Teorema Green

Pendahuluan Green's theorem gives the relationship between a line integral around a simple closed curve C and a double integral over the plane region D bounded by C. It is named after George Green, and is the two-dimensional special case of the more general Stokes' theorem.

Teorema Green Misalkan C kurva mulus sepotong-sepotong, tertutup sederhana, yang membentuk batas dari suatu daerah S di bidang xy. Jika M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan kontinu pada S dan batas C, maka:

Teorema Green Bukti:

Teorema Green Sama halnya dengan memperlakukan S sebagai suatu himpunan x sederhana, maka diperoleh Hasil di atas dapat diperluas ke daerah S tak sederhana yaitu dengan memecah menjadi suatu gabungan daerah-daerah S1, S2, ..., Sk yang berupa himpunan x sederhana dan y sederhana

Teorema Green Teorema green tetap berlaku untuk suatu daerah S dengan satu atau beberapa lubang, asal saja tiap bagian dari batas terarah sehingga S selalu di kiri selama seseorang menelusuri kurva dalam arah positif seperti gambar

Contoh 1 Gunakan teorema Green untuk menghitung integral garis berikut: dimana C adalah lintasan dari (0,0) ke (1,1) sepanjang kurva y = x3 dan dari (1,1) ke (0,0) sepanjang garis y = x.

Contoh 2 Evaluasi dimana C adalah lintasan pada gambar berikut:

Teorema Green Green’s theorem cannot be applied to every line integral. Among other restrictions stated in theorem, the curve C must be simple and closed. When theorem does apply, however, it can save time.

Teorema Green In example 1 and 2, Green’s theorem was used to evaluate line integrals as double integrals. We can also use the theorem to evaluate double integrals as line integrals. One useful application occurs when

Line Integral For Area If R is a plane region bounded by a piecewise smooth simple closed curve C, oriented counterclockwise, then the area of R is given by

Contoh 3 Use a line integral to find the area of the ellipse

Contoh 4 Let R be the region inside the ellipse (x2/9) + (y2/4) = 1 and outside the circle x2 + y2 = 1. Evaluate the line integral where C = C1 + C2 is the boundary of R as shown in figure

Bentuk Vektor 1 dari Teorema Green Misalkan C kurva tertutup sederhana, mulus pada bidang xy. Persamaan parameternya: x = x(s), y = y(s) Maka vektor singgung satuan: dan vektor normal satuan

Bentuk Vektor 1 dari Teorema Green Jika adalah suatu medan vektor, maka: Teorema Divergensi Gauss pada bidang

Bentuk Vektor 2 dari Teorema Green Jika , maka: Teorema Stokes pada bidang

Latihan Soal 1. 2. 3.

Latihan Soal 4. Use a line integral to find the area of the region R bounded by the graphs of x = 0, 3x – 2y = 0, and x + 2y = 8