 1 2 3 4 5 Matematika Diskrit

Adjacency matrix Jumlah elemen matriks ketetanggaan untuk graf dengan n simpul adalah : n2 Jika tiap elemen membutuhkan ruang memori sebesar p, maka ruang memori yang diperlukan seluruhnya adalah : p n2 Matriks ketetanggaan untuk graf tak-berarah sederhana simetri membutuhkan ruang memori : p n2 / 2 Derajat tiap simpul i dapat dihitung Untuk graf tak-berarah : Untuk graf berarah : Matematika Diskrit

Contoh Derajat matriks simpul 2 adalah : 1 + 0 + 1 + 1 = 3 4 Derajat matriks simpul 2 adalah : 1 + 0 + 1 + 1 = 3 Derajat matriks simpul 4 adalah : 0 + 1 + 1 + 0 = 2 1 2 3 4 5 Derajat matriks simpul 4 adalah : 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1 Derajat matriks simpul 5 adalah : 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 1 2 3 4 Derajat masuk matriks simpul 2 adalah : 1 + 0 + 0 + 1 = 2 Derajat keluar matriks simpul 2 adalah : 1 + 0 + 1 + 1 = 3 Matematika Diskrit

Incidency matrix (matriks bersisian) Adalah matriks dwimatra yang berukuran n x m Baris menunjukkan label simpul Kolom menunjukkan label sisinya Jika A = [aij] maka aij = 1  simpul i bersisian dengan sisi j Jika aij = 0  simpul i tidak bersisian dengan sisi j Digunakan untuk merepresentasikan graf yang mengandung sisi ganda atau sisi gelang (loop) Derajat setiap simpul i adalah : jumlah seluruh elemen pada baris i (kecuali pada graf yang mengandung gelang) Jumlah elemen matriks bersisian : nm Jika tiap elemen membutuhkan ruang memori sebesar p, maka ruang memori yang diperlukan adalah : pnm Matematika Diskrit

Contoh Jumlah elemen matriks adalah 4 x 6 = 24 e1 1 2 e2 e4 e3 3 e5 4 Matematika Diskrit

Adjacency list (senarai ketetanggaan) Senarai ketetanggaan mengenumerasi simpul-simpul yang bertetangga dengan setiap simpul di dalam graf 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 Senarai ketetanggaan : 1 : 2,3 2 : 1,3,4 3 : 1,2,4 4 : 2,3 Senarai ketetanggaan : 1 : 2,3 2 : 1,3 3 : 1,2,4 4 : 3 5 : - Senarai ketetanggaan : 1 : 2 2 : 1,3,4 3 : 1 4 : 2,3 Matematika Diskrit

Isomorphic Graph (graf isomorfik) Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sedemikian hingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 juga harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ di G2 1 2 3 4 a b c d x y w v G1 G2 G3 G1 isomorfik dengan G2. Simpul 1,2,3 dan 4 di G1 berkoresponden dengan simpul a,b,c dan d di G2 . Sisi (1,2), (2,3), (3,1), (3,4), (1,4) dan (2,4) berkoresponden dengan sisi (a,b), (b,c), (c,d), (a,d), (a,c) dan (b,d). Semua simpul di G1 dan G2 berderajat 3 G1 dan G2 tidak isomorfik dengan G3 karena simpul-simpul di G3 2 buah berderajat 2 dan 2 buah berderajat 3, sedangkan G1 dan G2 berderajat 3 Matematika Diskrit

Contoh v x z y w a b c d e G1 G2 Simpul a,b,c,d dan e di G1 masing-masing berkoresponden dengan simpul x, y, w, v dan z di G2 Masing-masing simpul berderajat 3, 2, 3, 3 dan 1 Matematika Diskrit

Isomorphic Graph (graf isomorfik) Dua buah graf isomorfik harus memenuhi syarat : Mempunyai jumlah simpul yang sama Mempunyai jumlah sisi yang sama Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu Untuk memeriksa graf isomorfik, digunakan bantuan matriks ketetanggaan (adjacency matrix) v x z y w a b c d e G1 G2 Matematika Diskrit

Graf Planar Graf planar adalah : Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi yang tidak saling memotong (bersilangan) K4 adalah graf planar K5 bukan graf planar Matematika Diskrit

Bukan graf bidang tetapi graf planar Graf Datar Graf datar adalah : Representasi graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face) Bukan graf bidang tetapi graf planar Graf planar dan graf bidang R1 R2 R3 R4 Jumlah wilayah pada graf bidang = 4, R1, R2, R3 dan R4 Matematika Diskrit

