ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM

Logika Informasi Materi. 1). Logika Proposisi. a). Pengenalan Informal b). Penghubung Logis (Operator, Functor) c). Tabel Kebenaran dp Formula. d). Penghubung Logis yang lain. e). Memanipulasi Formula Proposisinal. f). Negasi dp Formula Proposisional. g). Argumen.

Logika Informasi Buku Teks. Edmund Burke and Eric Foxley , 1996 ; “Logic and Its Applications” , Prentice Hall . Buku Referensi . 1). Arindama Singh , 2004 ; “Logics For Computer Science ”, Prentice Hall of India. 2). Manna, Z and Waldinger, R., 1985 , “ The Logical Basis for Computer Programming” , Addison-Wesley Publishing Company. Inc. 3). Suprapto, Logika Informatika, 2003, “Logika Informatika (Dasar-dasar Logika untuk Pemrograman Komputer & Perancangan Komputer) ”, Penerbit Gava Media Yogyakarta. 4). Setiadi Rachmat, 2004 , “ Pengantar Logika Matematika”, Penerbit Informatika Bandung.

Logika Proposisional Pengenalan Informal Andaikan p dan q variabel yang menyajikan proposisi logis. Mereka menyajikan pernyataan seperti misalnya : Saya mempunyai uang Benda ini tenggelam dalam air 3. Kotak ini berisi cabe 4. Bangkok adalah ibukota negara Vietnam 5. Ir.Sukarno adalah presiden pertama RI 6. “Kotagede” mempunyai 9 huruf. 7. Saya lapar 8. Benda ini padat 9. India merupakan suatu negara 10. 1 + 101 = 110 Masing-masing dapat bernilai satu dari nilai kebenaran yang tetap yaitu T(rue) atau F(alse)

Logika Proposisional Pengenalan Informal Logika adalah suatu system berbasis proposisi. Suatu proposisi adalah suatu pernyataan (statement) yang dapat ber”nilai” Benar (true) atau Salah (false) dan tidak keduanya. Dikatakan bahwa nilai kebenaran daripada suatu proposisi adl salah satu dari benar (true disajikan dng T) atau salah (false disajikan dengan F). Dalam untaian digital (digital circuits) disajikan dng 0 dan 1

Logika Proposisional Pengenalan Informal Variabel-variabel tersebut diatas dihubungkan dengan mengguna kan penghubung logis yang disebut operator atau functor. Sebagai contoh : 1) Saya mempunyai uang dan saya lapar 2) Jika balok mempunyai berat jenis lebih besar dari 1 maka ia (ba lok) akan tenggelam diair. 3) Ir. Sukarno presiden pertama RI dan ia proklamator negara RI 4) Saya berangkat kantor naik becak atau naik angkot. 5) Lampu mobil mati karena plentongnya mati atau kabelnya pu tus.

Logika Proposisional Pengenalan Informal Perhatikan kalimat-kalimat sebagai berikut : 1) Tutuplah pintu itu 2) Dilarang merokok 3) Nilai daripada x terletak diantara nol dan satu Kalimat-kalimat tersebut tidak dimasukkan dalam pembicaraan kita karena mereka tidak dapat ber “nilai” benar ataupun salah se dang yang terakhir tidak dimasukkan disini tetapi masuk dalam lo gika predikat karena ada variabel x yang nilainya belum ditentu kan.

The Statement/Proposition Game Permainan. The Statement/Proposition Game “Gajah lebih besar daripada tikus.” Apakah ini suatu pernyataan? yes Apakah ini suatu proposisi? yes Apa nilai kebenaran daripada proposisi tersebut? true

The Statement/Proposition Game Permainan. The Statement/Proposition Game “520 < 111” Apakah ini suatu pernyataan ? yes Apakah ini suatu proposisi? yes Apa nilai kebenaran daripada proposisi tersebut? false

The Statement/Proposition Game Permainan. The Statement/Proposition Game “y > 5” Apakah ini suatu statement? yes Apakah ini suatu proposisi? no Nilai kebenarannya tergantung pada nilai daripada y , tetapi nilai ini tidak diberikan (not specified). Kita sebut tipe pernyataan ini suatu fungsi proposisional atau kalimat terbuka.

The Statement/Proposition Game Permainan. The Statement/Proposition Game “Hari ini Jan. 28 and 99 < 5.” yes Apakah suatu statement? Apakah ini suatu proposition? yes What is the truth value of the proposition? false

The Statement/Proposition Game Permainan. The Statement/Proposition Game “Please do not fall asleep.” Apakah ini suatu pernyataan? no Ia adalah suatu permintaan. Apakah ini merupakan proposisi? no Only statements can be propositions.

