Teori Peluang Oleh : Asep Ridwan Jurusan Teknik Industri FT UNTIRTA

Dasar Teori Peluang Ruang Sampel Kejadian dan Operasinya Menghitung Titik Sampel : – Permutasi – Kombinasi

Peluang (Probabilitas) Probabilitas/peluang secara umum dapat diartikan sebagai ukuran matematis terhadap kecenderungan akan munculnya sebuah kejadian. Secara matematis peluang memiliki kisaran nilai dari 0 hingga 1. Seperti terlihat pada gambar di bawah, nilai peluang 0 berarti bahwa munculnya kejadian tersebut sangat tidak mungkin, dan nilai peluang 1 berarti kejadian tersebut pasti muncul. Sebagai contoh, peluang manusia akan hidup selamanya adalah 0 karena tidak ada mahasiswa yang abadi dan peluang bahwa manusia akan mati suatu saat adalah 1 artinya manusia pasti akan mati suatu saat. Nilai peluang juga bisa berada diantara dua nilai absolut diatas, atau dengan kata lain nilai peluang akan mucul diantara hasil yang diharapkan dan hasil yang tidak diharapkan.

Peluang (Probabilitas)-(Lanjutan) Sebuah koin dengan sisi muka dan sisi belakang. Peluang mendapat sisi muka pada pelemparan koin tersebut satu kali adalah 1/2 = 0.5 Sebuah dadu dilempar satu kali. Peluang mendapat sisi dengan gambar 4 adalah 1/6 Dua buah dadu dilempar satu kali. Berapakah peluang mendapat jumlah mata dadu sembilan. Mata dadu yang memberikan jumlah sembilan adalah: (3+6), (4+5), (5+4), (6+3) dari 36 kombinasi yang ada, sehingga peluangnya adalah 4/36 atau 1/9.

Ruang sampel Kumpulan dari semua hasil dari percobaan statistik, dinyatakan dengan notasi S Contoh : Percobaan pelemparan mata uang

Kejadian Dari setiap percobaan kita mungkin ingin mengetahui munculnya elemen-elemen dari ruang sampel yang mempunyai ciri tertentu. Sekelompok titik sampel itu membentuk himpunan bagian dari S Contoh : Percobaan pelemparan 3 koin

Operasi dengan kejadian Definisi 1 : Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A B ialah kejadian yang unsurnya termasuk A dan B. Gambar diagram Venn Contoh : Tentukan irisan antara A = {1,2,3,4,5} dan B ={2,4,6,8} A∩ B= {2,4}

Operasi dengan kejadian (Lanjutan) Definisi 2 Dua kejadian A dan B saling terpisah bila A ∩ B = 0 Contoh : Sebuah dadu dilantunkan. A menyatakan kejadian bahwa bilangan genap muncul di sebelah atas dan B kejadian bahwa bilangan ganjil yang muncul di sebelah atas.

Operasi dengan kejadian (Lanjutan) Definisi 3 Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A ∪ B ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A dan B • Contoh : Tentukan gabungan dari kejadian A ={1,2,3,4,5} dengan B = {2,4,6,8}

Operasi dengan kejadian (Lanjutan) Definisi 4 Komplemen suatu kejadian A terhadap S ialah himpunan semua unsur S yang tidak termasuk Komplemen A dinyatakan dengan lambang A'. Contoh : Q menyatakan kejadian bahwa seorang karyawan yang dipilih secara acak dari suatu pabrik adalah seorang perokok. Nyatakan kejadian komplemen Q ?

Menghitung Titik Sampel Teorema 1 : Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2 cara. • Contoh : Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel sepasang dadu dilantunkan satu kali.

Teorema 2 bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat • Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara , dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebuat operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1n2…nk cara. • Contoh : Berapa macam hidangan dapat disajikan jika masing-masing hidangan dapat terdiri dari sop, nasi goreng, bakmi, dan soto bila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4 macam soto.

Definisi 5 • Suatu permutasi ialah suatu susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya. • Contoh : Ambil tiga huruf a, b dan c.

Teorema 3 • Banyak permutasi n benda yang berlainan adalah n! • Contoh : Permutasi empat huruf a,b,c, dan d adalah 4!=24

Teorema 4 • Banyak permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah nPr = n ! (n-r)! • Contoh : Dari 20 lotere, dua diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak titik sampel dalam ruang S.

Teorema 5 • Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)! • Contoh : Dalam suatu permainan bridge ada empat pemain duduk melingkar. Berapa susunan duduk yang berlainan dalam permainan tersebut?

Teorema 6 • Banyak permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,…, nk berjenis ke k adalah • Contoh : Suatu pohon natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila tiga diantaranya berwarna merah, empat kuning dan dua biru?

Teorema 7 Banyaknya cara menyekat n benda dalam r sel, masing-masing berisi n1 elemen dalam sel pertama, n2 dalam sel ke dua dst, adalah: Dengan n1 + n2 + n3 … + nk = n. Contoh : Berapa banyak cara untuk menampung tujuh petinju dalam tiga kamar hotel, bila satu kamar bertempat tidur tiga sedangkan dua lainnya mempunyai dua tempat tidur ?

Teorema 8 • Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r adalah • Contoh : Bila ada empat kimiawan dan tiga fisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orang yang dapat dibuat beranggotakan dua kimiawan dan satu fisikawan.

Teorema 8 • Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r adalah • Contoh : Bila ada empat kimiawan dan tiga fisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orang yang dapat dibuat beranggotakan dua kimiawan dan satu fisikawan.

Referensi Christine Suryadi, Probabilitas dan Statistika Dasar teori Peluang, Departemen Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung

Tugas senin aja ya…