Integer Linier Programming

Pendekatan Pembulatan Masalah I: Maksimumkan Z = 100 X1 + 90 X2 Dg syarat 10 X1 + 7 X2 < 70 5 X1 + 10 X2 < 50 X1, X2 > 0 Masalah 2: Minimumkan Z = 200 X1 + 400 X2 Dg syarat 10 X1 + 25 X2 ≥100 3 X1 + 2 X2 ≥ 12 Masalah 3: Dg syarat 4 X1 + 2 X2 < 12 5 X1 + 10 X2 < 15

Masalah Solusi dg metode Simpleks Solusi dg pembulatan ke bilangan bulat terdekat Solusi bulat optimum yg sesungguhnya 1 X1 = 5,38 X2 = 2,31 Z = 746,15 X1 = 5 X2 = 2 Z = 680 X1 = 7 X2 = 0 Z = 700 2 X1 = 1,82 X2 = 3,27 Z = 1672,73 X1 = 2 X2 = 3 Tak layak X1 = 3, X2 = 3 atau X1 = 4, X2 = 2 Z = 1800 3 X1 = 2,14 X2 = 1,71 Z = 343 X1 = 0 Z = 300

Metode Grafik Max 3x1 + 2x2 s.t. 3x1 + x2 < 9 x1 + 3x2 < 7 x1, x2 > 0 and integer

5 -x1 + x2 < 1 3x1 + x2 < 9 4 Max 3x1 + 2x2 3 LP Optimal (2.5, 1.5) 2 x1 + 3x2 < 7 1 x1 1 2 3 4 5 6 7

x2 5 -x1 + x2 < 1 3x1 + x2 < 9 4 Max 3x1 + 2x2 3 ILP Infeasible (3, 2) 2 LP Optimal (2.5, 1.5) x1 + 3x2 < 7 1 x1 1 2 3 4 5 6 7

Example: All-Integer LP Complete Enumeration of Feasible ILP Solutions There are eight feasible integer solutions to this problem: x1 x2 z 1. 0 0 0 2. 1 0 3 3. 2 0 6 4. 3 0 9 optimal solution 5. 0 1 2 6. 1 1 5 7. 2 1 8 8. 1 2 7

Example: All-Integer LP -x1 + x2 < 1 5 3x1 + x2 < 9 4 Max 3x1 + 2x2 3 ILP Optimal (3, 0) 2 x1 + 3x2 < 7 1 x1 1 2 3 4 5 6 7

Metode Gomory (Cutting Plane Algorithm) Langkah-langkah prosedur Gomory Selesaikan masalah integer programming dengan menggunakan metode simpleks. Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memiliki nilai inetger, solusi optimum integer telah diperoleh dan proses solusi berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis memiliki nilai pecahan, teruskan ke tahap 3.

Contoh: Maksimumkan : Z = 7 X1 + 9X2 Kendala -X1 + 3X2 ≤ 6 7 X1 + X2 ≤ 35 X1, X2 non negatif integer Setelah diolah dengan metode simpleks, maka solusi awal diberikan sebagai berikut: Basis X1 X2 S1 S2 Solusi Z 28/11 15/11 63 1 7/22 1/22 7/2 -1/22 3/22 9/2

Basis X1 X2 S1 S2 Solusi Z 28/11 15/11 63 1 7/22 1/22 7/2 -1/22 3/22 9/2 Karena solusi tidak bulat, maka suatu kendala Gomory ditambahkan pada tabel berikut. X2 + 7/22 S1 + 1/22 S2 = 7/2 atau X2 + (0 +7/22 S1) + ( 0 + 1/22 S2) = (3 + ½) Sehingga kendala Gomory Sg1 -7/22 S1 – 1/22 S2 = -1/2 Tabel baru menjadi Basis X1 X2 S1 S2 Sg1 Solusi Z 28/11 15/11 63 1 7/22 1/22 7/2 -1/22 3/22 9/2 -7/22 -1/2

Dengan menggunakan prinsip metode dual simpleks dihasilkan Basis X1 X2 S1 S2 Sg1 Solusi Z 1 8 59 3 1/7 -1/7 32/7 -22/7 11/7 X1 + (0 + 1/7) S2 + (0+ 6/7 ) Sg1 = (4 + 4/7) Sg2 -1/7 S2 – 6/7 Sg1 = -4/7 Basis X1 X2 S1 S2 Sg1 Sg2 Solusi Z 1 8 59 3 1/7 -1/7 32/7 -22/7 11/7 -6/7 -4/7

Basis X1 X2 S1 S2 Sg1 Sg2 Solusi Z 2 7 55 1 3 -1 4 -4 6 -7