The Statement/Proposition Game Permainan. The Statement/Proposition Game “Jika gajah berwarna merah, Mereka dapat sembunyi dibawah pohon perdu.” Apakah ini suatu pernyataan? yes Apakah ini suatu proposisi? yes Apa nilai kebenaran daripada proposisi tersebut? Probably false

The Statement/Proposition Game Permainan. The Statement/Proposition Game “x < y if and only if y > x.” yes Apakah ini suatu pernyataan? yes Apakah ini suatu proposisi? …karena nilai kebenarannya tidak tergantung pada nilai yang diberikan untuk x dan y Apa nilai kebenaran dp proposisi tsb? true

Logika Proposisional Pengenalan Informal Definisi . Proposisi adalah kalimat deklaratif (atau pernyata an) yang memiliki hanya satu nilai kebenaran yaitu banar saja atau salah saja, akan tetapi tidak keduanya. Proposisi yang bukan hasil kombinasi dari proposisi-proposisi disebut atom.

Logika Proposisional Pengenalan Informal Jika atom-atom akan dikombinasikan untuk memperoleh proposisi baru maka diperlukan operator logika atau operator sambung yang dilambangkan dng simbol : 1).  : “not”, atau “negasi” ( simbol lain adl ~ ) 2).  : “and”, atau “konjungsi” ( simbol lain adl &) 3).  : “or” , atau “disjungsi” atau “inclusive or” 4).  : “xor”, atau “exclusive or” 5). : “implies”, atau “Jika … maka…”, atau “implikasi kondisional” 6). : “jika dan hanya jika”, atau “bikondisional”

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) 1) Negasi (not) Jika p sebarang proposisi, pernyataan “not p” atau “negasi dp p” akan bernilai F jika p bernilai T dan sebaliknya. Dan ditulis dengan p ( “” disebut operator unary/monadika) dan akan digambarkan dng tabel kebenaran sebagai berikut : p p T F F T

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) 2) Konjungsi/conjunction (and) Konjungsi adalah suatu operator binary atau diadika (diadic). Jika p dan q suatu proposisi, pernyataan p and q akan bernilai kebenaran T jika dan hanya jika kedua p dan q mempunyai nilai kebenaran T, dan ditulis dengan p  q dimana operatornya terletak diantara kedua variabel (operand) tsb dan mempunyai tabel kebenaran seperti terlihat pada slide berikut :

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Tabel kebenaran juga dapat disajikan dng suatu bentuk dua di mensi sebagai berikut : p q p  q T T T T F F F T F F F F p  q T F q T T F F F F p

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Bentuk terakhir ini hanya dapat digunakan hanya untuk fungsi dua variabel Perhatikan bahwa untuk kalimat “Benda ini berwarna merah” dan “Benda ini berwarna putih” jika digandeng dengan “and” maka berbunyi “Benda ini berwarna merah “and” putih” yang artinya lain dengan “Benda ini berwarna merah and Benda ini berwarna putih”, jelaskan !! Sifatnya : 1) Komutatif ( p  q = q  p) 2) Asosiatif ( (pq)r = p(qr) ) Operand daripada suatu kunjungsi juga disebut dng conjunct.

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) 3) Disjungsi (or) Disjungsi yang juga ada yang menyebut dengan alternatif yang ber sesuaian dengan bentuk “ Salah satu dari … atau ….” (“Either.. Or..) . Pernyataan “p or q” bernilai T jika dan hanya jika salah satu p atau q (atau keduanya) bernilai T, dan ditulis : p  q dan mempunyai tabel kebenaran seperti pada slide berikut.

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Sifat : 1) Komutatif ( p  q = q  p ) 2) Asosiatif ( (p  q)  r = p  (q  r) ) p q p  q T T T T F T F T T F F F

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Perhatikan bahwa terdapat dua pengertian or yaitu “inclusif or” dan “exclusive or”. Sebagai contoh : “Pintu rumah terbuka” or “jendela rumah terbuka”. Hal tersebut dapat keduanya “Suta pergi kekantor naik becak” or “Suta pergi kekantor naik angkot”. Hal tersebut tidak mungkin keduanya. Contoh pertama “or inclusive” dan disimbolkan dengan  Contoh kedua “or exclusive” atau “non-equivalen” dan disimbol kan dengan ( atau XOR atau )  

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) 4) Implikasi (Implication) Arti dp pernyataan “If p then q” atau “p implies q” atau “q if p” atau “p hanya jika q” atau “q sarat perlu untuk p” atau “p sarat cukup untuk q” adalah T jika salah satu dari p bernilai T dan q ber nilai T atau jika p bernilai F. Jika tidak demikian, yaitu p bernilai T dan q bernilai F, maka nilai F. Ditulis : p  q dan tabel kebenarannya seperti pada slide berikut (ada yang menggu nakan simbol )

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) p q p  q T T T T F F F T T F F T Pernyataan berikut adalah sama : 1). “If p then q” 2). “p implies q” 3). “q if p” 4). “p hanya jika q” 5). “q sarat perlu untuk p” 6). “p sarat cukup untuk q”

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Untuk penjelasan ini maka perhatikan kalimat : “Jika Anita pergi keluar negeri maka ia mempunyai passport” Penjelasannya adalah sebagai berikut : Jika Anita keluar negeri ( T ) dan Ia mempunyai passport (T), maka legal (T) 2) Jika Anita keluar negeri (T) dan Ia tidak mempu nyai passport (F), maka illegal (F) 3) Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia mempu nyai passport (T), maka legal (T) 4) Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia tidak mempunyai passport (F), maka legal (T)

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) kondisional konversi inversi kontrapositif p q p  q q  p p  q q  p T T T T T T T F F T T F F T T F F T F F T T T T

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Perhatikan bahwa : pernyataan p  q selalu mempunyai tabel kebenaran dng (p)  q dan juga dengan (pq), (buat tabel kebe narannya) Contoh penggunaannya : Buktikan bahwa jika x bilangan real maka jika x^2 bilangan gasal maka x bilangan gasal. Bukti andaikan x genap maka x = 2n dimana n sebarang bilangan real. X^2 = (2n)^2= 4n^2 = 2(2n^2) yang juga bilangan genap. Sehingga didapat, dengan kontraposistif, terbukti.