Rumus Euler Jumlah wilayah (f) pada graf planar sederhana dapat dihitung dengan rumus Euler n – e + f = 2 f = e – n + 2 dimana : e = jumlah sisi n = jumlah simpul Lemma jabat tangan : jumlah derajat = 2 x jumlah sisi r = 2 x e e = r / 2 Matematika Diskrit

Contoh (1) Pada gambar di atas : Jumlah sisi (e) = 9 Jumlah simpul (n) = 6 Sehingga jumlah wilayah (f) pada graf bidang tersebut adalah : f = e – n + 2 = 9 – 6 + 2 f = 5 Matematika Diskrit

Contoh (2) Graf planar sederhana dan terhubung memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk ? Penyelesaian : Diketahui n = 24 ; r = 4 Maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 x 4 = 96 Sehingga jumlah sisi (e), menurut lemma jabat tangan : e = jumlah derajat / 2 = 96 / 2 = 48 Jadi jumlah wilayah (f) pada graf planar sederhana : f = e – n + 2 = 48 – 24 + 2 f = 26 Matematika Diskrit

Ketidaksamaan Euler Pada graf planar sederhana dan terhubung dengan f wilayah, n buah simpul dan e buah sisi (dengan e > 2) berlaku : e  3f/2  f  2e/3 Berdasarkan rumus Euler maka : n – e + f  2 n – e + 2e/3  2 3n – 3e + 2e  6 3n – e  6 e  3n - 6 Ketidaksamaan Euler digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi dan v adalah jumlah simpul, dalam hal ini v  3, maka berlaku ketidaksamaan Euler, e  3v - 6 Matematika Diskrit

Ketidaksamaan Euler Pada graf planar sederhana dan terhubung dengan f wilayah, n buah simpul dan e buah sisi (dengan e > 2) berlaku : e  4f/2  f  e/2 Berdasarkan rumus Euler maka : n – e + f  2 n – e + e/2  2 2n – 2e + e  4 2n – e  4 e  2n - 4 Jika G adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi dan v adalah jumlah simpul, dalam hal ini v  3 dan tidak ada sirkuit yang panjangnya 3, maka berlaku ketidaksamaan Euler, e  2v - 4 Matematika Diskrit

Contoh (1) Pada graf K4 : n = 4 ; e = 6 Ketidaksamaan Euler : e  3n – 6 6  3 (4) – 6 6  6  terpenuhi K4 merupakan graf planar Pada graf K5 : n = 5 ; e = 10 Ketidaksamaan Euler : e  3n – 6 10  3 (5) – 6 10  9  tidak terpenuhi K5 merupakan graf bukan planar Matematika Diskrit

Contoh (2) Pada graf K3,3 : n = 6 ; e = 9 Ketidaksamaan Euler : e  2n – 4 9  2 (6) – 4 9  8  tidak terpenuhi K3,3 merupakan graf bukan planar Matematika Diskrit

Teorema Kuratowski Graf Kuratowski I, yaitu graf lengkap yang mempunyai 5 buah simpul (K5) adalah graf tidak planar Graf Kuratowski II, yaitu graf terhubung teratur dengan 6 buah simpul dan 9 buah sisi (K3,3) adalah graf tidak planar Sifat graf Kuratowski : Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak planar Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkan menjadi graf planar Graf Kuratowski I adalah graf tidak planar dengan jumlah simpul minimum dan graf Kuratowski II adalah graf tidak planar dengan jumlah sisi minimum. Keduanya graf tidak planar paling sederhana Graf G adalah tidak planar jika dan hanya jika mengandung upagraf yang isomorfik dengan K5 atau K3,3 atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya G K3,3 Graf G tidak planar karena mengandung upagraf K3,3 Matematika Diskrit

Homeomorphic (homeomorfik) Dua graf G1 dan G2 dikatakan homeomorfik jika salah satu dari kedua graf dapat diperoleh dari graf lain dengan cara menyisipkan dan/atau membuang secara berulang-ulang simpul berderajat 2 b a d e f g h i b a c d e f g h i a c e g h c K5 G G1 Graf G tidak planar karena upagrafnya, G1, homeomorfik dengan K5 Matematika Diskrit

Graf Euler Lintasan Euler adalah : Sirkuit Euler adalah : Lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Euler adalah : Sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali Graf Euler (Eulerian graph) adalah : Graf yang mempunyai sirkuit Euler Graf semi-Euler (semi-Eulerian graph) adalah : Graf yang mempunyai lintasan Euler Matematika Diskrit

