AKTUARIA Darmanto Program Studi Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Brawijaya Semester Gasal Thn. 2014/2015 AKTUARIA

TEORI PROBABILITAS

Definisi Percobaan: suatu prosedur yang sedang dilaksanakan pada kondisi tertentu, yang dapat diulang jumlah tertentu pada kondisi yang sama dan hasilnya dapat diobservasi. Proses yang menghasilkan data (mentah). Ruang Sampel: himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Kejadian: satu atau kumpulan beberapa atau semua titik sampel dari ruang sampel.

Tiga pendekatan definisi probabilitas: Probabilitas: kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu peristiwa (kejadian) tertentu. Tiga pendekatan definisi probabilitas: Pendekatan klasik Rasio antara hasil banyaknya kejadian yang diamati dengan seluruh kemungkinan hasil dari percobaan yang dilakukan. P(A) = Probabilitas kejadian A n(A) = Banyak kemungkinan hasil kejadian A n(S) = Banyak kemungkinan hasil dari suatu percobaan

Pendekatan frekuensi relatif (empiris) Proporsi waktu terjadinya suatu kejadian dalam jangka panjang, jika kondisi stabil, atau frekuensi relatif dari seluruh kejadian dalam sejumlah besar percobaan. P(X=x) = probabilitas terjadinya kejadian X f = frekuensi terjadinya kejadian X n = banyaknya percobaan yang dilakukan

Pendekatan subjektif Tingkat kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta-fakta atau peristiwa masa lalu yang ada atau berupa terkaan saja (intuisi).

Kejadian Saling Lepas (Mutually Exclusive) Dua kejadian atau lebih yang tidak dapat terjadi secara bersamaan. Kejadian Tidak Saling Lepas (Non-Mutually Exclusive) Dua kejadian atau lebih yang dapat terjadi pada saat bersamaan.

Kejadian Saling Bebas (Independent) Dua atau lebih kejadian yang tidak saling mempengaruhi atau dipengaruhi kejadian lainnya. Kejadian Tidak Saling Bebas (Dependent) Dua atau lebih kejadian yang saling mempengaruhi atau dipengaruhi kejadian lainnya.

Kejadian Komplementer Kejadian Bersyarat Suatu kejadian yang akan terjadi dengan syarat kejadian lain telah terjadi. Jika kejadian B bersyarat kejadian A, maka Kejadian Komplementer Kejadian yang saling melengkapi. Jika kejadian A komplementer terhadap kejadian B, maka

Teorema 1: Bila p1, p2, p3, …, pn merupakan probabilitas terjadinya n kejadian yang saling lepas, maka probabilitas salah satu dari kejadian adalah Teorema 2: Bila p1, p2, p3, …, pn merupakan probabilitas terjadinya n kejadian yang saling bebas, maka probabilitas salah satu dari kejadian adalah

Teorema 3: Bila probabilitas terjadinya kejadian pertama p1, dan probabilitas terjadinya kejadian kedua p2, maka probabilitas terjadinya kejadian pertama dan kedua dalam urutan seperti itu adalah

Contoh: Probabilitas Ali dan Badu hidup paling sedikit setahun lagi, masing-masing 0,8 dan 0,9. Berapakah probabilitas: Keduanya hidup paling sedikit setahun lagi? Paling sedikit seorang akan mati? Solusi: Kejadiannya saling bebas, peluang keduanya akan hidup paling sedikit setahun lagi adalah (0,8)(0,9) = 0,72. Paling sedikit seorang mati sama dengan salah seorang atau keduanya mati, dan kedua kejadian ini saling lepas. P(Ali hidup) = 0,8 → P(Ali mati) = 0,2 P(Badu hidup) = 0,9 → P(Badu mati) = 0,1

P(Ali hidup, Badu mati) = (0,8)(0,1) = 0,08 P(Ali mati, Badu hidup) = (0,2)(0,9) = 0,18 P(keduanya mati) = (0,1)(0,2) = 0,02 P(paling sedikit satu mati) = 0,28. Contoh: Ali dan Badu melemparkan uang logam secara bergantian dan yang mendapat muka terlebih dahulu dinyatakan menang. Bila Ali mendapat giliran pertama, berapa probabilitas Badu menang? Solusi: Badu menang jika pada giliran 1 Ali mendapat belakang dan Badi muka, atau pada giliran pertama keduanya mendapat muka, dan pada giliran kedua Ali masih mendapat belakang tapi Badu dapat muka, demikian seterusnya, atau