Resume p p p q r s . p q p  q T T T T F T F T T F F F T F F T Negasi , , , → p q p  q T T T T F T F T T F F F p p T F F T Negasi p q p  q T T T T F F F T F F F F Disjungsi Konjungsi p q p  q T T T T F F F T T F F T Implikasi (berarti : If p then q atau p implai q atau q if p atau p hanya jika q, atau q sarat perlu p)

Resume p q p q p  q q  p p  q q  p T T F F T T T T T F F T F T T F F T T F T F F T F F T T T T T T Kondi sional Kon versi Inver si Kontra Posisi

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) 5) Ekuivalensi Pernyataan “ p ekuivalen dengan q” mempunyai nilai kebenar an T jika dan hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yg sama ditulis dengan simbol : p  q dan tabel kebenarannya seperti pada slide berikut ( ada yang menggunakan simbol )

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) p q p  q T T T T F F F T F F F T Sifat : Komutatif ; ( p  q = q  p) Asosiatif ; ( (p  q)  r = p  (q  r) ) Pernyataan (p  q) mempunyai tabel kebenaran yang sama dengan pernyataan p  q (Tunjukan)

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Perhatikan bahwa ia juga dapat dipikirkan sebagai pernyataan “ p jika dan hanya jika q” Pernyataan p  q disebut juga dengan bikondisional daripada p dan q, sebab ia selalu mempunyai tabel kebenaran sama-dng p  q =T (p  q )  (q  p) atau (p  q)  (p  q) Ditulis dengan p  q =T (p  q)  (q p)

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Notasi jumlahan dan produk seperti pada aljabar maka didapat : n n  pi ; v pi ; i = 1 i = 1 n  pi i = 1

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Prioritas Operator Terkuat monadika () Untuk diadika terkuat (), kemudian () dan berikutnya () dan yang lainnya berikutnya lagi seperti misalnya () Contoh : “Saya lapar  saya sedih  saya bahagia  saya telah kenyang ” berarti “(Saya lapar  saya sedih)  (saya bahagia  saya telah kenyang)”

Soal-Soal Mana yang pernyataan dan mana yang bukan Ngawi adalah ibukota propinsi Jawa Timur. Dilarang merokok 119 adalah bilangan bulat Buka pintu Logika informatika adalah mudah Yogya kota pelajar Makanlah yang banyak Sesama cabup tak boleh saling mendahului Buatlah daftar pernyataan sebanyak 50 buah

Soal-soal Tuliskan kalimat dibawah ini dengan simbol logika Saya akan berlibur ke Bali hanya jika saya lulus ujian Sarat perlu agar 273 habis dibagi 3 adalah 273 merupakan bilang an prima Saya akan memberi anda uang apabila saya lulus ujian atau saya mendapat hadiah TTS Jawab P = saya berlibur ke Bali, Q = Saya lulus ujian Kalimatnya menjadi : P  Q P = 273 habis dibagi 3, Q = 273 merupakan bilangan prima P = Saya memberi Anda uang, Q = Saya lulus ujian, dan R = saya mendapat hadiah TTS Kalimatnya menjadi : (Q  R)  P

Soal-soal 2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini : a. Jika Jakarta bukan ibukota RI, maka 9 juga bukan bilangan prima b. 2+2 = 2x2 hanya bila 2 =0 c. 2<3 merupakan syarat cukup untuk 2x2 < 3x3 Jawab : a. Benar, karena anteseden salah (Jakarta bukan ibu kota RI) b. Salah, karena anteseden (2+2 = 2x2) benar sedangkan konsekuen nya (2 = 0 ) salah c. Benar, karena konsekuennya (2x2 <3x3) benar

Soal-soal 3. Tentukan nilai kebenaran daripada : a. Syarat perlu dan cukup agar 7 merupakan bilangan prima adalah Kebumen berada di Jawa Timur. b. Apabila 12 habis dibagi 4 ekuivalen dengan 12 bilangan bilangan genap maka (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 4. Tuliskan dengan simbol logika kalimat-kalimat dibawah ini : a. Matahari sangat verah dan kelembabannya tidak tinggi b. Jika saya dapat menyelesaikan koreksi saya sebelum makan ma lam dan tidak hujan, maka saya akan pergi nonton tonil c. Jika Anda tidak menjumpai saya besok, berarti saya sudah pergi ke Bandung. d. Syarat perlu dan cukup agar bilangan a merupakan bilangan prima adalah a merupakan bilangan gasal atau sama dng 2