Graf Euler Lintasan Euler pada graf : 4,2,1,4,3,2 5 6 2 3 4 7 Lintasan Euler pada graf : 4,2,1,4,3,2 Graf yang mempunyai lintasan Euler (graf semi-Euler) 1 5 6 2 3 4 Lintasan Euler pada graf : 7,1,2,4,6,2,3,6,5,3,1,5,7 Graf yang mempunyai sirkuit Euler (graf Euler) Lintasan Euler pada graf : 1,2,4,6,2,3,6,5,1,3 Graf yang mempunyai lintasan Euler (graf semi-Euler) Matematika Diskrit

Graf Euler 1 4 3 2 5 1 4 3 2 5 6 Graf yang tidak mempunyai lintasan Euler (graf semi-Euler) dan sirkuit Euler (graf Euler) Matematika Diskrit

Graf Euler Graf terhubung tak-berarah G adalah : graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul di dalam graf tersebut berderajat genap graf semi-Euler (memiliki lintasan Euler) jika dan hanya jika di dalam graf tersebut terdapat tepat 2 simpul berderajat ganjil Graf terhubung berarah G memiliki : sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama Lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama kecuali 2 simpul : Memiliki derajat keluar 1 lebih besar dari derajat masuk Memiliki derajat masuk 1 lebih besar dari derajat keluar Matematika Diskrit

Graf Euler a e d b g c f d a b c Graf berarah yang memiliki sirkuit Euler (a,g,c,b,g,e,d,f,a) Graf berarah yang memiliki lintasan Euler (d,a,b,d,c,b) d a b c Graf berarah yang tidak memiliki lintasan Euler dan sirkuit Euler Matematika Diskrit

Graf Hamilton Lintasan Hamilton adalah : Sirkuit Hamilton adalah : lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali Sirkuit Hamilton adalah : Sirkuit yang melalalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui 2 kali Graf Hamilton adalah : Graf yang memiliki sirkuit Hamilton Graf semi-Hamilton adalah : Graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton Matematika Diskrit

Graf Hamilton (a) 1 4 3 2 (b) (c) Graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal : 3, 2, 1, 4) Graf yang memiliki sirkuit Hamilton (1, 2, 3, 4, 1) Graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton Graf yang mengandung sirkuit Hamilton Matematika Diskrit

Graf Hamilton Teorema Dirac : Teorema Ore : Jika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul (n  3) sedemikian hingga derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu d(v)  n/2 untuk setiap simpul v di G) maka G adalah graf Hamilton Teorema Ore : Jika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul (n  3) sedemikian hingga d(v) + d(u)  n untuk setiap pasang simpul tidak bertetangga u dan v, maka G adalah graf Hamilton Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n  3) terdapat sebanyak (n – 1)! / 2 buah sirkuit Hamilton Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul : n  3 dan n ganjil, terdapat (n – 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan) n  4 dan n genap, terdapat (n – 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas Matematika Diskrit

Contoh Sembilan anggota sebuah klub bertemu tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar. Mereka memutuskan duduk sedemikian hingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dilaksanakan ? Penyelesaian : Dapat direpresentasikan oleh sebuah graf dengan 9 buah simpul sedemikian hingga setiap simpul menyatakan anggota klub dan sisi yang menghubungkan 2 buah simpul menyatakan kedua simpul tersebut bertetangga tempat duduk Pengaturan tempat duduk adalah : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,1 (gaaris tebal dan merah) 1,3,5,2,7,4,9,6,8,1 (garis putus-putus dan hijau) Ada 2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas Jumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda (n = 9) : (n -1) / 2  n ganjil (9 – 1) / 2 = 4 Jadi pengaturan tempat duduk yang berbeda diterapkan selama 4 hari, setiap haarinya setiap peserta mempunyai tetangga yangberbeda dengan hari sebelumnya 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Matematika Diskrit

Lintasan terpendek (shortest path) Aplikasi Graf Lintasan terpendek (shortest path) Persoalan pedagang keliling (travelling salesman problem) Persoalan tukang pos Cina Pewarnaan graf (graph colouring) Matematika Diskrit

Lintasan terpendek (shortest path) Graf yang digunakan dalam pencarian lintasan terpendek adalah graf berbobot (weighted graph), yaitu graf setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot Beberapa persoalan : Lintasan terpendek antara 2 buah simpul tertentu Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain Lintasan terpendek antara 2 buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu Algoritma untuk lintasan terpendek adalah algoritma Dijkstra Matematika Diskrit