Urutan Probabilitas BM (1/2)2 BB, BM (1/2)4 BB, BB, BM (1/2)6 BB, BB, BB, BM (1/2)8 … … Semua kejadian tersebut bersifat saling lepas sehingga diperoleh probabilitas Badu menang adalah

Contoh: Probabilitas seorang berumur 20 tahun dan seorang lainnya berumur 40 tahun keduanya akan hidup 20 tahun lagi adalah 0,6. Dari 50000 orang yang hidup pada umur 20 tahun, 3000 di antaranya mati sebelum usia 25 tahun. Hitunglah probabilitas seseorang yang sekarang berumur 25 tahun akan mati sebelum mencapai umur 60 tahun! Solusi: Misal, lx = jumlah orang yang tepat berusia x Diketahui: l20 = 50000 l25 = 50000 – 3000 = 47000 orang Untuk menghitung probabilitas orang yang berumur 25 tahun akan mati sebelum umur 60 tahun, maka diperlukan jumlah orang yang berumur 25 tahun (l25) dan jumlah orang yang berumur 25 tahun mati sebelum umur 60 tahun (l25 – l60) atau

Dimisalkan pula, npx = probabilitas orang berumur x tahun akan hidup hingga x+n tahun. Diketahui: 20p20.20p40 = 0,6 (probabilitas orang berumur 20 tahun akan hidup 20 tahun lagi dan orang berumur 40 tahun akan hidup 20 tahun lagi). Dapat pula dinyatakan dengan: Probabilitas orang berumur 20 tahun akan hidup 20 tahun lagi (mencapai 40 tahun) adalah 20p20 dan orang tersebut akan mencapai umur 60 tahun jika dia mencapai umur 40 tahun adalah 40p20, sehingga

Diperoleh, Sehingga probabilitas orang berumur 25 tahun akan mati sebelum mencapai umur 60 tahun adalah

Contoh Dari 100000 yang baru lahir pada waktu yang bersamaan, 85000 mencapai usia 20 tahun dan 40000 mencapai umur 60 tahun. Berapa probabilitas seorang bayi yang baru lahir mati sebelum umur 20 tahun? Berapa peluang seorang berusia 20 tahun akan mati sebelum umur 60 tahun? Probabilitas tepat satu dari tiga orang yang masing-masing berusia 20, 35 dan 50 akan hidup 15 tahun lagi adalah 0,092; probabilitas akan mati dalam waktu 15 tahun adalah 0,006. Jika probabilitas seseorang berumur 20 tahun akan mati sebelum umur 35 adalah 0,1; hitunglah probabilitas bahwa orang itu akan hidup mencapai umur 65 tahun

Probabilitas seseorang berumur 20 tahun akan hidup 20 tahun lagi adalah 0,9 dan peluang seseorang berumur 40 tahun akan hidup 10 tahun lagi adalah 0,8. Berapakah probabilitas seseorang berumur 20 tahun akan hidup 30 tahun lagi? Berapa probabilitas seseorang berumur 20 tahun akan mati antara umur 40 dan 50?

NILAI HARAPAN

Ali melempar sebuah uang logam sebanyak dua kali Ali melempar sebuah uang logam sebanyak dua kali. Bila dalam dua lemparan muncul angka maka Ali akan mendapatkan Rp. 10.000,- , bila dalam lemparan pertama muncul angka dan lemparan kedua muncul gambar maka Ali akan mendapatkan Rp. 5.000,- . Apabila muncul selain yang diatas, dia tidak mendapatkan apa-apa. Hitung nilai harapannya ! Badu membuat suatu perjanjian dengan perusahaan asuransi sebagai berikut : Bila dia tidak sakit sampai akhir tahun maka Badu akan membayar Rp. 10.000,- pada perusahaan asuransi tersebut, namun apabila dia sakit maka perusahaan asuransi akan membayarnya Rp. 1.000.000,- sebagai biaya pengobatan. Bila diketahui peluang Badu sakit sampai akhir tahun adalah 0.001. Hitung nilai harapannya ! Sebuah dadu dilemparkan. Bila muncul angka genap maka Ali akan mendapatkan Rp. 10.000,- , bila angka enam yang muncul dia mendapatkan tambahan sejumlah Rp 60.000,- . Berapakah Ali harus membayar bila angka ganjil yang muncul agar judi tersebut adil ! Peluang seorang yang berusia 20 tahun dan seorang lainnya berusia 40 tahun keduanya hidup 20 tahun lagi adalah 0.6. Dari 50.000 yang hidup pada usia 20 tahun, 3000 diantaranya meninggal sebelum 25 tahun. Hitung peluang seseorang yang sekarang berusia 25 tahun akan meninggal sebelum mencapai usia 60 tahun.