BAB VIII G R A F

Definisi Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( V, E ), yang dalam hal ini : V = himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices/ node) = {v1, v2 , ..., vn } dan V  1 E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul = {e1, e2, ... , en } dan E  0

Jika e adalah sisi yang menghubungkan vi dan vj, maka e dapat ditulis e = (vi ,vj ) Jumlah simpul pada graf disebut kardinalitas graf dan dinyatakan dengan n=V, dan jumlah sisi dinyatakan dengan m = E. Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi, dinamakan graf trivial.

Sisi Ganda adalah sisi yang menghubungkan dua buah simpul yang sama. Gelang atau Kalang adalah sisi yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

Jenis-jenis Graf G1 Berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau sisi kalang. a. Graf Sederhana :Graf yang tidak mengandung gelang atau sisi ganda. G1 2 3 4 1

b. Graf tak Sederhana :Graf yang mengandung sisi ganda(graf ganda) dan Graf yang mengandung gelang (graf semu ). G2 2 3 4 1 e1 e7 e6 e5 e2 e3 e4 e8

B. Berdasarkan jumlah simpul. a.Graf Berhingga Graf yang jumlah simpulnya,n, berhingga. b.Graf tak Berhingga Graf yang jumlah simpulnya,n, tidak berhingga banyaknya.

C. Berdasarkan Arah pada sisi a.Graf tak berarah : Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (vi ,vj ) = (vj ,vi )

b. Graf berarah G3 2 3 4 1 Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah(vi ,vj ) dan (vj ,vi ) menyatakan dua buah busur yang berbeda. Maka (vi ,vj )  (vj ,vi ). Untuk (vi ,vj ), simpul vi dinamakan simpul asal dan vj dinamakan simpul terminal. G3 2 3 4 1

TERMINOLOGI GRAF G4 A. Ketetanggaan ( Adjacent) Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung.  B. Bersisian ( Incidency) Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan e bersisian dengan simpul vj atau e bersisian dengan simpul vk. G4 2 3 4 1

C. Simpul Terpencil ( Isolated Vertex) Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya atau tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul lainnya. 1 2 3 4 5 G5

D. Graf Kosong (Null graph ) Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong dan ditulis sebagai Nn, yang dalam hal ini n adalah jumlah simpul. 1 2 3 4 5 G6

E. Derajat (Degree) Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Simpul yang berderajat satu disebut anting-anting ( pendant verteks). Simpul yang mempunyai gelang dihitung mempunyai dua buah sisi.

F. Lintasan ( Path) Lintasan Sederhana ( simple path ) Lintasan dengan semua sisi yang dilalui satu kali.

Lintasan Elementer ( elementary path ) Lintasan dengan semua simpul yang dilalui hanya muncul satu kali, kecuali mungkin simpul pertama dan simpul terakhir.

Lintasan Tertutup (closed walk) Lintasan Terbuka ( open walk) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Lintasan Terbuka ( open walk) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang tidak sama.  Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut.

G. Siklus (cycle) atau Sirkuit (circuit) Sirkuit atau siklus adalah lintasan elementer dengan simpul pertama sama dengan simpul terakhir.

a.Panjang Sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit tersebut.  b.Sirkuit Sederhana (simple path) Sirkuit dengan semua sisi yang dilalui hanya satu kali. c.Sirkuit Elementer (elementary path) Sirkuit dengan semua simpul yang dilalui hanya satu kali.

H. Terhubung (connected) Dua buah simpul v1 dan v2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v1 ke v2. Graf tak berarah G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul v1 ke v2 dalam himpunan V terdapat lintasan dari v1 ke v2 juga v2 ke v1.

Jika tidak, maka G disebut graph tak terhubung (disconnected graph). 2 3 4 1 5 6 7 8

Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tidak berarahnya terhubung ( graf tidak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya ).

Dua simpul, u dan v pada graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u. G8 1 2 3 4 5

Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly connected). G9 1 2 3 4 5

I. Pohon ( Tree) Pohon adalah graf terhubung yang tidak mempunyai sirkuit.

J. Upagraf ( Subgraf) dan Komplemen Upagraf Misalkan G= (V, E) adalah sebuah graf. G1 = (V1, E1) adalah upagraf (subgraf) dari G. Komplemen dari upagraf G1 terhadap graf G adalah graf G2=(V2,E2).  1 2 3 5 6 G10 2 3 4 1 5 6 4 3 1 5

Komponen graf adalah jumlah maksimum upagraf terhubung dalam graf G. 1 2 3 4 7 G11 5 6

Pada graf berarah, komponen terhubung kuat adalah jumlah maksimum upagraf yang terhubung kuat. 1 2 3 4 5 6

K. Upagraf Rentang (Spanning Subgraf) Upagraf G1=(V1, E1) dari G = (V, E) dikatakan upagraf rentang jika V1=V atau G1 mengandung semua simpul dari G. 1 3 5 4 2 1 3 5 4 2 1 3 2

L. Cut-Set Cut-Set dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi cut-set selalu menghasilkan dua buah komponen. 1 3 5 4 2 6 1 3 5 4 2 6

M. Graf Berbobot (Weighted Graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga. a b c d e 10 12 8 15 11 9 14

REPRESENTASI GRAF Untuk pemrosesan graf dengan program komputer, graf harus direpresentasikan ke dalam memori. Terdapat beberapa representasi yang mungkin untuk graf,misalnya matriks ketetanggaan, matriks bersisian, dan senarai ketetanggaan.

A. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul, n  1 dan berukuran n x n, bila matriks tersebut dinamakan A = [ aij ], maka : aij = 1, jika simpul i dan j bertetangga aij = 0, jika simpul i dan j tidak bertetangga.

Matriks ketetanggaan nol-satu tidak dapat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mempunyai sisi ganda. Untuk mengatasinya, gelang pada simpul vi dinyatakan dengan nilai 1 pada posisi (i, i) di matriks ketetanggaannya. Keuntungan representasi dengan matriks ketetanggaan adalah elemen matriksnya dapat diakses langsung melalui indeks.

B. Matriks Bersisian (incidency matriks) Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi. Misalkan G = (V, E), adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi. Matriks bersisian G adalah matriks n x m, baris menunjukan simpul, sedangkan kolom menunjukan sisi.

Bila matriks tersebut dinamakan A = [aij], maka : aij = 1, jika simpul i bersisian dengan sisi j aij = 0, jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j. Matriks bersisian dapat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mengandung sisi ganda atau sisi gelang.

GRAF ISOMORFIK (ISOMORPHIC GRAPH) Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik. Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya yang berbeda. 3 1 2 4 a b c d

Definisi dua buah graf isomorfik dapat memenufi ketiga syarat berikut : a.Mempunyai jumlah simpul yang sama. b.Mempunyai jumlah sisi yang sama. c. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu.

Graf Planar dan Graf Bidang Graf Planar adalah graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong. Jika terdapat sisi yang saling memotong maka disebut graf tak-planar.

Rumus Euler Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang. Jumlah wilayah (f) pada graf planar sederhana dapat dihitung dengan rumus Euler sebagai berikut : n – e + f = 2 f = e – n + 2 dimana : e = jumlah sisi n = jumlah simpul

Teorema Kuratowski Teorema ini memungkinkan untuk menentukan dengan tegas keplanaran suatu graf. Dua graf Kuratowski : 1. Graf lengkap yang mempunyai lima buah simpul, adalah graf tidak planar. 2. Graf terhubung teratur dengan 6 buah simpul dan 9 sisi adalah graf tidak planar.

GRAF DUAL Sebuah graf mempunyai dual hanya jika graf tersebut planar.