Algoritma Dijkstra { langkah 1 } Procedure Dijkstra (input m : matriks, a: simpul awal) { Mencari lintasan terpendek dari simpul awal a ke semua simpul lainnya masukan : matriks ketetanggan (m) dari graf berbobot G dan simpul awal a keluaran : lintasan terpendek dari a ke semua simpul lainnya } Deklarasi s1, s2, …, sn : integer (tabel integer) d1, d2, …, dn : integer (tabel integer) i, j , k : integer Algoritma { langkah 0 (inisialisasi) } for i  1 to n do s(i)  0 d(i)  m(a(i)) endfor { langkah 1 } s(a)  1 (karena simpul a adalah simpul asal lintasan terpendek, jadi simpul a sudah pasti terpilih dalam lintasan terpendek) d(a)   (tidak ada lintasan terpendek dari simpul a ke a) { langkah 2 } for k  2 to n-1 do j  simpul dengan s(j) = 0 dan d(j) minimal s(j)  1 (simpul j sudah terpilih ke dalam lintasan terpendek) {perbarui tabel d) for semua simpul i dengan s(i) = 0 do if d(j) + m(ji) < d (i) then d(i)  d(j) + m(ji) endif endfor Matematika Diskrit

Contoh (1) Tentukan lintasan terpendek dari graf berikut : 50 10 3 e f 30 35 20 15 40 Matriks ketetanggan M : j=a b c d e f i=a 50 10 40 45  15 20 35 30 3 Lintasan terpendek dari : a ke c adalah : a,c  p = 10 a ke d adalah : a,c,d p = 25 a ke b adalah : a,c,d,b  p = 45 a ke e adalah : a,e  p = 45 a ke f tidak ada lintasan Matematika Diskrit

Contoh (2) Jaringan komputer Router asal Router tujuan Lintasan terpendek 1 2 3 4 5 6 - 1,4,2 1,4,6,3 1,4 1,4,2,5 1,4,6 2,4,1 2,4,6,3 2,4 2,5 2,4,6 3,6,4,1 3,6,4,2 3,6,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,6,3 4,2,5 4,6 5,2,4,1 5,2 5,3 5,2,4 5,3,6 6,4,1 6,4,2 6,3 6,4 6,3,5 Contoh (2) Router 1 1040 km, 10 kbps Router 2 Router 4 Router 3 Router 5 Router 6 560 km, 56 kbps 450 km, 30 kbps 1210 km, 11 kbps 350 km, 5 kbps 2275 km, 25 kbps 890 km, 10 kbps 1225 km, 35 kbps 340km, 20 kbps Jaringan komputer Matematika Diskrit

Lintasan terpendek yang dilalui oleh pesan dari router 1 ke router 5 1040 km, 10 kbps Router 2 Router 4 Router 3 Router 6 560 km, 56 kbps 450 km, 30 kbps 1210 km, 11 kbps 350 km, 5 kbps 2275 km, 25 kbps 890 km, 10 kbps 1225 km, 35 kbps 340km, 20 kbps Router 1 Router 5 Lintasan terpendek yang dilalui oleh pesan dari router 1 ke router 5 Matematika Diskrit

Persoalan Pedagang Keliling (Travelling Salesman Problem) c b 12 8 15 10 5 9 a d c b 12 8 15 10 5 9 Graf lengkap dengan n = 4 memiliki : (n – 1)! /2 = (4 – 1)! /2 = 3! / 2 = 3*2*1 / 2 = 3 sirkuit Hamilton Yaitu : S1 = (a,b,c,d,a) atau (a,d,c,b,a) dengan panjang rute = 10 + 15 + 8 + 12 = 45 S2 = (a,c,d,b,a) atau (a,b,d,c,a) dengan panjang rute = 12 + 9 + 15 + 5 = 41 S3 = (a,c,b,d,a) atau (a,d,b,c,a) dengan panjang rute = 10 + 9 + 8 + 5 = 32 Sehingga lintasan terpendek dari sirkuit Hamilton adalah : S3 = (a,c,b,d,a) atau (a,d,b,c,a) Dengan panjang rute 32 Matematika Diskrit

Latihan Soal Sebuah graf akan dibentuk dari 25 buah sisi. Berapa jumlah maksimum simpul di dalam graf sederhana yang dapat dibuat dari 25 buah sisi dengan r  4 Berapa jumlah maksimum dan jumlah minimum simpul pada graf sederhana yang mempunyai 12 buah sisi dan tiap simpul berderajat  3? Gambarkan dua buah graf teratur berderajat 3 dengan 6 buah simpul Matematika Diskrit